Problem 1

Let \(\Gamma\) be the circumcircle of acute-angled triangle \(ABC\). Points \(D\) and \(E\) lie on segments \(AB\) and \(AC\), respectively, such that \(AD = AE\). The perpendicular bisectors of \(BD\) and \(CE\) intersect the minor arcs \(AB\) and \(AC\) of \(\Gamma\) at points \(F\) and \(G\), respectively. Prove that the lines \(DE\) and \(FG\) are parallel (or are the same line).

Solution →

Problem 2

Find all integers \(n \ge 3\) for which there exist real numbers \(a_1,a_2,\ldots,a_{n+2}\), such that \(a_{n+1}=a_1\) and \(a_{n+2}=a_2\), and \[ a_i a_{i+1}+1=a_{i+2} \] for \(i=1,2,\ldots,n\).

Solution →

Problem 3

An anti-Pascal triangle is an equilateral triangular array of numbers such that, except for the numbers in the bottom row, each number is the absolute value of the difference of the two numbers immediately below it. For example, the following array is an anti-Pascal triangle with four rows which contains every integer from 1 to 10.

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&4&&&\\ &&2&&6&&\\ &5&&7&&1&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} \]

Does there exist an anti-Pascal triangle with 2018 rows which contains every integer from 1 to \(1+2+\cdots+2018\)?

Solution →

Problem 4

A site is any point \((x,y)\) in the plane such that \(x\) and \(y\) are both positive integers less than or equal to \(20\).

Initially, each of the \(400\) sites is unoccupied. Amy and Ben take turns placing stones with Amy going first. On her turn, Amy places a new red stone on an unoccupied site such that the distance between any two sites occupied by red stones is not equal to \(\sqrt{5}\). On his turn, Ben places a new blue stone on any unoccupied site. (A site occupied by a blue stone is allowed to be at any distance from any other occupied site.) They stop as soon as a player cannot place a stone.

Find the greatest \(K\) such that Amy can ensure that she places at least \(K\) red stones, no matter how Ben places his blue stones.

Solution →

Problem 5

Let \(a_1,a_2,\ldots\) be an infinite sequence of positive integers. Suppose that there is an integer \(N>1\) such that, for each \(n\geq N\), the number \[ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} \] is an integer. Prove that there is a positive integer \(M\) such that \(a_m=a_{m+1}\) for all \(m\geq M\).

Solution →

Problem 6

A convex quadrilateral \(ABCD\) satisfies \(AB\cdot CD=BC\cdot DA\). Point \(X\) lies inside \(ABCD\) so that \[ \angle XAB=\angle XCD \qquad\text{and}\qquad \angle XBC=\angle XDA. \] Prove that \(\angle BXA+\angle DXC=180^\circ\).

Solution →

Aufgabe 1

Es sei \(\Gamma\) der Umkreis eines spitzwinkligen Dreiecks \(ABC\). Punkte \(D\) und \(E\) liegen so auf den Strecken \(AB\) bzw. \(AC\), dass \(AD = AE\) gilt. Die Mittelsenkrechten der Strecken \(BD\) und \(CE\) schneiden die kürzeren Kreisbögen \(AB\) bzw. \(AC\) von \(\Gamma\) in den Punkten \(F\) bzw. \(G\). Man beweise, dass die Geraden \(DE\) und \(FG\) parallel oder gleich sind.

Lösung →

Aufgabe 2

Man bestimme alle ganzen Zahlen \(n\ge 3\), für die reelle Zahlen \(a_1,a_2,\ldots,a_{n+2}\) existieren, so dass \(a_{n+1}=a_1\), \(a_{n+2}=a_2\) und \[ a_i a_{i+1}+1=a_{i+2} \] für \(i=1,2,\ldots,n\) gelten.

Lösung →

Aufgabe 3

Ein anti-Pascalsches Dreieck ist eine gleichseitig dreieckige Anordnung von Zahlen in der, mit Ausnahme der Zahlen in der untersten Zeile, jede Zahl gleich dem Absolutbetrag der Differenz der beiden unmittelbar darunter stehenden Zahlen ist. Zum Beispiel ist die folgende Anordnung ein anti-Pascalsches Dreieck mit vier Zeilen, das jede ganze Zahl von 1 bis 10 enthält.

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&4&&&\\ &&2&&6&&\\ &5&&7&&1&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} \]

Existiert ein anti-Pascalsches Dreieck mit 2018 Zeilen, das jede ganze Zahl von 1 bis \(1+2+\cdots+2018\) enthält?

Lösung →

Aufgabe 4

Ein Knoten ist ein Punkt \((x,y)\) in der Ebene, für den sowohl \(x\) als auch \(y\) positive ganze Zahlen kleiner oder gleich 20 sind.

Zunächst ist jeder der 400 Knoten unbesetzt. Amy und Ben legen abwechselnd Steine auf die Knoten, wobei Amy beginnt. In jedem Zug von Amy legt sie einen neuen roten Stein so auf einen unbesetzten Knoten, dass der Abstand zwischen je zwei von roten Steinen besetzten Knoten ungleich \(\sqrt{5}\) ist. In jedem Zug von Ben legt er einen neuen blauen Stein auf einen unbesetzten Knoten. (Ein Knoten, der von einem blauen Stein besetzt ist, darf einen beliebigen Abstand von jedem anderen besetzten Knoten haben.) Sie hören auf, sobald ein Spieler keinen Stein mehr legen kann.

Man bestimme das größte \(K\), so dass Amy sicher mindestens \(K\) rote Steine legen kann, unabhängig davon, wie Ben seine blauen Steine legt.

Lösung →

Aufgabe 5

Es sei \(a_1,a_2,\ldots\) eine unendliche Folge positiver ganzer Zahlen. Es sei angenommen, dass eine ganze Zahl \(N>1\) existiert, so dass für jedes \(n\ge N\) die Zahl \[ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} \] ganz ist. Man beweise, dass es eine positive ganze Zahl \(M\) gibt, so dass \(a_m=a_{m+1}\) für alle \(m\ge M\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 6

Ein konvexes Viereck \(ABCD\) erfülle die Bedingung \(AB\cdot CD=BC\cdot DA\). Ein Punkt \(X\) liege so im Inneren von \(ABCD\), dass \[ \angle XAB=\angle XCD\quad\text{und}\quad\angle XBC=\angle XDA. \] Man beweise, dass \(\angle BXA+\angle DXC=180^\circ\) gilt.

Lösung →

Soru 1

Dar açılı bir \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberi \(\Gamma\) olsun. \([AB]\) ve \([AC]\) doğru parçaları üzerinde sırasıyla \(D\) ve \(E\) noktaları \(|AD|=|AE|\) olacak şekilde alınıyor. \([BD]\) ve \([CE]\) nin orta dikmeleri \(\Gamma\) nın küçük \(\widehat{AB}\) ve \(\widehat{AC}\) yaylarını sırasıyla \(F\) ve \(G\) noktalarında kesiyor. \(DE\) ve \(FG\) doğrularının paralel olduklarını veya aynı doğru olduklarını gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

Hangi \(n\ge 3\) tam sayıları için, \(a_{n+1}=a_1\) ve \(a_{n+2}=a_2\) olup her \(i=1,2,\ldots,n\) için \[ a_i a_{i+1}+1=a_{i+2} \] eşitliğini sağlayan \(a_1,a_2,\ldots,a_{n+2}\) gerçel sayıları bulunur?

Çözüm →

Soru 3

Eşkenar üçgen şeklindeki bir sayı dizilişinde en alttaki satır dışındaki her bir sayı kendisinin hemen altındaki iki sayının farkının mutlak değerine eşitse bu dizilişe bir tuhaf Pascal üçgeni diyelim. Örneğin, aşağıda \(1\) den \(10\) a kadar tüm tam sayıları içeren dört satırlı bir tuhaf Pascal üçgeni gösterilmiştir.

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&4&&&\\ &&2&&6&&\\ &5&&7&&1&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} \]

\(1\) den \(1+2+\cdots+2018\) sayısına kadar tüm tam sayıları içeren \(2018\) satırlı bir tuhaf Pascal üçgeni var mıdır?

Çözüm →

Soru 4

Koordinat düzleminde, \(x\) ve \(y\) nin \(20\) den küçük veya eşit pozitif tam sayılar olduğu her \((x,y)\) noktasına yuva diyelim.

Başlangıçta, \(400\) yuvanın hiç biri taş içermiyor. İlk hamleyi Aslı yapmak üzere Aslı ve Burcu sırayla hamle yapıyorlar. Aslı her hamlesinde, taş içermeyen bir yuvaya yeni bir kırmızı taşı, kırmızı taş içeren herhangi iki yuvanın arasındaki uzaklık \(\sqrt{5}\) ten farklı olmak koşuluyla yerleştiriyor. Burcu her hamlesinde, taş içermeyen bir yuvaya yeni bir mavi taş yerleştiriyor. (Mavi taş içeren bir yuva ile diğer herhangi bir yuvanın arasındaki uzaklık ile ilgili herhangi bir koşul yoktur.) Sırası gelen kişi hamle yapamıyorsa, iki kişi de taş yerleştirmeyi bırakıyor.

Burcu mavi taşlarını nasıl yerleştirirse yerleştirsin, Aslı en az \(K\) adet kırmızı taş yerleştirmeyi garantileyebiliyorsa, \(K\) nın alabileceği en büyük değer nedir?

Çözüm →

Soru 5

Bir \(a_1,a_2,\ldots\) sonsuz pozitif tam sayı dizisi ile bir \(N>1\) tam sayısı için \[ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} \] ifadesi, her \(n\ge N\) için bir tam sayıya eşit oluyor. Her \(m\ge M\) için \(a_m=a_{m+1}\) olacak şekilde bir \(M\) pozitif tam sayısının bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 6

Bir dışbükey \(ABCD\) dörtgeninde \(|AB|\cdot|CD|=|BC|\cdot|DA|\) eşitliği sağlanıyor. \(ABCD\) nin iç bölgesindeki bir \(X\) noktası \[ \angle XAB=\angle XCD\qquad\text{ve}\qquad\angle XBC=\angle XDA \] eşitliklerini sağlıyor. \(\angle BXA+\angle DXC=180^\circ\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(\Gamma\) la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo \(ABC\). Los puntos \(D\) y \(E\) están en los segmentos \(AB\) y \(AC\), respectivamente, y son tales que \(AD = AE\). Las mediatrices de \(BD\) y \(CE\) cortan a los arcos menores \(AB\) y \(AC\) de \(\Gamma\) en los puntos \(F\) y \(G\), respectivamente. Demostrar que las rectas \(DE\) y \(FG\) son paralelas (o son la misma recta).

Solución →

Problema 2

Hallar todos los enteros \(n \ge 3\) para los que existen números reales \(a_1,a_2,\ldots,a_{n+2}\), tales que \(a_{n+1}=a_1\) y \(a_{n+2}=a_2\), y \[ a_i a_{i+1}+1=a_{i+2} \] para \(i=1,2,\ldots,n\).

Solución →

Problema 3

Un triángulo anti-Pascal es una disposición de números en forma de triángulo equilátero de tal manera que cada número, excepto los de la última fila, es el valor absoluto de la diferencia de los dos números que están inmediatamente debajo de él. Por ejemplo, la siguiente disposición es un triángulo anti-Pascal con cuatro filas que contiene todos los enteros desde 1 hasta 10.

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&4&&&\\ &&2&&6&&\\ &5&&7&&1&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} \]

Determinar si existe un triángulo anti-Pascal con 2018 filas que contenga todos los enteros desde 1 hasta \(1+2+\cdots+2018\).

Solución →

Problema 4

Un lugar es un punto \((x,y)\) en el plano tal que \(x\), \(y\) son ambos enteros positivos menores o iguales que 20.

Al comienzo, cada uno de los 400 lugares está vacío. Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando con Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que la distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por piedras rojas es distinto de \(\sqrt{5}\). En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío. (Un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado.) Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra.

Hallar el mayor \(K\) tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos \(K\) piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

Solución →

Problema 5

Sea \(a_1,a_2,\ldots\) una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero \(N>1\) tal que para cada \(n\ge N\) el número \[ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} \] es entero. Demostrar que existe un entero positivo \(M\) tal que \(a_m=a_{m+1}\) para todo \(m\ge M\).

Solución →

Problema 6

Un cuadrilátero convexo \(ABCD\) satisface \(AB\cdot CD=BC\cdot DA\). El punto \(X\) en el interior de \(ABCD\) es tal que \[ \angle XAB=\angle XCD\quad\text{y}\quad\angle XBC=\angle XDA. \] Demostrar que \(\angle BXA+\angle DXC=180^\circ\).

Solución →

问题 1

设\(\Gamma\)是锐角三角形\(ABC\)的外接圆．点\(D\)和\(E\)分别在线段\(AB\)和\(AC\)上，满足\(AD = AE\)．线段\(BD\)和\(CE\)的垂直平分线分别与\(\Gamma\)的劣弧\(\widehat{AB}\)和\(\widehat{AC}\)交于点\(F\)和\(G\)．证明：直线\(DE\)与\(FG\)平行(或重合)．

解答 →

问题 2

求所有整数\(n\ge 3\)，使得存在实数\(a_1,a_2,\cdots,a_{n+2}\)，满足\(a_{n+1}=a_1\)，\(a_{n+2}=a_2\)，并且对\(i=1,2,\cdots,n\)，都有 \[ a_i a_{i+1}+1=a_{i+2}. \]

解答 →

问题 3

一个反帕斯卡三角形是由一些数排成的等边三角形数阵，其中每个不在最后一行的数都恰好等于排在它下面的两个数的差的绝对值．例如，下面的数阵是一个反帕斯卡三角形，它共有四行，并且恰含有\(1\)至\(10\)中的每个整数．

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&4&&&\\ &&2&&6&&\\ &5&&7&&1&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} \]

试问：是否存在一个共有\(2018\)行的反帕斯卡三角形，恰含有\(1\)至\(1+2+\cdots+2018\)中的每个整数？

解答 →

问题 4

我们所谓一个位置是指直角坐标平面上的一个点\((x,y)\)，其中\(x,y\)都是不超过\(20\)的正整数．

最初时，所有\(400\)个位置都是空的．甲乙两人轮流摆放石子，由甲先进行．每次轮到甲时，他在一个空的位置上摆上一个新的红色石子，要求任意两个红色石子所在位置之间的距离都不等于\(\sqrt{5}\)．每次轮到乙时，他在任意一个空的位置上摆上一个新的蓝色石子．(蓝色石子所在位置与其它石子所在位置之间距离可以是任意值．) 如此这般进行下去直至某个人无法再摆放石子．

试确定最大的整数\(K\)，使得无论乙如何摆放蓝色石子，甲总能保证至少摆放\(K\)个红色石子．

解答 →

问题 5

设\(a_1,a_2,\cdots\)是一个无限项正整数序列．已知存在整数\(N>1\)，使得对每个整数\(n\ge N\)， \[ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} \] 都是整数．证明：存在正整数\(M\)，使得\(a_m=a_{m+1}\)对所有整数\(m\ge M\)都成立．

解答 →

问题 6

在凸四边形\(ABCD\)中，\(AB\cdot CD=BC\cdot DA\)．点\(X\)在四边形\(ABCD\)内部，且满足 \[ \angle XAB=\angle XCD,\quad \angle XBC=\angle XDA. \]

证明：\(\angle BXA+\angle DXC=180^\circ\)．

解答 →

Задача 1

Пусть \(\Gamma\) — окружность, описанная около остроугольного треугольника \(ABC\). Точки \(D\) и \(E\) лежат на отрезках \(AB\) и \(AC\) соответственно, причём \(AD = AE\). Серединные перпендикуляры к отрезкам \(BD\) и \(CE\) пересекают меньшие дуги \(AB\) и \(AC\) окружности \(\Gamma\) в точках \(F\) и \(G\) соответственно. Докажите, что прямые \(DE\) и \(FG\) параллельны или совпадают.

Решение →

Задача 2

Найдите все целые числа \(n\ge 3\), для которых существуют вещественные числа \(a_1,a_2,\ldots,a_{n+2}\) такие, что \(a_{n+1}=a_1\), \(a_{n+2}=a_2\) и \[ a_i a_{i+1}+1=a_{i+2} \] при всех \(i=1,2,\ldots,n\).

Решение →

Задача 3

Антипаскалевым треугольником назовём таблицу в виде равностороннего треугольника, заполненную числами так, что каждое число, кроме чисел, стоящих в нижней строке, равно модулю разности двух чисел, стоящих непосредственно под ним. Ниже приведён пример антипаскалева треугольника с четырьмя строками, в котором встречаются все целые числа от \(1\) до \(10\).

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&4&&&\\ &&2&&6&&\\ &5&&7&&1&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} \]

Существует ли антипаскалев треугольник с \(2018\) строками, в котором встречаются все целые числа от \(1\) до \(1+2+\ldots+2018\)?

Решение →

Задача 4

На координатной плоскости отмечены точки \((x,y)\) с целыми положительными координатами \(x\) и \(y\), не превосходящими \(20\).

Вначале все \(400\) отмеченных точек не заняты. Аня и Ваня делают ходы по очереди, Аня ходит первой. Своим ходом Аня кладёт в ещё не занятую отмеченную точку новый красный камень, причём расстояние между любыми двумя точками с красными камнями не должно равняться \(\sqrt{5}\). Ваня своим ходом кладёт в ещё не занятую отмеченную точку новый синий камень. (Точка с синим камнем может находиться на произвольном расстоянии от других занятых точек.) Игра останавливается, когда кто-то из игроков не может сделать ход.

Найдите наибольшее \(K\), при котором Аня сможет разместить не менее чем \(K\) красных камней независимо от действий Вани.

Решение →

Задача 5

Пусть \(a_1,a_2,\ldots\) — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Предположим, что существует целое число \(N>1\) такое, что при всех \(n\ge N\) число \[ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} \] является целым. Докажите, что найдётся такое целое положительное \(M\), что \(a_m=a_{m+1}\) при всех \(m\ge M\).

Решение →

Задача 6

Выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) удовлетворяет условию \(AB\cdot CD=BC\cdot DA\). Точка \(X\) внутри четырёхугольника \(ABCD\) такова, что \[ \angle XAB=\angle XCD\quad\text{и}\quad\angle XBC=\angle XDA. \] Докажите, что \(\angle BXA+\angle DXC=180^\circ\).

Решение →

المسألة 1

لتكن \(\Gamma\) الدائرة المحيطة بالمثلث الحاد الزوايا \(ABC\). النقطتان \(D\) و \(E\) تقعان على القطعتين \(AB\) و \(AC\) على الترتيب بحيث \(AD=AE\). العمودان المنصفان للقطعتين \(BD\) و \(CE\) يتقاطعان مع القوسين الصغيرين \(AB\) و \(AC\) من الدائرة \(\Gamma\) في النقطتين \(F\) و \(G\) على الترتيب. أثبت أن المستقيمين \(DE\) و \(FG\) متوازيان.

← الحل

المسألة 2

أوجد جميع الأعداد الصحيحة \(n\ge 3\) بحيث توجد أعداد حقيقية \(a_1,a_2,...,a_{n+2}\)، تحقق \(a_{n+1}=a_1\) و \(a_{n+2}=a_2\) و \[ a_i a_{i+1}+1=a_{i+2} \] لكل \(i=1,2,...,n\).

← الحل

المسألة 3

نعرف مثلث باسكال العكسي بأنه صفيف من الأعداد على هيئة مثلث متساوي الأضلاع بحيث كل عدد يساوي الفرق الموجب للعددين اللذين يقعان تحته مباشرة ماعدا، الصف الأخير. المثال أدناه هو مثلث باسكال عكسي بأربعة صفوف و يحوي الأعداد من \(1\) إلى \(10\)

\[ \begin{array}{ccccccc} &&&4&&&\\ &&2&&6&&\\ &5&&7&&1&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} \]

هل من الممكن إيجاد مثلث باسكال عكسي يحوي \(2018\) من الصفوف بحيث توجد فيه جميع الأعداد من \(1\) إلى \(1+2+\ldots+2018\)؟

← الحل

المسألة 4

نعرف الموقع بأنه نقطة \((x,y)\) في المستوي بحيث \(x,y\) عددان صحيحان موجبان أقل من أو يساوي \(20\).

بدايةً جميع المواقع و التي عددها \(400\) خالية. أحلام و بدر يتبادلان الأدوار في اللعب حيث البداية لأحلام. عندما يأتي الدور على أحلام فإنها تقوم بوضع حجر جديد لونه أحمر على موقع خالٍ بحيث أن المسافة بين أي موقعين يحويان حجرًا أحمرًا لا تساوي \(\sqrt{5}\). عندما يأتي الدور على بدر فإنه يضع حجرًا جديدًا لونه أزرق في أي موقع خال (لا توجد قيود على المسافة بين موقع الحجر الأزرق الجديد و أي مواقع أخرى فيها أحجار مهما كان اللون). اللعبة تنتهي عندما لا يستطيع أي من اللاعبين أن يضيف حجرًا جديدًا.

أوجد أكبر قيمة للعدد \(K\) بحيث تضمن أحلام أنها تستطيع أن تضع على الأقل \(K\) من الأحجار الحمراء بغض النظر عن الأماكن التي يضع فيها بدر أحجاره الزرقاء.

← الحل

المسألة 5

لتكن \(a_1,a_2,...\) متتابعة غير منتهية من الأعداد الصحيحة الموجبة. لنفرض وجود عدد صحيح \(N>1\) بحيث لكل \(n\ge N\)، يكون المقدار \[ \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} \] عددًا صحيحًا. أثبت وجود عدد صحيح موجب \(M\) بحيث \(a_m=a_{m+1}\) لكل \(m\ge M\).

← الحل

المسألة 6

ليكن \(ABCD\) رباعيًا محدبًا فيه \(AB\cdot CD=BC\cdot DA\). النقطة \(X\) تقع داخل الرباعي \(ABCD\) بحيث: \[ \angle XAB=\angle XCD \quad\text{و}\quad \angle XBC=\angle XDA \] أثبت أن \(\angle BXA+\angle DXC=180^\circ\).

← الحل