Problem 1

Let \(\mathbb{Z}\) be the set of integers. Determine all functions \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) such that, for all integers \(a\) and \(b\), \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)). \]

Solution →

Problem 2

In triangle \(ABC\), point \(A_1\) lies on side \(BC\) and point \(B_1\) lies on side \(AC\). Let \(P\) and \(Q\) be points on segments \(AA_1\) and \(BB_1\), respectively, such that \(PQ\) is parallel to \(AB\). Let \(P_1\) be a point on line \(PB_1\), such that \(B_1\) lies strictly between \(P\) and \(P_1\), and \(\angle PP_1C = \angle BAC\). Similarly, let \(Q_1\) be a point on line \(QA_1\), such that \(A_1\) lies strictly between \(Q\) and \(Q_1\), and \(\angle CQ_1Q = \angle CBA\).

Prove that points \(P\), \(Q\), \(P_1\), and \(Q_1\) are concyclic.

Solution →

Problem 3

A social network has 2019 users, some pairs of whom are friends. Whenever user \(A\) is friends with user \(B\), user \(B\) is also friends with user \(A\). Events of the following kind may happen repeatedly, one at a time:

Three users \(A\), \(B\), and \(C\) such that \(A\) is friends with both \(B\) and \(C\), but \(B\) and \(C\) are not friends, change their friendship statuses such that \(B\) and \(C\) are now friends, but \(A\) is no longer friends with \(B\), and no longer friends with \(C\). All other friendship statuses are unchanged.

Initially, 1010 users have 1009 friends each, and 1009 users have 1010 friends each. Prove that there exists a sequence of such events after which each user is friends with at most one other user.

Solution →

Problem 4

Find all pairs \((k,n)\) of positive integers such that \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots(2^n - 2^{n-1}). \]

Solution →

Problem 5

The Bank of Bath issues coins with an \(H\) on one side and a \(T\) on the other. Harry has \(n\) of these coins arranged in a line from left to right. He repeatedly performs the following operation: if there are exactly \(k>0\) coins showing \(H\), then he turns over the \(k^{\text{th}}\) coin from the left; otherwise, all coins show \(T\) and he stops. For example, if \(n=3\) the process starting with the configuration \(THT\) would be \(THT\to HHT\to HTT\to TTT\), which stops after three operations.

(a) Show that, for each initial configuration, Harry stops after a finite number of operations.

(b) For each initial configuration \(C\), let \(L(C)\) be the number of operations before Harry stops. For example, \(L(THT)=3\) and \(L(TTT)=0\). Determine the average value of \(L(C)\) over all \(2^n\) possible initial configurations \(C\).

Solution →

Problem 6

Let \(I\) be the incentre of acute triangle \(ABC\) with \(AB\ne AC\). The incircle \(\omega\) of \(ABC\) is tangent to sides \(BC\), \(CA\), and \(AB\) at \(D\), \(E\), and \(F\), respectively. The line through \(D\) perpendicular to \(EF\) meets \(\omega\) again at \(R\). Line \(AR\) meets \(\omega\) again at \(P\). The circumcircles of triangles \(PCE\) and \(PBF\) meet again at \(Q\).

Prove that lines \(DI\) and \(PQ\) meet on the line through \(A\) perpendicular to \(AI\).

Solution →

Aufgabe 1

Es sei \(\mathbb{Z}\) die Menge der ganzen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), so dass \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)) \] für alle ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 2

Im Dreieck \(ABC\) liegt ein Punkt \(A_1\) auf der Seite \(BC\) und ein Punkt \(B_1\) auf der Seite \(AC\). Es seien \(P\) und \(Q\) Punkte auf den Strecken \(AA_1\) bzw. \(BB_1\), so dass \(PQ\) parallel zu \(AB\) ist. Es sei \(P_1\) ein Punkt auf der Geraden \(PB_1\), so dass \(B_1\) im Inneren der Strecke \(PP_1\) liegt und \(\angle PP_1C=\angle BAC\) gilt. Analog, sei \(Q_1\) ein Punkt auf der Geraden \(QA_1\), so dass \(A_1\) im Inneren der Strecke \(QQ_1\) liegt und \(\angle CQ_1Q=\angle CBA\) gilt.

Man beweise, dass die Punkte \(P\), \(Q\), \(P_1\) und \(Q_1\) auf einem Kreis liegen.

Lösung →

Aufgabe 3

Ein soziales Netzwerk hat 2019 Nutzer, von denen einige paarweise befreundet sind. Immer wenn der Nutzer \(A\) mit dem Nutzer \(B\) befreundet ist, dann ist auch der Nutzer \(B\) mit dem Nutzer \(A\) befreundet. Ereignisse der folgenden Art können wiederholt nacheinander stattfinden:

Drei Nutzer \(A\), \(B\) und \(C\), von denen \(A\) mit \(B\) und \(C\) befreundet ist, aber \(B\) und \(C\) nicht befreundet sind, wechseln den Status ihrer Freundschaften so, dass jetzt \(B\) und \(C\) befreundet sind, aber \(A\) nicht mehr mit \(B\) befreundet ist und auch nicht mehr mit \(C\) befreundet ist. Der Status aller anderen Freundschaften bleibt unverändert.

Anfangs sind 1010 Nutzer mit jeweils genau 1009 Nutzern befreundet und 1009 Nutzer mit jeweils genau 1010 Nutzern befreundet. Man beweise, dass es eine Folge solcher Ereignisse gibt, nach der jeder Nutzer höchstens mit einem anderen Nutzer befreundet ist.

Lösung →

Aufgabe 4

Man bestimme alle Paare \((k,n)\) positiver ganzer Zahlen, so dass \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots(2^n - 2^{n-1}). \]

Lösung →

Aufgabe 5

Die Bank of Bath prägt Münzen mit einem \(H\) auf der einen Seite und einem \(T\) auf der anderen. Harry hat \(n\) dieser Münzen von links nach rechts aufgereiht. Er führt wiederholt die folgende Operation durch: Zeigen genau \(k>0\) Münzen ein \(H\), dann dreht er die \(k\)-te Münze von links um; falls alle Münzen ein \(T\) zeigen, hört er auf. Zum Beispiel wäre für \(n=3\) mit Anfangskonfiguration \(THT\) der Prozess \(THT\to HHT\to HTT\to TTT\), welcher nach 3 Operationen endet.

(a) Man zeige, dass Harry für jede Anfangskonfiguration nach einer endlichen Anzahl von Operationen aufhört.

(b) Für jede Anfangskonfiguration \(C\) sei \(L(C)\) die Anzahl der Operationen bis Harry aufhört. Beispielsweise sind \(L(THT)=3\) und \(L(TTT)=0\). Man bestimme den Durchschnittswert von \(L(C)\) über alle \(2^n\) möglichen Anfangskonfigurationen \(C\).

Lösung →

Aufgabe 6

Es sei \(I\) der Inkreismittelpunkt des spitzwinkligen Dreiecks \(ABC\) mit \(AB\ne AC\). Der Inkreis \(\omega\) von \(ABC\) berühre die Seiten \(BC\), \(CA\) und \(AB\) in \(D\), \(E\) bzw. \(F\). Die Gerade durch \(D\) senkrecht zu \(EF\) schneide \(\omega\) außerdem in \(R\). Die Gerade \(AR\) schneide \(\omega\) außerdem in \(P\). Die Umkreise der Dreiecke \(PCE\) und \(PBF\) schneiden sich außerdem in \(Q\).

Man beweise, dass sich die Geraden \(DI\) und \(PQ\) auf derjenigen Geraden durch \(A\) schneiden, die senkrecht zu \(AI\) ist.

Lösung →

Soru 1

Tam sayılar kümesi \(\mathbb{Z}\) ile gösterilsin. Tüm \(a\) ve \(b\) tam sayıları için \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)) \] koşulunu sağlayan tüm \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

Bir \(ABC\) üçgeninde, \([BC]\) kenarı üzerinde \(A_1\) ve \([AC]\) kenarı üzerinde \(B_1\) noktaları alınıyor. Sırasıyla \([AA_1]\) ve \([BB_1]\) doğru parçaları üzerinde \(P\) ve \(Q\) noktaları, \(PQ\) ile \(AB\) paralel olacak şekilde alınıyor. \(PB_1\) doğrusu üzerinde \(P_1\) noktası, \(B_1\) noktası \(P\) ile \(P_1\) arasında kalacak ve \(\angle PP_1C=\angle BAC\) olacak şekilde alınıyor. Benzer şekilde, \(QA_1\) doğrusu üzerinde \(Q_1\) noktası, \(A_1\) noktası \(Q\) ile \(Q_1\) arasında kalacak ve \(\angle CQ_1Q=\angle CBA\) olacak şekilde alınıyor.

\(P\), \(Q\), \(P_1\) ve \(Q_1\) noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

Sanal alemdeki bir sosyal şebekede 2019 kullanıcı bulunuyor. Bu kullanıcılardan bazıları arkadaştır. Arkadaşlık karşılıklıdır, yani \(A\) kullanıcısı \(B\) ile arkadaş ise, \(B\) kullanıcısı da \(A\) ile arkadaştır. Bu sosyal şebekedeki arkadaşlık durumlarını değiştiren aşağıdaki türden olaylar, her defada sadece bir olay olmak üzere, çok defa meydana gelebiliyor:

Olay: \(A\), \(B\) ve \(C\); \(A\) hem \(B\), hem de \(C\) ile arkadaş olacak, fakat \(B\) ile \(C\) birbirleriyle arkadaş olmayacak şekilde üç kullanıcı olmak üzere, arkadaşlık durumları değişip \(B\) ile \(C\) birbirleriyle arkadaş olmaya, \(A\) ise hem \(B\), hem de \(C\) ile arkadaş olmamaya başlıyor. Diğer arkadaşlık durumları ise değişmiyor.

Başlangıçta, 1010 adet kullanıcının her birinin 1009 arkadaşı, 1009 adet kullanıcının ise her birinin 1010 arkadaşı bulunuyor. Her kullanıcının en çok 1 arkadaşının olmasıyla sonuçlanacak bir olaylar dizisinin bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 4

\[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}) \] denklemini sağlayan tüm \((k,n)\) pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 5

Bath Bankası bir yüzünde \(H\), diğer yüzünde \(T\) yazan madeni paralar basmıştır. Bu paralardan \(n\) tanesi soldan sağa dizilmiş olarak Giray’ın önünde duruyor. Giray şu işlemi tekrar tekrar uyguluyor: önündeki paralardan tam olarak \(k>0\) tanesinin \(H\) yüzü üstteyse, soldan \(k\)-inci sıradaki parayı ters çeviriyor; aksi halde, yani tüm paraların \(T\) yüzü üstteyse, duruyor. Örneğin, \(n=3\) durumunda \(THT\) dizilişiyle başlayan süreç \(THT\to HHT\to HTT\to TTT\) olarak devam edip üç işlem sonunda durur.

(a) Başlangıçtaki diziliş nasıl olursa olsun, Giray’ın sonlu sayıda işlem sonunda duracağını gösteriniz.

(b) Her \(C\) başlangıç dizilişi için, \(L(C)\) ile Giray’ın durana kadar yaptığı işlem sayısı gösterilsin. Örneğin, \(L(THT)=3\) ve \(L(TTT)=0\) dır. Her bir \(C\) başlangıç dizilişi için \(L(C)\) değerinin ayrı ayrı belirlenmesiyle elde edilen \(2^n\) adet sayının ortalamasını bulunuz.

Çözüm →

Soru 6

\(|AB|\ne|AC|\) koşulunu sağlayan dar açılı bir \(ABC\) üçgeninin iç teğet çember merkezi \(I\) dır. \(ABC\) nin iç teğet çemberi \(\omega\); \([BC]\), \([CA]\) ve \([AB]\) kenarlarına sırasıyla \(D\), \(E\) ve \(F\) noktalarında teğettir. \(D\) den geçip \(EF\) ye dik olan doğru \(\omega\) ile ikinci kez \(R\) noktasında kesişiyor. \(AR\) doğrusu \(\omega\) ile ikinci kez \(P\) noktasında kesişiyor. \(PCE\) ve \(PBF\) üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez \(Q\) noktasında kesişiyor.

\(DI\) ve \(PQ\) doğrularının, \(A\) dan geçip \(AI\) ya dik olan doğru üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(\mathbb{Z}\) el conjunto de los números enteros. Determinar todas las funciones \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) tales que, para todos los enteros \(a\) y \(b\), \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)). \]

Solución →

Problema 2

En el triángulo \(ABC\), el punto \(A_1\) está en el lado \(BC\) y el punto \(B_1\) está en el lado \(AC\). Sean \(P\) y \(Q\) puntos en los segmentos \(AA_1\) y \(BB_1\), respectivamente, tales que \(PQ\) es paralelo a \(AB\). Sea \(P_1\) un punto en la recta \(PB_1\) distinto de \(B_1\), con \(B_1\) entre \(P\) y \(P_1\), y \(\angle PP_1C=\angle BAC\). Análogamente, sea \(Q_1\) un punto en la recta \(QA_1\) distinto de \(A_1\), con \(A_1\) entre \(Q\) y \(Q_1\), y \(\angle CQ_1Q=\angle CBA\).

Demostrar que los puntos \(P\), \(Q\), \(P_1\), y \(Q_1\) son concíclicos.

Solución →

Problema 3

Una red social tiene 2019 usuarios, algunos de los cuales son amigos. Siempre que el usuario \(A\) es amigo del usuario \(B\), el usuario \(B\) también es amigo del usuario \(A\). Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez:

Tres usuarios \(A\), \(B\), y \(C\) tales que \(A\) es amigo de \(B\) y de \(C\), pero \(B\) y \(C\) no son amigos, cambian su estado de amistad de modo que \(B\) y \(C\) ahora son amigos, pero \(A\) ya no es amigo ni de \(B\) ni de \(C\). Las otras relaciones de amistad no cambian.

Inicialmente, hay 1010 usuarios que tienen 1009 amigos cada uno, y hay 1009 usuarios que tienen 1010 amigos cada uno. Demostrar que hay una sucesión de este tipo de eventos después de la cual cada usuario es amigo como máximo de uno de los otros usuarios.

Solución →

Problema 4

Encontrar todos los pares \((k,n)\) de enteros positivos tales que \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots(2^n - 2^{n-1}). \]

Solución →

Problema 5

El Banco de Bath emite monedas con una \(H\) en una cara y una \(T\) en la otra. Harry tiene \(n\) monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente \(k>0\) monedas con la \(H\) hacia arriba, Harry voltea la \(k\)-ésima moneda contando desde la izquierda; en caso contrario, todas las monedas tienen la \(T\) hacia arriba y él se detiene. Por ejemplo, si \(n=3\) y la configuración inicial es \(THT\), el proceso sería \(THT\to HHT\to HTT\to TTT\), que se detiene después de tres operaciones.

(a) Demostrar que para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el proceso se detiene después de un número finito de operaciones.

(b) Para cada configuración inicial \(C\), sea \(L(C)\) el número de operaciones que se realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, \(L(THT)=3\) y \(L(TTT)=0\). Determinar el valor promedio de \(L(C)\) sobre todas las \(2^n\) posibles configuraciones iniciales de \(C\).

Solución →

Problema 6

Sea \(I\) el incentro del triángulo acutángulo \(ABC\) con \(AB\ne AC\). La circunferencia inscrita (o incírculo) \(\omega\) de \(ABC\) es tangente a los lados \(BC\), \(CA\) y \(AB\) en \(D\), \(E\) y \(F\), respectivamente. La recta que pasa por \(D\) y es perpendicular a \(EF\) corta a \(\omega\) nuevamente en \(R\). La recta \(AR\) corta a \(\omega\) nuevamente en \(P\). Las circunferencias circunscritas (o circuncírculos) de los triángulos \(PCE\) y \(PBF\) se cortan nuevamente en \(Q\).

Demostrar que las rectas \(DI\) y \(PQ\) se cortan en la recta que pasa por \(A\) y es perpendicular a \(AI\).

Solución →

问题 1

用\(\mathbb{Z}\)表示全体整数构成的集合. 求所有函数\(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), 满足对任意整数\(a\)和\(b\), 都有 \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)). \]

解答 →

问题 2

在三角形\(ABC\)中, 点\(A_1\)在边\(BC\)上, 点\(B_1\)在边\(AC\)上. 点\(P\)和\(Q\)分别在线段\(AA_1\)和\(BB_1\)上, 且满足\(PQ\)平行于\(AB\). 在直线\(PB_1\)上取点\(P_1\), 使得点\(B_1\)严格位于点\(P\)与点\(P_1\)之间, 并且\(\angle PP_1C=\angle BAC\). 类似地, 在直线\(QA_1\)上取点\(Q_1\), 使得点\(A_1\)严格位于点\(Q\)与点\(Q_1\)之间, 并且\(\angle CQ_1Q=\angle CBA\).

证明: 点\(P,Q,P_1,Q_1\)共圆.

解答 →

问题 3

一个社交网络上有2019个用户, 某些用户之间是朋友关系. 只要用户\(A\)是用户\(B\)的朋友, 则用户\(B\)也是用户\(A\)的朋友. 如下形式的操作可反复进行, 每一时刻只进行一个操作:

三个用户\(A,B\)和\(C\), 满足\(A\)与\(B,C\)都是朋友, 但\(B\)和\(C\)不是朋友, 则同时改变他们之间的朋友关系, 即\(B\)和\(C\)变为朋友, 但\(A\)与\(B\)不再是朋友, \(A\)与\(C\)也不再是朋友. 所有其他的朋友关系不改变.

已知最初时有1010个用户每人拥有1009个朋友, 有1009个用户每人拥有1010个朋友. 证明: 存在一个操作序列, 使得操作结束后, 每个用户至多只有一个朋友.

解答 →

问题 4

求所有正整数对\((k,n)\), 满足 \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots(2^n - 2^{n-1}). \]

解答 →

问题 5

巴斯银行发行的硬币在一面上铸有\(H\), 在另一面上铸有\(T\). 哈利有\(n\)枚这样的硬币并将这些硬币从左至右排成一行. 他反复地进行如下操作: 如果恰有\(k\ (>0)\)枚硬币\(H\)面朝上, 则他将从左至右的第\(k\)枚硬币翻转; 如果所有硬币都是\(T\)面朝上, 则停止操作. 例如: 当\(n=3\), 并且初始状态是\(THT\), 则操作过程为\(THT\to HHT\to HTT\to TTT\), 总共进行了三次操作后停止.

(a) 证明: 对每个初始状态, 哈利总在有限次操作后停止.

(b) 对每个初始状态\(C\), 记\(L(C)\)为哈利从初始状态\(C\)开始至停止操作时的操作次数, 例如\(L(THT)=3\), \(L(TTT)=0\). 求\(C\)取遍所有\(2^n\)个可能的初始状态时得到的\(L(C)\)的平均值.

解答 →

问题 6

在锐角三角形\(ABC\)中, \(I\)是内心, \(AB\ne AC\). 三角形\(ABC\)的内切圆\(\omega\)与边\(BC,CA\)和\(AB\)分别相切于点\(D,E\)和\(F\). 过点\(D\)且垂直于\(EF\)的直线与\(\omega\)的另一点交点为\(R\). 直线\(AR\)与\(\omega\)的另一交点为\(P\). 三角形\(PCE\)和三角形\(PBF\)的外接圆交于另一点\(Q\).

证明: 直线\(DI\)和\(PQ\)的交点在过点\(A\)且垂直于\(AI\)的直线上.

解答 →

Задача 1

Пусть \(\mathbb{Z}\) — множество всех целых чисел. Найдите все функции \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) такие, что для любых целых чисел \(a\) и \(b\) верно равенство \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)). \]

Решение →

Задача 2

В треугольнике \(ABC\) точка \(A_1\) лежит на отрезке \(BC\), а точка \(B_1\) лежит на отрезке \(AC\). Пусть \(P\) и \(Q\) — точки на отрезках \(AA_1\) и \(BB_1\) соответственно, такие, что прямая \(PQ\) параллельна \(AB\). Точка \(P_1\), лежащая на прямой \(PB_1\), такова, что \(B_1\) находится строго между \(P\) и \(P_1\), причем \(\angle PP_1C=\angle BAC\). Аналогично, точка \(Q_1\), лежащая на прямой \(QA_1\), такова, что \(A_1\) находится строго между \(Q\) и \(Q_1\), причем \(\angle CQ_1Q=\angle CBA\).

Докажите, что точки \(P\), \(Q\), \(P_1\) и \(Q_1\) лежат на одной окружности.

Решение →

Задача 3

В социальной сети 2019 пользователей. Некоторые пользователи дружат с некоторыми другими, при этом отношение дружбы взаимно, то есть если пользователь \(A\) дружит с пользователем \(B\), то \(B\) также дружит с \(A\). Перестройки следующего типа производятся последовательно, по одной перестройке за раз:

выбираются три пользователя \(A\), \(B\) и \(C\) таких, что \(A\) дружит и с \(B\) и с \(C\), но \(B\) и \(C\) не дружат между собой; после чего \(B\) и \(C\) становятся друзьями, но \(A\) теперь не дружит ни с \(B\), ни с \(C\).

Изначально 1010 пользователей имеют по 1009 друзей, а 1009 пользователей имеют по 1010 друзей. Докажите, что существует последовательность перестроек, после которой каждый пользователь будет иметь не более одного друга.

Решение →

Задача 4

Найдите все пары \((k,n)\) целых положительных чисел такие, что \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots(2^n - 2^{n-1}). \]

Решение →

Задача 5

Банк города Бат выпускает монеты с буквой \(H\) на одной стороне и буквой \(T\) на другой стороне. Гарри разложил \(n\) таких монет в ряд слева направо. Он последовательно производит следующую операцию: если в ряду ровно \(k>0\) монет лежат буквой \(H\) кверху, то он переворачивает \(k\)-ю слева монету; иначе все монеты лежат буквой \(T\) кверху, и он останавливается. Например, если \(n=3\) и процесс начинается с конфигурации \(THT\), то последовательность операций выглядит как \(THT\to HHT\to HTT\to TTT\), то есть процесс остановится после трех операций.

(a) Докажите, что при любой начальной конфигурации процесс остановится после конечного числа операций.

(b) Для каждой начальной конфигурации \(C\) через \(L(C)\) обозначим количество операций, после которых процесс остановится. Например, \(L(THT)=3\) и \(L(TTT)=0\). Найдите среднее арифметическое значений \(L(C)\), когда \(C\) пробегает все \(2^n\) возможных начальных конфигураций.

Решение →

Задача 6

Пусть \(I\) — центр вписанной окружности остроугольного треугольника \(ABC\), в котором \(AB\ne AC\). Вписанная окружность \(\omega\) треугольника \(ABC\) касается сторон \(BC\), \(CA\) и \(AB\) в точках \(D\), \(E\) и \(F\) соответственно. Прямая, проходящая через \(D\) и перпендикулярная \(EF\), пересекает \(\omega\) вторично в точке \(R\). Прямая \(AR\) пересекает \(\omega\) вторично в точке \(P\). Окружности, описанные около треугольников \(PCE\) и \(PBF\), пересекаются вторично в точке \(Q\).

Докажите, что прямые \(DI\) и \(PQ\) пересекаются на прямой, проходящей через \(A\) и перпендикулярной \(AI\).

Решение →

المسألة 1

لتكن \(\mathbb Z\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة. أوجد جميع الدوال \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) بحيث أنه لكل الأعداد الصحيحة \(a,b\) \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)) \]

← الحل

المسألة 2

في المثلث \(ABC\) النقطة \(A_1\) تقع على الضلع \(BC\) والنقطة \(B_1\) تقع على الضلع \(AC\). لتكن \(P,Q\) نقطتين تقعان على القطعتين \(AA_1,BB_1\) على الترتيب، بشرط \(PQ\) يوازي \(AB\). لتكن \(P_1\) نقطة على المستقيم \(PB_1\) حيث \(B_1\) تقع بين \(P,P_1\) بحيث \(\angle PP_1C=\angle BAC\). وبالمثل لتكن \(Q_1\) نقطة على المستقيم \(QA_1\) حيث \(A_1\) تقع بين \(Q,Q_1\) بحيث \(\angle CQ_1Q=\angle CBA\).

برهن أن النقاط \(P,Q,P_1,Q_1\) تقع على دائرة واحدة.

← الحل

المسألة 3

لدينا شبكة اتصالات اجتماعية فيها \(2019\) مستخدم، بعض الثنائيات منهم أصدقاء. فعندما يكون \(A\) صديقاً لـ \(B\) يكون \(B\) صديقاً لـ \(A\). الأحداث من النوع التالي يمكن أن تتكرر في كل حادثة مرة واحدة:

عندما يكون لدينا ثلاثة مستخدمين \(A,B,C\) بحيث أن \(A\) صديق لكل من \(B,C\) ولكن \(B,C\) ليسا صديقين فإن هذا يتغير إلى الحالة التالية والتي فيها \(B,C\) يصبحان صديقين ولكن \(A\) لايعود صديقاً لـ \(B\) ولا لـ \(C\). كل علاقات الصداقة الأخرى لا تتغير.

ابتداءً لدينا \(1010\) مستخدماً كل منهم صديق لـ \(1009\) من المستخدمين، و \(1009\) مستخدماً كل واحد منهم له \(1010\) صديق.

برهن أنه توجد متوالية من الأحداث بحيث يكون لكل شخص صديق واحد على الأكثر.

← الحل

المسألة 4

أوجد جميع الأزواج الصحيحة الموجبة \((k,n)\) التي تحقق المعادلة: \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\ldots(2^n - 2^{n-1}) \]

← الحل

المسألة 5

يُصدر البنك في مدينة باث قطعاً من النقود عليها الحرف \(H\) على أحد الوجهين والحرف \(T\) على الوجه الآخر. يمتلك هاني \(n\) من هذه القطع مرتبة على شكل خط مستقيم من اليسار إلى اليمين. يقوم هاني بتكرار العملية التالية:

إذا كان لدينا بالضبط \(k>0\) من النقود على وجهها الحرف \(H\) فإنه يقوم بقلب القطعة التي ترتيبها \(k\) من اليسار، وتتوقف العملية عندما تكون أوجه كل النقود \(T\). على سبيل المثال إذا كان \(n=3\) فإن العملية التي تبدأ بالتشكيلة \(THT\) تصبح كالتالي: \[ THT\to HHT\to HTT\to TTT \] أي أن عدد العمليات هنا \(3\) ثم تتوقف.

(a) أثبت أنه لكل تشكيلة ممكنة سيتمكن هاني من التوقف بعد عدد منتهي من العمليات.

(b) لكل تشكيلة ممكنة \(C\) ترمز \(L(C)\) لعدد العمليات التي سيجريها هاني قبل أن يتوقف. على سبيل المثال \(L(THT)=3\)، \(L(TTT)=0\). احسب متوسط قيمة \(L(C)\) على كل التشكيلات الممكنة لـ \(C\) والتي عددها \(2^n\).

← الحل

المسألة 6

الدائرة \(\omega\) التي مركزها \(I\) هي الدائرة الداخلية للمثلث الحاد الزوايا \(ABC\) الذي فيه \(AB\ne AC\). الدائرة \(\omega\) تمس أضلاع المثلث \(BC,CA,AB\) على الترتيب في \(D,E,F\). المستقيم المار بالنقطة \(D\) عمودي على \(EF\) يقطع الدائرة \(\omega\) مرة أخرى في \(R\). المستقيم \(AR\) يلاقي الدائرة \(\omega\) مرة أخرى في النقطة \(P\). الدائرتان المحيطتان للمثلثين \(PCE,PBF\) يتقاطعان في نقطة أخرى \(Q\). أثبت أن المستقيمين \(DI,PQ\) يتقاطعان في نقطة تقع على المستقيم المار بالرأس \(A\) وعمودي على \(AI\).

← الحل