IMO 2020 · Problem 5
A deck of \(n > 1\) cards is given. A positive integer is written on each card. The deck has the property that the arithmetic mean of the numbers on each pair of cards is also the geometric mean of the numbers on some collection of one or more cards.
For which \(n\) does it follow that the numbers on the cards are all equal?
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
All integers \(n>1\).
Solution
Dividing every number by their greatest common divisor preserves the property: both arithmetic and geometric means are divided by the same positive number. Thus we may assume that the greatest common divisor of all the numbers is \(1\). We will prove that every number is \(1\).
Let \(M\) be the largest number on a card. Suppose that \(M>1\), and choose a prime \(p\) dividing \(M\). Since the greatest common divisor of all the numbers is \(1\), some card has a number not divisible by \(p\). Let \(b\) be the largest such number. In particular, \(b<M\), so these are two distinct cards.
By the given property, there are \(k\geq 1\) cards with numbers \(c_1,\ldots,c_k\) such that \[ \frac{M+b}{2}=(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k}. \] Consequently, \[ (M+b)^k=2^k c_1c_2\cdots c_k. \] Because \(p\mid M\) and \(p\nmid b\), the left-hand side is not divisible by \(p\). Hence none of \(c_1,\ldots,c_k\) is divisible by \(p\). By the choice of \(b\), this gives \(c_j\leq b\) for every \(j\). Therefore \[ \frac{M+b}{2} =(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \leq b. \] This implies \(M\leq b\), a contradiction.
Thus \(M=1\), and all the normalized numbers are \(1\). The original numbers are therefore all equal. The argument applies to every integer \(n>1\).
The solution was checked against the official IMO shortlist solutions.
IMO 2020 · Aufgabe 5
Gegeben sei ein Satz von \(n>1\) Karten. Auf jeder Karte steht eine positive ganze Zahl. Der Kartensatz hat die Eigenschaft, dass für jedes Paar von Karten das arithmetische Mittel der Zahlen auf diesen Karten zugleich das geometrische Mittel der Zahlen auf einer Auswahl von einer oder mehreren Karten ist.
Für welche \(n\) folgt daraus, dass die Zahlen auf den Karten alle gleich sind?
Offizieller deutscher Aufgabentext. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Alle ganzen Zahlen \(n>1\).
Lösung
Teilt man jede Zahl durch den größten gemeinsamen Teiler aller Zahlen, so bleibt die Eigenschaft erhalten: Sowohl das arithmetische als auch das geometrische Mittel wird durch dieselbe positive Zahl geteilt. Somit dürfen wir annehmen, dass der größte gemeinsame Teiler aller Zahlen \(1\) ist. Wir werden beweisen, dass jede Zahl \(1\) ist.
Sei \(M\) die größte Zahl auf einer Karte. Angenommen, es gilt \(M>1\), und wähle eine Primzahl \(p\), die \(M\) teilt. Da der größte gemeinsame Teiler aller Zahlen \(1\) ist, gibt es eine Karte, deren Zahl nicht durch \(p\) teilbar ist. Sei \(b\) die größte solche Zahl. Insbesondere gilt \(b<M\), sodass es sich um zwei verschiedene Karten handelt.
Nach der gegebenen Eigenschaft gibt es \(k\geq 1\) Karten mit den Zahlen \(c_1,\ldots,c_k\), sodass \[ \frac{M+b}{2}=(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k}. \] Folglich gilt \[ (M+b)^k=2^k c_1c_2\cdots c_k. \] Wegen \(p\mid M\) und \(p\nmid b\) ist die linke Seite nicht durch \(p\) teilbar. Daher ist keine der Zahlen \(c_1,\ldots,c_k\) durch \(p\) teilbar. Nach der Wahl von \(b\) ergibt dies \(c_j\leq b\) für jedes \(j\). Somit gilt \[ \frac{M+b}{2} =(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \leq b. \] Dies impliziert \(M\leq b\), ein Widerspruch.
Also gilt \(M=1\), und alle normierten Zahlen sind \(1\). Die ursprünglichen Zahlen sind daher alle gleich. Das Argument gilt für jede ganze Zahl \(n>1\).
Die Lösung wurde mit den offiziellen Lösungen der IMO-Shortlist abgeglichen.
IMO 2020 · Soru 5
\(n>1\) karttan oluşan bir deste verilmiştir. Her kartın üzerinde bir pozitif tam sayı yazılıdır. Herhangi iki kartın üzerindeki sayıların aritmetik ortalaması, destedeki bir veya birkaç kartın üzerindeki sayıların geometrik ortalamasına eşittir.
Hangi \(n\) tam sayıları için kartların üzerindeki sayıların hepsi eşit olmak zorundadır?
Sorunun resmi Türkçe metni. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\(n>1\) olan tüm tam sayılar.
Çözüm
Her sayıyı sayıların en büyük ortak bölenine bölmek verilen özelliği korur: hem aritmetik hem de geometrik ortalama aynı pozitif sayıya bölünür. Dolayısıyla tüm sayıların en büyük ortak böleninin \(1\) olduğunu varsayabiliriz. Her sayının \(1\) olduğunu kanıtlayacağız.
Kartlardaki en büyük sayı \(M\) olsun. \(M>1\) olduğunu varsayalım ve \(M\) yi bölen bir \(p\) asal sayısı seçelim. Tüm sayıların en büyük ortak böleni \(1\) olduğundan bir kartta \(p\) ile bölünmeyen bir sayı vardır. Bu sayıların en büyüğü \(b\) olsun. Özellikle \(b<M\) olduğundan bunlar iki farklı karttır.
Verilen özelliğe göre, üzerlerindeki sayılar \(c_1,\ldots,c_k\) olan ve \[ \frac{M+b}{2}=(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \] eşitliğini sağlayan \(k\geq 1\) kart vardır. Dolayısıyla, \[ (M+b)^k=2^k c_1c_2\cdots c_k. \] \(p\mid M\) ve \(p\nmid b\) olduğundan sol taraf \(p\) ile bölünmez. Bu nedenle \(c_1,\ldots,c_k\) sayılarının hiçbiri \(p\) ile bölünmez. \(b\) nin seçiminden, her \(j\) için \(c_j\leq b\) elde edilir. Dolayısıyla \[ \frac{M+b}{2} =(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \leq b. \] Bu ise \(M\leq b\) sonucunu verir ve bir çelişkidir.
Öyleyse \(M=1\) dir ve ortak bölene bölünmüş sayıların tümü \(1\) dir. Dolayısıyla başlangıçtaki sayıların tümü eşittir. Bu akıl yürütme \(n>1\) olan her tam sayı için geçerlidir.
Çözüm, resmi IMO shortlist çözümleriyle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 2020 · Problema 5
Se tiene una baraja de \(n>1\) cartas, con un entero positivo escrito en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números escritos en cada par de cartas es también la media geométrica de los números escritos en alguna colección de una o más cartas.
¿Para qué valores de \(n\) se tiene que los números escritos en las cartas son todos iguales?
Texto oficial en español del problema. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
Todos los enteros \(n>1\).
Solución
Dividir todos los números por su máximo común divisor preserva la propiedad: tanto las medias aritméticas como las geométricas quedan divididas por el mismo número positivo. Por tanto, podemos suponer que el máximo común divisor de todos los números es \(1\). Demostraremos que todos los números son \(1\).
Sea \(M\) el mayor número escrito en una carta. Supongamos que \(M>1\), y elijamos un primo \(p\) que divida a \(M\). Como el máximo común divisor de todos los números es \(1\), alguna carta tiene un número no divisible por \(p\). Sea \(b\) el mayor de tales números. En particular, \(b<M\), así que se trata de dos cartas distintas.
Por la propiedad dada, hay \(k\geq 1\) cartas con números \(c_1,\ldots,c_k\) tales que \[ \frac{M+b}{2}=(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k}. \] En consecuencia, \[ (M+b)^k=2^k c_1c_2\cdots c_k. \] Como \(p\mid M\) y \(p\nmid b\), el miembro izquierdo no es divisible por \(p\). Por tanto, ninguno de los números \(c_1,\ldots,c_k\) es divisible por \(p\). Por la elección de \(b\), esto da \(c_j\leq b\) para todo \(j\). Así pues, \[ \frac{M+b}{2} =(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \leq b. \] Esto implica \(M\leq b\), una contradicción.
Por tanto, \(M=1\), y todos los números normalizados son \(1\). En consecuencia, los números originales son todos iguales. El argumento se aplica a todo entero \(n>1\).
La solución se comprobó con las soluciones oficiales de la shortlist de la IMO.
IMO 2020 · 问题 5
有一叠 \(n>1\) 张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质: 其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.
确定所有的 \(n\), 使得可以推论出这叠卡片上的数均相等?
题目为官方中文译本。 官方试卷 (PDF)
答案
所有整数 \(n>1\)。
解答
将每个数都除以它们的最大公约数后，题设性质仍然保持：算术平均值和几何平均值都除以了同一个正数。因此，可以假设所有数的最大公约数为 \(1\)。我们将证明每个数都为 \(1\)。
设 \(M\) 为卡片上最大的数。假设 \(M>1\)，并取一个整除 \(M\) 的素数 \(p\)。由于所有数的最大公约数为 \(1\)，某张卡片上的数不能被 \(p\) 整除。设 \(b\) 为这样的数中最大的一个。特别地，\(b<M\)，所以这是两张不同的卡片。
由题设性质，存在 \(k\geq 1\) 张卡片，其上的数为 \(c_1,\ldots,c_k\)，使得 \[ \frac{M+b}{2}=(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k}. \] 因此， \[ (M+b)^k=2^k c_1c_2\cdots c_k. \] 由于 \(p\mid M\) 且 \(p\nmid b\)，等式左边不能被 \(p\) 整除。因此，\(c_1,\ldots,c_k\) 中没有一个能被 \(p\) 整除。由 \(b\) 的选取，对每个 \(j\) 都有 \(c_j\leq b\)。于是 \[ \frac{M+b}{2} =(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \leq b. \] 这意味着 \(M\leq b\)，矛盾。
因此 \(M=1\)，除以最大公约数后的所有数均为 \(1\)。所以原来的数全都相等。这一论证适用于每个整数 \(n>1\)。
解答已与 IMO 官方预选题（shortlist）解答核对。
IMO 2020 · Задача 5
Имеется \(n>1\) карточек, на каждой из которых написано целое положительное число. Оказалось, что для любых двух карточек среднее арифметическое написанных на них чисел равно среднему геометрическому чисел, написанных на карточках некоторого набора, состоящего из одной или более карточек. При каких \(n\) из этого следует, что все числа, написанные на карточках, равны?
Официальный русский текст задачи. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Все целые \(n>1\).
Решение
Деление всех чисел на их наибольший общий делитель сохраняет данное свойство: и среднее арифметическое, и среднее геометрическое делятся на одно и то же положительное число. Поэтому можно считать, что наибольший общий делитель всех чисел равен \(1\). Докажем, что каждое число равно \(1\).
Пусть \(M\) — наибольшее число на карточках. Предположим, что \(M>1\), и выберем простой делитель \(p\) числа \(M\). Поскольку наибольший общий делитель всех чисел равен \(1\), на некоторой карточке написано число, не делящееся на \(p\). Пусть \(b\) — наибольшее из таких чисел. В частности, \(b<M\), поэтому это две различные карточки.
По данному свойству найдутся \(k\geq 1\) карточек с числами \(c_1,\ldots,c_k\), для которых \[ \frac{M+b}{2}=(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k}. \] Следовательно, \[ (M+b)^k=2^k c_1c_2\cdots c_k. \] Поскольку \(p\mid M\) и \(p\nmid b\), левая часть не делится на \(p\). Значит, ни одно из чисел \(c_1,\ldots,c_k\) не делится на \(p\). По выбору \(b\) отсюда получаем \(c_j\leq b\) для каждого \(j\). Поэтому \[ \frac{M+b}{2} =(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \leq b. \] Отсюда следует \(M\leq b\), противоречие.
Таким образом, \(M=1\), и все числа после деления на наибольший общий делитель равны \(1\). Следовательно, все исходные числа равны. Рассуждение применимо к любому целому \(n>1\).
Решение проверено по официальным решениям шортлиста IMO.
IMO 2020 · المسألة 5
لدينا \(n>1\) من الكروت المعطاة. تم كتابة عدد صحيح موجب على كل كرت. مجموعة الكروت تحقق أن الوسط الحسابي لأي عددين على زوج من الكروت يساوي الوسط الهندسي للأعداد المكتوبة على مجموعة كروت أخرى (مكونة من بطاقة أو أكثر).
لأي قيم \(n\) يقتضي ذلك أن جميع الأعداد على الكروت متساوية؟
نص المسألة هو الترجمة العربية الرسمية. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
جميع الأعداد الصحيحة \(n>1\).
الحل
تحافظ قسمة كل عدد على القاسم المشترك الأكبر للأعداد جميعها على الخاصية: إذ يقسم كل من الوسط الحسابي والوسط الهندسي على العدد الموجب نفسه. لذا يجوز لنا افتراض أن القاسم المشترك الأكبر لجميع الأعداد هو \(1\). سنثبت أن كل عدد يساوي \(1\).
ليكن \(M\) أكبر عدد على بطاقة. لنفترض أن \(M>1\)، ولنختر عددا أوليا \(p\) يقسم \(M\). بما أن القاسم المشترك الأكبر لجميع الأعداد هو \(1\)، فإن هناك بطاقة تحمل عددا لا يقبل القسمة على \(p\). ليكن \(b\) أكبر عدد من هذا النوع. وبوجه خاص، \(b<M\)، ومن ثم فهاتان بطاقتان مختلفتان.
بموجب الخاصية المعطاة، توجد \(k\geq 1\) بطاقة تحمل الأعداد \(c_1,\ldots,c_k\) بحيث \[ \frac{M+b}{2}=(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k}. \] وعليه، \[ (M+b)^k=2^k c_1c_2\cdots c_k. \] بما أن \(p\mid M\) و\(p\nmid b\)، فإن الطرف الأيسر لا يقبل القسمة على \(p\). ومن ثم لا يقبل أي من \(c_1,\ldots,c_k\) القسمة على \(p\). وبحسب اختيار \(b\)، نحصل على \(c_j\leq b\) لكل \(j\). لذلك \[ \frac{M+b}{2} =(c_1c_2\cdots c_k)^{1/k} \leq b. \] يستلزم هذا أن \(M\leq b\)، وهو تناقض.
إذن \(M=1\)، وجميع الأعداد بعد القسمة تساوي \(1\). وبالتالي تكون الأعداد الأصلية كلها متساوية. تنطبق الحجة على كل عدد صحيح \(n>1\).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحلول الرسمية لقائمة IMO المختصرة.