IMO 2021 · Problem 1
Let \(n \ge 100\) be an integer. Ivan writes the numbers \(n, n + 1, \ldots, 2n\) each on different cards. He then shuffles these \(n + 1\) cards, and divides them into two piles. Prove that at least one of the piles contains two cards such that the sum of their numbers is a perfect square.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
We will find three distinct numbers among \(n,n+1,\ldots,2n\) such that the sum of any two is a perfect square. Two of their cards must belong to the same pile, which will prove the result.
Let \(m\) be the largest positive integer satisfying \[ m(m+2)\le n. \] Since \(9\cdot11=99\le n\), we have \(m\ge9\). By maximality, \[ n<(m+1)(m+3). \] Moreover, \[ 2m(m-2)-(m+1)(m+3) =m^2-8m-3 =(m-9)(m+1)+6>0. \] Consequently, \[ n<2m(m-2). \]
Now consider the three integers \[ a=2m^2-4m,\qquad b=2m^2+1,\qquad c=2m^2+4m. \] As \(m\ge9\), they satisfy \[ n<a<b<c=2m(m+2)\le2n. \] Thus all three occur on distinct cards. Their pairwise sums are \[ a+b=(2m-1)^2,\qquad a+c=(2m)^2,\qquad b+c=(2m+1)^2. \] By the pigeonhole principle, at least two of these three cards lie in the same pile. Their numbers have a perfect-square sum, as required. \(\square\)
The solution was checked against the official IMO shortlist solutions.
IMO 2021 · Aufgabe 1
Es sei \(n\ge 100\) eine ganze Zahl. Wanja schreibt die Zahlen \(n,n+1,\ldots,2n\) auf Karten, jede auf eine eigene Karte. Er mischt diese \(n+1\) Karten und verteilt sie auf zwei Stapel. Man zeige, dass mindestens einer der Stapel zwei Karten enthält, deren Zahlen in Summe eine Quadratzahl ergeben.
Offizieller deutscher Aufgabentext. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Wir werden unter \(n,n+1,\ldots,2n\) drei verschiedene Zahlen finden, sodass die Summe je zweier eine Quadratzahl ist. Zwei ihrer Karten müssen zum selben Stapel gehören, womit die Behauptung bewiesen ist.
Sei \(m\) die größte positive ganze Zahl mit \[ m(m+2)\le n. \] Wegen \(9\cdot11=99\le n\) gilt \(m\ge9\). Aufgrund der Maximalität gilt \[ n<(m+1)(m+3). \] Außerdem ist \[ 2m(m-2)-(m+1)(m+3) =m^2-8m-3 =(m-9)(m+1)+6>0. \] Folglich gilt \[ n<2m(m-2). \]
Betrachten wir nun die drei ganzen Zahlen \[ a=2m^2-4m,\qquad b=2m^2+1,\qquad c=2m^2+4m. \] Wegen \(m\ge9\) erfüllen sie \[ n<a<b<c=2m(m+2)\le2n. \] Somit stehen alle drei auf verschiedenen Karten. Ihre paarweisen Summen sind \[ a+b=(2m-1)^2,\qquad a+c=(2m)^2,\qquad b+c=(2m+1)^2. \] Nach dem Schubfachprinzip liegen mindestens zwei dieser drei Karten im selben Stapel. Die Summe ihrer Zahlen ist eine Quadratzahl, wie gefordert. \(\square\)
Die Lösung wurde mit den offiziellen Lösungen der IMO-Shortlist abgeglichen.
IMO 2021 · Soru 1
\(n\ge 100\) bir tam sayı olsun. Aslı \(n,n+1,\ldots,2n\) sayılarının her birini farklı bir karta yazıyor. Daha sonra bu \(n+1\) kartı karıştırarak iki gruba ayırıyor. Bu gruplardan en az birinde, üzerindeki sayıların toplamı tam kare olan iki kartın bulunduğunu gösteriniz.
Sorunun resmi Türkçe metni. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
\(n,n+1,\ldots,2n\) sayıları arasından, herhangi ikisinin toplamı tam kare olan üç farklı sayı bulacağız. Bu sayıların yazılı olduğu kartlardan ikisi aynı grupta bulunmak zorundadır; bu da isteneni kanıtlayacaktır.
\(m\), \[ m(m+2)\le n \] eşitsizliğini sağlayan en büyük pozitif tam sayı olsun. \(9\cdot11=99\le n\) olduğundan \(m\ge9\) olur. \(m\)'nin en büyük seçilmesinden, \[ n<(m+1)(m+3). \] Ayrıca, \[ 2m(m-2)-(m+1)(m+3) =m^2-8m-3 =(m-9)(m+1)+6>0. \] Dolayısıyla, \[ n<2m(m-2). \]
Şimdi şu üç tam sayıyı ele alalım: \[ a=2m^2-4m,\qquad b=2m^2+1,\qquad c=2m^2+4m. \] \(m\ge9\) olduğundan bu sayılar \[ n<a<b<c=2m(m+2)\le2n \] eşitsizliklerini sağlar. Dolayısıyla üçünün de yazılı olduğu farklı kartlar vardır. İkişerli toplamları şöyledir: \[ a+b=(2m-1)^2,\qquad a+c=(2m)^2,\qquad b+c=(2m+1)^2. \] Güvercin yuvası ilkesine göre bu üç karttan en az ikisi aynı gruptadır. İstendiği gibi, üzerlerindeki sayıların toplamı tam karedir. \(\square\)
Çözüm, resmi IMO shortlist çözümleriyle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 2021 · Problema 1
Sea \(n \ge 100\) un entero. Iván escribe cada uno de los números \(n, n + 1, \ldots, 2n\) en un naipe diferente. Después de barajar estos \(n + 1\) naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.
Texto oficial en español del problema. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Encontraremos tres números distintos entre \(n,n+1,\ldots,2n\) tales que la suma de cualesquiera dos sea un cuadrado perfecto. Dos de sus naipes deben pertenecer a la misma pila, lo que demostrará el resultado.
Sea \(m\) el mayor entero positivo que satisface \[ m(m+2)\le n. \] Como \(9\cdot11=99\le n\), tenemos \(m\ge9\). Por la maximalidad de \(m\), \[ n<(m+1)(m+3). \] Además, \[ 2m(m-2)-(m+1)(m+3) =m^2-8m-3 =(m-9)(m+1)+6>0. \] Por consiguiente, \[ n<2m(m-2). \]
Consideremos ahora los tres enteros \[ a=2m^2-4m,\qquad b=2m^2+1,\qquad c=2m^2+4m. \] Como \(m\ge9\), satisfacen \[ n<a<b<c=2m(m+2)\le2n. \] Por tanto, los tres aparecen en naipes distintos. Sus sumas por parejas son \[ a+b=(2m-1)^2,\qquad a+c=(2m)^2,\qquad b+c=(2m+1)^2. \] Por el principio del palomar, al menos dos de estos tres naipes están en la misma pila. La suma de sus números es un cuadrado perfecto, como se quería demostrar. \(\square\)
La solución se comprobó con las soluciones oficiales de la shortlist de la IMO.
IMO 2021 · 问题 1
设整数 \(n\ge 100\). 伊凡把 \(n,n+1,\ldots,2n\) 的每个数写在不同的卡片上. 然后他将这 \(n+1\) 张卡片打乱顺序并分成两堆. 证明: 至少有一堆中包含两张卡片, 使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.
题目为官方中文译本。 官方试卷 (PDF)
解答
我们将在 \(n,n+1,\ldots,2n\) 中找出三个互不相同的数，使其中任意两个数之和都是完全平方数。这三张卡片中必有两张属于同一堆，从而即可证明结论。
设 \(m\) 为满足 \[ m(m+2)\le n. \] 的最大正整数。由于 \(9\cdot11=99\le n\)，有 \(m\ge9\)。由其最大性， \[ n<(m+1)(m+3). \] 此外， \[ 2m(m-2)-(m+1)(m+3) =m^2-8m-3 =(m-9)(m+1)+6>0. \] 因此， \[ n<2m(m-2). \]
现在考虑三个整数 \[ a=2m^2-4m,\qquad b=2m^2+1,\qquad c=2m^2+4m. \] 因为 \(m\ge9\)，它们满足 \[ n<a<b<c=2m(m+2)\le2n. \] 因此，这三个数分别写在三张不同的卡片上。它们两两之和为 \[ a+b=(2m-1)^2,\qquad a+c=(2m)^2,\qquad b+c=(2m+1)^2. \] 由抽屉原理，这三张卡片中至少有两张在同一堆中。它们上面的数之和为完全平方数，结论得证。\(\square\)
解答已与 IMO 官方预选题（shortlist）解答核对。
IMO 2021 · Задача 1
Дано целое число \(n\ge 100\). Ваня написал числа \(n,n+1,\ldots,2n\) на \(n+1\) карточке, каждое по одному разу. Затем он перемешал колоду из этих карточек и разделил её на две стопки. Докажите, что хотя бы одна из двух стопок содержит две карточки, сумма чисел на которых — точный квадрат.
Официальный русский текст задачи. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Найдём среди \(n,n+1,\ldots,2n\) три различных числа, сумма любых двух из которых является точным квадратом. Две из соответствующих карточек обязательно окажутся в одной стопке, что и докажет утверждение.
Пусть \(m\) — наибольшее положительное целое число, удовлетворяющее условию \[ m(m+2)\le n. \] Поскольку \(9\cdot11=99\le n\), имеем \(m\ge9\). В силу максимальности \(m\), \[ n<(m+1)(m+3). \] Кроме того, \[ 2m(m-2)-(m+1)(m+3) =m^2-8m-3 =(m-9)(m+1)+6>0. \] Следовательно, \[ n<2m(m-2). \]
Теперь рассмотрим три целых числа \[ a=2m^2-4m,\qquad b=2m^2+1,\qquad c=2m^2+4m. \] Так как \(m\ge9\), для них выполнено \[ n<a<b<c=2m(m+2)\le2n. \] Таким образом, все три числа написаны на различных карточках. Их попарные суммы равны \[ a+b=(2m-1)^2,\qquad a+c=(2m)^2,\qquad b+c=(2m+1)^2. \] По принципу Дирихле хотя бы две из этих трёх карточек лежат в одной стопке. Сумма чисел на них является точным квадратом, что и требовалось доказать. \(\square\)
Решение проверено по официальным решениям шортлиста IMO.
IMO 2021 · المسألة 1
ليكن \(n \ge 100\) عدداً صحيحاً. تكتب إيمان كل عدد من الأعداد \(n, n+1, \ldots, 2n\) على بطاقة. ثم تقوم بخلط هذه الـ \(n+1\) بطاقة عشوائياً، وتقسمها إلى مجموعتين. أثبت أن إحدى هاتين المجموعتين على الأقل تحتوي بطاقتين مجموع عدديهما يكون مربعاً كاملاً.
نص المسألة هو الترجمة العربية الرسمية. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
سنجد ثلاثة أعداد متمايزة من بين \(n,n+1,\ldots,2n\) بحيث يكون مجموع أي اثنين منها مربعاً كاملاً. ولا بد أن تنتمي بطاقتان منها إلى المجموعة نفسها، وهو ما يثبت المطلوب.
ليكن \(m\) أكبر عدد صحيح موجب يحقق \[ m(m+2)\le n. \] بما أن \(9\cdot11=99\le n\)، فإن \(m\ge9\). ومن كون \(m\) أكبر عدد يحقق ذلك، نحصل على \[ n<(m+1)(m+3). \] وعلاوة على ذلك، \[ 2m(m-2)-(m+1)(m+3) =m^2-8m-3 =(m-9)(m+1)+6>0. \] وبالتالي، \[ n<2m(m-2). \]
لننظر الآن إلى الأعداد الصحيحة الثلاثة \[ a=2m^2-4m,\qquad b=2m^2+1,\qquad c=2m^2+4m. \] بما أن \(m\ge9\)، فهي تحقق \[ n<a<b<c=2m(m+2)\le2n. \] إذن تظهر الأعداد الثلاثة جميعها على بطاقات متمايزة. ومجاميعها اثنين اثنين هي \[ a+b=(2m-1)^2,\qquad a+c=(2m)^2,\qquad b+c=(2m+1)^2. \] وفقاً لمبدأ الحمام، توجد بطاقتان على الأقل من هذه البطاقات الثلاث في المجموعة نفسها. ومجموع عدديهما مربع كامل، كما هو مطلوب. \(\square\)
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحلول الرسمية لقائمة IMO المختصرة.