Problem 1

For each integer \(a_0>1\), define the sequence \(a_0,a_1,a_2,\ldots\) by: \[ a_{n+1}= \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}, \end{cases} \qquad\text{for each }n\geq 0. \] Determine all values of \(a_0\) for which there is a number \(A\) such that \(a_n=A\) for infinitely many values of \(n\).

Solution →

Problem 2

Let \(\mathbb{R}\) be the set of real numbers. Determine all functions \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) such that, for all real numbers \(x\) and \(y\), \[ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy). \]

Solution →

Problem 3

A hunter and an invisible rabbit play a game in the Euclidean plane. The rabbit’s starting point, \(A_0\), and the hunter’s starting point, \(B_0\), are the same. After \(n-1\) rounds of the game, the rabbit is at point \(A_{n-1}\) and the hunter is at point \(B_{n-1}\). In the \(n^{\text{th}}\) round of the game, three things occur in order.

(i) The rabbit moves invisibly to a point \(A_n\) such that the distance between \(A_{n-1}\) and \(A_n\) is exactly 1.

(ii) A tracking device reports a point \(P_n\) to the hunter. The only guarantee provided by the tracking device to the hunter is that the distance between \(P_n\) and \(A_n\) is at most 1.

(iii) The hunter moves visibly to a point \(B_n\) such that the distance between \(B_{n-1}\) and \(B_n\) is exactly 1.

Is it always possible, no matter how the rabbit moves, and no matter what points are reported by the tracking device, for the hunter to choose her moves so that after \(10^9\) rounds she can ensure that the distance between her and the rabbit is at most 100?

Solution →

Problem 4

Let \(R\) and \(S\) be different points on a circle \(\Omega\) such that \(RS\) is not a diameter. Let \(\ell\) be the tangent line to \(\Omega\) at \(R\). Point \(T\) is such that \(S\) is the midpoint of the line segment \(RT\). Point \(J\) is chosen on the shorter arc \(RS\) of \(\Omega\) so that the circumcircle \(\Gamma\) of triangle \(JST\) intersects \(\ell\) at two distinct points. Let \(A\) be the common point of \(\Gamma\) and \(\ell\) that is closer to \(R\). Line \(AJ\) meets \(\Omega\) again at \(K\). Prove that the line \(KT\) is tangent to \(\Gamma\).

Solution →

Problem 5

An integer \(N \geqslant 2\) is given. A collection of \(N(N + 1)\) soccer players, no two of whom are of the same height, stand in a row. Sir Alex wants to remove \(N(N - 1)\) players from this row leaving a new row of \(2N\) players in which the following \(N\) conditions hold:

(1) no one stands between the two tallest players,

(2) no one stands between the third and fourth tallest players,

\[ \vdots \]

\((N)\) no one stands between the two shortest players.

Show that this is always possible.

Solution →

Problem 6

An ordered pair \((x, y)\) of integers is a primitive point if the greatest common divisor of \(x\) and \(y\) is \(1\). Given a finite set \(S\) of primitive points, prove that there exist a positive integer \(n\) and integers \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) such that, for each \((x, y)\) in \(S\), we have: \[ a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1. \]

Solution →

Aufgabe 1

Für jede ganze Zahl \(a_0>1\) sei die Folge \(a_0,a_1,a_2,\ldots\) gegeben durch \[ a_{n+1}=\begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{falls }\sqrt{a_n}\text{ ganzzahlig},\\ a_n+3 & \text{sonst}, \end{cases} \qquad\text{für alle }n\geq0. \] Man bestimme alle Werte von \(a_0\), so dass es eine Zahl \(A\) gibt, mit \(a_n=A\) für unendlich viele Werte von \(n\).

Lösung →

Aufgabe 2

Es sei \(\mathbb{R}\) die Menge der reellen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), so dass für alle reellen Zahlen \(x\) und \(y\) gilt \[ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy). \]

Lösung →

Aufgabe 3

Ein Jäger und ein unsichtbarer Hase spielen in der euklidischen Ebene ein Spiel. Der Ausgangspunkt \(A_0\) des Hasen und der Ausgangspunkt \(B_0\) des Jägers sind gleich. Nach \(n-1\) Runden des Spiels befinden sich der Hase im Punkt \(A_{n-1}\) und der Jäger im Punkt \(B_{n-1}\). Die \(n\)-te Runde des Spiels besteht aus drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge:

(i) Der Hase bewegt sich unsichtbar zu einem Punkt \(A_n\), so dass der Abstand zwischen \(A_{n-1}\) und \(A_n\) genau eins ist.

(ii) Ein Ortungsgerät meldet dem Jäger einen Punkt \(P_n\). Die einzige Garantie, die das Ortungsgerät dem Jäger gibt, ist, dass der Abstand zwischen \(P_n\) und \(A_n\) höchstens eins ist.

(iii) Der Jäger bewegt sich sichtbar zu einem Punkt \(B_n\), so dass der Abstand zwischen \(B_{n-1}\) und \(B_n\) genau eins ist.

Ist es immer möglich, egal wie sich der Hase bewegt und egal welche Punkte das Ortungsgerät meldet, dass der Jäger seine Bewegungen so wählen kann, dass der Abstand zwischen ihm und dem Hasen nach \(10^9\) Runden höchstens \(100\) ist?

Lösung →

Aufgabe 4

Es seien \(R\) und \(S\) verschiedene Punkte auf einem Kreis \(\Omega\), so dass \(RS\) kein Durchmesser ist. Es sei \(\ell\) die Tangente an \(\Omega\) in \(R\). Der Punkt \(T\) liegt so, dass \(S\) der Mittelpunkt der Strecke \(RT\) ist. Ein Punkt \(J\) ist auf dem kleineren Bogen \(RS\) von \(\Omega\) so gegeben, dass der Umkreis \(\Gamma\) des Dreiecks \(JST\) die Gerade \(\ell\) in zwei verschiedenen Punkten schneidet. Es sei \(A\) derjenige gemeinsame Punkt von \(\Gamma\) und \(\ell\), der näher an \(R\) liegt. Die Gerade \(AJ\) schneidet \(\Omega\) in einem weiteren Punkt \(K\).

Man beweise, dass die Gerade \(KT\) den Kreis \(\Gamma\) berührt.

Lösung →

Aufgabe 5

Gegeben sei eine ganze Zahl \(N\geq2\). Eine Gruppe von \(N(N+1)\) Fußballspielern, von denen keine zwei gleich groß sind, steht in einer Reihe. Pelé möchte \(N(N-1)\) Spieler so aus dieser Reihe entfernen, dass eine neue Reihe von \(2N\) Spielern verbleibt, in der die folgenden \(N\) Bedingungen gelten:

(1) Niemand steht zwischen den beiden größten Spielern.

(2) Niemand steht zwischen dem drittgrößten und dem viertgrößten Spieler.

\[ \vdots \]

\((N)\) Niemand steht zwischen den beiden kleinsten Spielern.

Man zeige, dass dies immer möglich ist.

Lösung →

Aufgabe 6

Ein geordnetes Paar \((x,y)\) ganzer Zahlen heißt teilerfremder Gitterpunkt, wenn der größte gemeinsame Teiler von \(x\) und \(y\) eins ist. Für eine gegebene endliche Menge \(S\) teilerfremder Gitterpunkte beweise man, dass es eine positive ganze Zahl \(n\) und ganze Zahlen \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) gibt, so dass für alle \((x,y)\) in \(S\) gilt: \[ a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1. \]

Lösung →

Soru 1

Her \(a_0>1\) tam sayısı için \(a_0,a_1,a_2,\ldots\) dizisi şu şekilde tanımlanıyor: \[ \text{her }n\geq 0\text{ için }a_{n+1}=\begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{eğer }\sqrt{a_n}\text{ tam sayı ise}\\ a_n+3 & \text{diğer durumda} \end{cases} \]

\(a_0\) ın hangi değerleri için öyle bir \(A\) sayısı vardır ki sonsuz çoklukta \(n\) değeri için \(a_n=A\) olsun?

Çözüm →

Soru 2

Gerçel sayılar kümesi \(\mathbb{R}\) ile gösterilsin. Tüm \(x,y\) gerçel sayıları için \[ f\left(f(x)f(y)\right)+f(x+y)=f(xy) \] eşitliğini sağlayan tüm \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 3

Bir avcı ve bir görünmez tavşan düzlemde bir oyun oynuyorlar. Tavşanın başlama noktası \(A_0\) ile avcının başlama noktası \(B_0\) aynıdır. Oyunun \((n-1)\)'inci turunun sonunda tavşan \(A_{n-1}\) noktasında, avcı ise \(B_{n-1}\) noktasında bulunsun. Oyunun \(n\)'inci turunda, şu üç işlem sırayla gerçekleşiyor:

(i) Tavşan \(A_{n-1}\) noktasına tam olarak 1 birim uzaklıkta bulunan bir \(A_n\) noktası seçip görünmez kalarak \(A_n\) ye yerleşiyor.

(ii) Bir takip cihazı avcıya bir \(P_n\) noktası bildiriyor. Takip cihazının avcıya verdiği tek garanti \(P_n\) ile \(A_n\) arasındaki uzaklığın 1 birimden fazla olmadığıdır.

(iii) Avcı \(B_{n-1}\) noktasına tam olarak 1 birim uzaklıkta bulunan bir \(B_n\) noktası seçip görünür kalarak \(B_n\) ye yerleşiyor.

Tavşan nasıl hareket ederse etsin ve takip cihazı hangi noktaları bildirirse bildirsin, avcı kendi hareketlerini öyle seçebilir mi ki \(10^9\) tur sonunda kendisiyle tavşan arasındaki uzaklığın 100 den fazla olmayacağını garantilesin?

Çözüm →

Soru 4

Bir \(\Omega\) çemberi üzerinde birbirinden farklı \(R\) ve \(S\) noktaları \(RS\) çap olmayacak şekilde alınıyor. \(\Omega\) ya \(R\) de teğet olan doğru \(\ell\) olsun. \(T\) noktası, \([RT]\) doğru parçasının orta noktası \(S\) olacak şekilde alınıyor. \(\Omega\) nın kısa \(RS\) yayı üzerinde bir \(J\) noktası, \(JST\) üçgeninin çevrel çemberi \(\Gamma\) ile \(\ell\) doğrusu iki farklı noktada kesişecek şekilde alınıyor. \(\Gamma\) ve \(\ell\) nin kesişim noktalarının \(R\) ye daha yakın olanı \(A\) olsun. \(AJ\) doğrusu \(\Omega\) yı ikinci kez \(K\) da kessin. \(KT\) nin \(\Gamma\) ya teğet olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

\(N\geq 2\) verilmiş bir tam sayı olsun. Herhangi ikisinin boyları birbirinden farklı olan \(N(N+1)\) futbolcu bir şekilde yan yana sıraya dizilmiştir. Takımın antrenörü bu sıradan \(N(N-1)\) futbolcuyu öyle çıkarmak istiyor ki geriye kalan \(2N\) futbolcudan oluşan yeni sıra aşağıdaki \(N\) adet şartı sağlasın:

(1) En uzun futbolcu ile ikinci en uzun futbolcu arasında kimse olmayacak,

(2) Üçüncü en uzun futbolcu ile dördüncü en uzun futbolcu arasında kimse olmayacak,

\[ \vdots \]

\((N)\) İkinci en kısa futbolcu ile en kısa futbolcu arasında kimse olmayacak.

Antrenörün bunu her zaman yapabileceğini gösteriniz.

Çözüm →

Soru 6

\(x\) ve \(y\) tam sayıları aralarında asalsa \((x,y)\) sıralı ikilisine temel ikili diyelim. Sonlu sayıda temel ikiliden oluşan herhangi bir \(S\) kümesi verilmiş olsun. Aşağıdaki şartı sağlayan bir \(n\) pozitif tam sayısı ve \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) tam sayıları bulunabileceğini gösteriniz:

\[ S\text{ deki her }(x,y)\text{ için }a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1\text{ dir.} \]

Çözüm →

Problema 1

Para cada entero \(a_0>1\), se define la sucesión \(a_0,a_1,a_2,\ldots\) tal que para cada \(n\geq0\): \[ a_{n+1}=\begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{si }\sqrt{a_n}\text{ es entero},\\ a_n+3 & \text{en otro caso.} \end{cases} \] Determinar todos los valores de \(a_0\) para los que existe un número \(A\) tal que \(a_n=A\) para infinitos valores de \(n\).

Solución →

Problema 2

Sea \(\mathbb{R}\) el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) tales que, para cualesquiera números reales \(x\) e \(y\), \[ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy). \]

Solución →

Problema 3

Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida \(A_0\) del conejo, y el punto de partida \(B_0\) del cazador son el mismo. Después de \(n-1\) rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto \(A_{n-1}\) y el cazador se encuentra en el punto \(B_{n-1}\). En la \(n\)-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:

(i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto \(A_n\) tal que la distancia entre \(A_{n-1}\) y \(A_n\) es exactamente 1.

(ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto \(P_n\) al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre \(P_n\) y \(A_n\) es menor o igual que 1.

(iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto \(B_n\) tal que la distancia entre \(B_{n-1}\) y \(B_n\) es exactamente 1.

¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera en que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador pueda escoger sus movimientos de modo que después de \(10^9\) rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual que 100?

Solución →

Problema 4

Sean \(R\) y \(S\) puntos distintos sobre la circunferencia \(\Omega\) tales que \(RS\) no es un diámetro de \(\Omega\). Sea \(\ell\) la recta tangente a \(\Omega\) en \(R\). El punto \(T\) es tal que \(S\) es el punto medio del segmento \(RT\). El punto \(J\) se elige en el menor arco \(RS\) de \(\Omega\) de manera que \(\Gamma\), la circunferencia circunscrita al triángulo \(JST\), intersecta a \(\ell\) en dos puntos distintos. Sea \(A\) el punto común de \(\Gamma\) y \(\ell\) más cercano a \(R\). La recta \(AJ\) corta por segunda vez a \(\Omega\) en \(K\). Demostrar que la recta \(KT\) es tangente a \(\Gamma\).

Solución →

Problema 5

Sea \(N\geq2\) un entero dado. Los \(N(N+1)\) jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar \(N(N-1)\) jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los \(2N\) jugadores restantes satisfaga las \(N\) condiciones siguientes:

(1) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos.

(2) Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto.

\[ \vdots \]

\((N)\) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura.

Demostrar que esto siempre es posible.

Solución →

Problema 6

Un par ordenado \((x,y)\) de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de \(x\) e \(y\) es 1. Dado un conjunto finito \(S\) de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo \(n\) y enteros \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) tales que, para cada \((x,y)\) de \(S\), se cumple: \[ a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1. \]

Solución →

问题 1

对每个整数 \(a_0>1\)，定义数列 \(a_0,a_1,a_2,\ldots\) 如下：对于任意的 \(n\geq0\)， \[ a_{n+1}=\begin{cases} \sqrt{a_n},&\text{若 }\sqrt{a_n}\text{ 是一个整数},\\ a_n+3,&\text{其它情况}. \end{cases} \] 试求满足下述条件的所有 \(a_0\)：存在一个数 \(A\)，使得对无穷多个 \(n\)，有 \(a_n=A\)。

解答 →

问题 2

设 \(\mathbb{R}\) 是全体实数构成的集合。求所有的函数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，使得对于任意实数 \(x\) 和 \(y\)，都有 \[ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy). \]

解答 →

问题 3

一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏。已知兔子的起始位置 \(A_0\) 和猎人的起始位置 \(B_0\) 重合。在游戏进行 \(n-1\) 回合之后，兔子位于点 \(A_{n-1}\)，而猎人位于点 \(B_{n-1}\)。在第 \(n\) 个回合中，以下三件事情依次发生。

(i) 兔子以隐形的方式移动到一点 \(A_n\)，使得点 \(A_{n-1}\) 和 点 \(A_n\) 之间的距离恰为 \(1\)。

(ii) 一个定位设备向猎人反馈一个点 \(P_n\)。这个设备唯一能够向猎人保证的事情是，点 \(P_n\) 和点 \(A_n\) 之间的距离至多为 \(1\)。

(iii) 猎人以可见的方式移动到一点 \(B_n\)，使得点 \(B_{n-1}\) 和 \(B_n\) 之间的距离恰为 \(1\)。

试问，是否无论兔子如何移动，也无论定位设备反馈了哪些点，猎人总能够适当地选择她的移动方式，使得在 \(10^9\) 回合之后，她能够确保和兔子之间的距离至多是 \(100\)？

解答 →

问题 4

设 \(R\) 和 \(S\) 是圆 \(\Omega\) 上互异两点，且 \(RS\) 不是直径。设 \(\ell\) 是圆 \(\Omega\) 在点 \(R\) 处的切线。平面上一点 \(T\) 满足，点 \(S\) 是线段 \(RT\) 的中点。\(J\) 是圆 \(\Omega\) 的劣弧 \(RS\) 上一点，使得三角形 \(JST\) 的外接圆 \(\Gamma\) 交 \(\ell\) 于两个不同点。记 \(\Gamma\) 与 \(\ell\) 的交点中接近 \(R\) 的那个为 \(A\)。直线 \(AJ\) 交圆 \(\Omega\) 于另一点 \(K\)。证明，直线 \(KT\) 和圆 \(\Gamma\) 相切。

解答 →

问题 5

给定整数 \(N\geq2\)，\(N(N+1)\) 个身高两两不同的足球队员站成一排。球队教练希望从这些球员中移走 \(N(N-1)\) 人，使得这一排上剩下的 \(2N\) 名球员满足如下 \(N\) 个条件：

(1) 他们当中身高最高的两名球员之间没有别的球员，

(2) 他们当中身高第三和第四的两名球员之间没有别的球员，

\[ \vdots \]

\((N)\) 他们当中身高最矮的两名球员之间没有别的球员。

证明，这总是可以做到的。

解答 →

问题 6

一个本原格点是一个有序整数对 \((x,y)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 的最大公约数是 \(1\)。给定一个有限的本原格点集 \(S\)，证明，存在一个正整数 \(n\) 和整数 \(a_0,a_1,\ldots,a_n\)，使得对于 \(S\) 中的每一个 \((x,y)\) 都成立： \[ a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1. \]

解答 →

Задача 1

Для произвольного целого \(a_0>1\) определим последовательность \(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \ldots\) следующим образом: \[ a_{n+1}=\begin{cases} \sqrt{a_n},&\text{если }\sqrt{a_n}\text{ – целое число},\\ a_n+3&\text{в противном случае}, \end{cases} \qquad\text{для всех }n\geq0. \] Найдите все значения \(a_0\), при которых существует число \(A\) такое, что \(a_n=A\) для бесконечно многих значений \(n\).

Решение →

Задача 2

Пусть \(\mathbb R\) – множество всех вещественных чисел. Найдите все функции \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) такие, что для всех вещественных \(x\) и \(y\) выполнено равенство \[ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy). \]

Решение →

Задача 3

Охотник и невидимый кролик играют в следующую игру на плоскости. Стартовая точка \(A_0\) кролика и стартовая точка \(B_0\) охотника совпадают. Пусть после \(n-1\) раунда игры кролик находится в точке \(A_{n-1}\), а охотник – в точке \(B_{n-1}\). Тогда в \(n\)-ом раунде игры последовательно выполняются следующие три действия:

(i) Кролик, оставаясь невидимым, перемещается в точку \(A_n\) такую, что расстояние между \(A_{n-1}\) и \(A_n\) в точности равно 1.

(ii) Следящее устройство сообщает охотнику некоторую точку \(P_n\). При этом следящее устройство гарантирует только то, что расстояние между точками \(P_n\) и \(A_n\) не больше 1.

(iii) Охотник, оставаясь видимым, перемещается в точку \(B_n\) такую, что расстояние между \(B_{n-1}\) и \(B_n\) в точности равно 1.

Всегда ли возможно охотнику, при любых перемещениях кролика и любых сообщаемых следящим устройством точках, выбирать свои перемещения так, чтобы после \(10^9\) раундов он мог гарантировать, что расстояние между ним и кроликом не больше 100?

Решение →

Задача 4

Пусть \(R\) и \(S\) – две различные точки на окружности \(\Omega\) такие, что \(RS\) не является диаметром. Пусть \(\ell\) – касательная к \(\Omega\) в точке \(R\). Точка \(T\) выбрана так, что \(S\) является серединой отрезка \(RT\). Точка \(J\) выбрана на меньшей дуге \(RS\) окружности \(\Omega\) так, что окружность \(\Gamma\), описанная около треугольника \(JST\), пересекает \(\ell\) в двух различных точках. Пусть \(A\) – та из общих точек \(\Gamma\) и \(\ell\), которая находится ближе к точке \(R\). Прямая \(AJ\) вторично пересекает \(\Omega\) в точке \(K\). Докажите, что прямая \(KT\) касается \(\Gamma\).

Решение →

Задача 5

Дано целое число \(N\geq2\). Команда, состоящая из \(N(N+1)\) футболистов, любые два из которых разного роста, построена в ряд. Тренер хочет удалить из ряда \(N(N-1)\) игроков так, чтобы для оставшегося ряда из \(2N\) игроков выполнялись следующие \(N\) условий:

(1) никто не стоит между двумя самыми высокими игроками,

(2) никто не стоит между третьим и четвертым по росту игроками,

\[ \vdots \]

\((N)\) никто не стоит между двумя самыми низкими игроками.

Докажите, что это всегда возможно.

Решение →

Задача 6

Упорядоченная пара \((x,y)\) целых чисел называется примитивной точкой, если наибольший общий делитель чисел \(x\) и \(y\) равен 1. Дано конечное множество \(S\) примитивных точек. Докажите, что существуют натуральное \(n\) и целые \(a_0,\ a_1,\ \ldots,\ a_n\) такие, что для каждой примитивной точки \((x,y)\) из \(S\) выполнено равенство \[ a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1. \]

Решение →

المسألة 1

لكل عدد صحيح \(a_0>1\) نعرّف المتتابعة \(a_0,a_1,a_2,\ldots\) كما يلي: \[ a_{n+1}=\begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}, \end{cases} \qquad\text{for each }n\geq0. \] أوجد كل قيم \(a_0\) بحيث يوجد عدد \(A\) و \(a_n=A\) لقيم غير منتهية من \(n\).

← الحل

المسألة 2

لتكن \(\mathbb{R}\) مجموعة الأعداد الحقيقية. أوجد جميع الدوال \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) بحيث \[ f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy) \] لكل الأعداد الحقيقية \(x,y\).

← الحل

المسألة 3

لدينا صياد و أرنب غير مرئي يلعبان لعبة في المستوى الأقليدي. نقطة بداية الأرنب هي \(A_0\)، وهي نفس نقطة بداية الصياد \(B_0\). بعد \(n-1\) من الجولات موقع الأرنب عند النقطة \(A_{n-1}\) وموقع الصياد عند النقطة \(B_{n-1}\). في الجولة \(n\) من اللعبة تحدث الأمور التالية على الترتيب:

(i) يتحرك الأرنب بصورة غير مرئية إلى النقطة \(A_n\)، بحيث أن المسافة بين \(A_{n-1}\) و \(A_n\) تساوي \(1\) بالضبط.

(ii) جهاز المراقبة لدى الصياد لا يضمن له إلا أن يخبره عن نقطة \(P_n\)، بحيث أن المسافة بين \(P_n\) و \(A_n\) هي على الأكثر \(1\).

(iii) يتحرك الصياد بصورة مرئية إلى النقطة \(B_n\)، بحيث أن المسافة بين \(B_{n-1}\) و \(B_n\) تساوي \(1\) بالضبط.

بغض النظر عن كيفية حركة الأرنب وأياً كانت النقط التي يرصدها جهاز المتابعة عند الصياد، هل يستطيع الصياد اختيار حركاته بحيث بعد \(10^9\) من الجولات يمكنه التأكد بأن المسافة بينه و بين الأرنب هي على الأكثر \(100\)؟

← الحل

المسألة 4

لتكن \(R\) و \(S\) نقطتين مختلفتين على الدائرة \(\Omega\) بحيث أن \(RS\) ليس قطراً. ليكن \(l\) مستقيماً مماساً للدائرة \(\Omega\) في النقطة \(R\). نختار النقطة \(T\) بحيث أن \(S\) تقع في منتصف القطعة المستقيمة \(RT\). كما نختار النقطة \(J\) على القوس الأقصر \(RS\) من الدائرة \(\Omega\) بحيث أن الدائرة المحيطة \(\Gamma\) للمثلث \(JST\) تقطع \(l\) في نقطتين مختلفتين. لتكن \(A\) نقطة تقاطع \(\Gamma\) مع \(l\) و التي هي الأقرب إلى \(R\). المستقيم \(AJ\) يقطع \(\Omega\) مرة أخرى في \(K\). أثبت أن المستقيم \(KT\) يمس الدائرة \(\Gamma\).

← الحل

المسألة 5

لدينا العدد الصحيح \(N\geq2\). توجد مجموعة تحوي \(N(N+1)\) من لاعبي كرة القدم بحيث أن أطوالهم مختلفة و يقفون في صف واحد. المدرب طارق يريد أن يستبعد \(N(N-1)\) من اللاعبين من هذا الصف بحيث يبقى \(2N\) منهم و يحققون شروطاً عددها \(N\) كما يلي:

(1) لا يوجد لاعب بين أطول لاعبين،

(2) لا يوجد لاعب بين اللاعبين الثالث طولاً و الرابع طولاً،

\[ \vdots \]

\((N)\) لا يوجد لاعب بين أقصر لاعبين.

بين أن طارق يستطيع أن ينجز هذا.

← الحل

المسألة 6

يقال عن زوج مرتب من الأعداد الصحيحة \((x,y)\) أنه بدائي إذا كان القاسم المشترك الأكبر للعددين \(x\) و \(y\) يساوي \(1\). لتكن \(S\) مجموعة منتهية من الأزواج البدائية، أثبت أنه يوجد عدد صحيح موجب \(n\) و أعداد صحيحة \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) بحيث لكل \((x,y)\) في \(S\) لدينا \[ a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\ldots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 \]

← الحل