Problem 1

Given triangle \(ABC\) the point \(J\) is the centre of the excircle opposite the vertex \(A\). This excircle is tangent to the side \(BC\) at \(M\), and to the lines \(AB\) and \(AC\) at \(K\) and \(L\), respectively. The lines \(LM\) and \(BJ\) meet at \(F\), and the lines \(KM\) and \(CJ\) meet at \(G\). Let \(S\) be the point of intersection of the lines \(AF\) and \(BC\), and let \(T\) be the point of intersection of the lines \(AG\) and \(BC\). Prove that \(M\) is the midpoint of \(ST\).

(The excircle of \(ABC\) opposite the vertex \(A\) is the circle that is tangent to the line segment \(BC\), to the ray \(AB\) beyond \(B\), and to the ray \(AC\) beyond \(C\).)

Solution →

Problem 2

Let \(n \ge 3\) be an integer, and let \(a_2, a_3, \ldots, a_n\) be positive real numbers such that \(a_2a_3\cdots a_n=1\). Prove that \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]

Solution →

Problem 3

The liar’s guessing game is a game played between two players \(A\) and \(B\). The rules of the game depend on two positive integers \(k\) and \(n\) which are known to both players.

At the start of the game \(A\) chooses integers \(x\) and \(N\) with \(1 \le x \le N\). Player \(A\) keeps \(x\) secret, and truthfully tells \(N\) to player \(B\). Player \(B\) now tries to obtain information about \(x\) by asking player \(A\) questions as follows: each question consists of \(B\) specifying an arbitrary set \(S\) of positive integers (possibly one specified in some previous question), and asking \(A\) whether \(x\) belongs to \(S\). Player \(B\) may ask as many such questions as he wishes. After each question, player \(A\) must immediately answer it with yes or no, but is allowed to lie as many times as she wants; the only restriction is that, among any \(k+1\) consecutive answers, at least one answer must be truthful.

After \(B\) has asked as many questions as he wants, he must specify a set \(X\) of at most \(n\) positive integers. If \(x\) belongs to \(X\), then \(B\) wins; otherwise, he loses. Prove that:

1. If \(n \ge 2^k\), then \(B\) can guarantee a win.
2. For all sufficiently large \(k\), there exists an integer \(n \ge 1.99^k\) such that \(B\) cannot guarantee a win.

Solution →

Problem 4

Find all functions \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) such that, for all integers \(a,b,c\) that satisfy \(a+b+c=0\), the following equality holds: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a). \] (Here \(\mathbb Z\) denotes the set of integers.)

Solution →

Problem 5

Let \(ABC\) be a triangle with \(\angle BCA = 90^\circ\), and let \(D\) be the foot of the altitude from \(C\). Let \(X\) be a point in the interior of the segment \(CD\). Let \(K\) be the point on the segment \(AX\) such that \(BK = BC\). Similarly, let \(L\) be the point on the segment \(BX\) such that \(AL = AC\). Let \(M\) be the point of intersection of \(AL\) and \(BK\).

Show that \(MK = ML\).

Solution →

Problem 6

Find all positive integers \(n\) for which there exist non-negative integers \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) such that \[ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}} =1. \]

Solution →

Aufgabe 1

Zum Dreieck \(ABC\) sei \(J\) der Mittelpunkt des Ankreises, der dem Eckpunkt \(A\) gegenüber liegt. Dieser Ankreis berührt \(BC\) in \(M\) und \(AB\) und \(AC\) in \(K\) bzw. \(L\). Die Geraden \(LM\) und \(BJ\) schneiden sich in \(F\) und die Geraden \(KM\) und \(CJ\) schneiden sich in \(G\). Es seien \(S\) der Schnittpunkt der Geraden \(AF\) und \(BC\) sowie \(T\) der Schnittpunkt der Geraden \(AG\) und \(BC\). Man beweise, dass \(M\) der Mittelpunkt von \(ST\) ist.

(Der Ankreis von \(ABC\), der dem Eckpunkt \(A\) gegenüber liegt, ist der Kreis, der die Strecke \(BC\) berührt sowie den Strahl \(AB\) jenseits von \(B\) und den Strahl \(AC\) jenseits von \(C\).)

Lösung →

Aufgabe 2

Es sei \(n\ge 3\) eine ganze Zahl und es seien \(a_2,\ldots,a_n\) positive reelle Zahlen, so dass \(a_2a_3\cdots a_n=1\) gilt. Man beweise: \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]

Lösung →

Aufgabe 3

Das Ratespiel des Lügners ist ein Spiel, das von zwei Spielern \(A\) und \(B\) gespielt wird. Die Spielregeln hängen von zwei positiven ganzen Zahlen \(k\) und \(n\) ab, die beiden Spielern bekannt sind.

Zu Beginn des Spiels wählt \(A\) ganze Zahlen \(x\) und \(N\) mit \(1\le x\le N\). \(A\) hält \(x\) geheim und teilt \(N\) dem Spieler \(B\) wahrheitsgemäß mit. Nun versucht Spieler \(B\) Informationen über \(x\) herauszufinden, indem er Fragen von folgendem Typ an \(A\) richtet. Jede Frage besteht darin, eine beliebige Menge \(S\) positiver ganzer Zahlen (möglicherweise dieselbe Menge einer früheren Frage) zu nennen und \(A\) zu fragen, ob \(x\) in \(S\) enthalten ist. Der Spieler \(B\) darf beliebig viele derartige Fragen stellen. Der Spieler \(A\) muss jede Frage von \(B\) sofort mit ja oder nein beantworten, wobei er so oft lügen darf wie er möchte. Die einzige Einschränkung besteht darin, dass es unter je \(k+1\) aufeinander folgenden Antworten mindestens eine wahrheitsgemäße geben muss.

Nachdem \(B\) so viele Fragen gestellt hat, wie er wollte, muss er eine Menge \(X\) nennen, die aus höchstens \(n\) positiven ganzen Zahlen besteht. Wenn \(x\) in \(X\) liegt, gewinnt \(B\). Andernfalls verliert \(B\). Man beweise:

1. Wenn \(n\ge 2^k\), so kann \(B\) einen Sieg erzwingen.
2. Für alle genügend große \(k\) gibt es ein \(n\ge 1{,}99^k\), so dass \(B\) den Sieg nicht erzwingen kann.

Lösung →

Aufgabe 4

Man bestimme alle Funktionen \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), so dass für alle ganzen Zahlen \(a,b,c\) mit \(a+b+c=0\) die folgende Gleichung gilt: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a). \] (Hier bezeichne \(\mathbb Z\) die Menge der ganzen Zahlen.)

Lösung →

Aufgabe 5

Es seien \(ABC\) ein Dreieck mit \(\angle BCA=90^\circ\) und \(D\) der Höhenfußpunkt der Höhe durch \(C\). Sei \(X\) ein innerer Punkt der Strecke \(CD\). Es bezeichne \(K\) den Punkt auf der Strecke \(AX\) für den \(|BK|=|BC|\) gilt. Entsprechend bezeichne \(L\) den Punkt auf der Strecke \(BX\) für den \(|AL|=|AC|\) gilt. Schließlich bezeichne \(M\) den Schnittpunkt von \(AL\) und \(BK\). Man beweise: \(|MK|=|ML|\).

Lösung →

Aufgabe 6

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen \(n\) für die es nicht-negative ganze Zahlen \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) gibt, so dass gilt: \[ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1. \]

Lösung →

Soru 1

Bir \(ABC\) üçgeninde \(A\) köşesinin karşısındaki dışteğet çemberin merkezi \(J\) noktası olsun. Bu dışteğet çember \(BC\) kenarına \(M\), \(AB\) ve \(AC\) doğrularına ise sırasıyla \(K\) ve \(L\) noktalarında teğettir. \(LM\) ve \(BJ\) doğruları \(F\) noktasında, \(KM\) ve \(CJ\) doğruları ise \(G\) noktasında kesişiyor. \(AF\) ve \(BC\) doğrularının kesişim noktası \(S\), \(AG\) ve \(BC\) doğrularının kesişim noktası ise \(T\) olsun.

\(M\)’nin, \([ST]\) doğru parçasının orta noktası olduğunu kanıtlayınız.

(\(ABC\) üçgeninin \(A\) köşesinin karşısındaki dışteğet çember: \(BC\) kenarına, \(B\)’nin ötesinde \([AB\) ışınına ve \(C\)’nin ötesinde \([AC\) ışınına teğet olan çemberdir.)

Çözüm →

Soru 2

\(n\ge 3\) bir tam sayı ve \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \(a_2a_3\cdots a_n=1\) olsun. \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n \] olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

Yalancının sayısını tahmin etme oyunu, \(A\) ve \(B\) oyuncuları arasında oynanan bir oyundur. Oyun, her iki oyuncuya da önceden bildirilen \(k\) ve \(n\) pozitif tam sayılarına göre oynanıyor.

Oyunun başında \(A\) oyuncusu \(1\le x\le N\) olacak şekilde \(x\) ve \(N\) tam sayılarını seçer ve \(N\) sayısının ne olduğunu \(B\) oyuncusuna dürüstçe söyler, fakat \(x\) sayısını gizli tutar. Daha sonra \(B\) oyuncusu \(A\) oyuncusuna sorular sorarak \(x\) sayısı hakkında bilgi edinmeye çalışır. Her defasında \(B\) oyuncusu pozitif tam sayılardan oluşan bir \(S\) kümesi belirler (bu küme daha önceki bir soruda geçen küme de olabilir) ve \(A\) oyuncusuna "\(x\) sayısı \(S\) kümesinin elemanı mıdır?" diye sorar. \(B\) oyuncusu istediği kadar soru sorabilir. \(A\) oyuncusu \(B\)’nin her sorusunu cevabı evet veya hayır olacak şekilde anında yanıtlar. \(A\) oyuncusu istediği kadar yalan söyleyebilir, fakat herhangi ardışık \(k+1\) cevabından en az biri doğru olmak zorundadır.

\(B\) oyuncusu istediği kadar soru sorduktan sonra en fazla \(n\) pozitif tam sayıdan oluşan bir \(X\) kümesi belirlemelidir. Eğer \(x\) sayısı \(X\) kümesinin elemanı ise \(B\) oyunu kazanır, aksi durumda kaybeder.

1. \(n\ge 2^k\) ise, \(B\) oyuncusunun oyunu kazanmayı garantileyebileceğini kanıtlayınız.

2. Yeterince büyük her \(k\) tam sayısı için, \(B\) oyuncusunun oyunu kazanmayı garantilemesinin mümkün olmadığı bir \(n\ge 1.99^k\) tam sayısının bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(a+b+c=0\) olmak üzere, tüm \(a,b,c\) tam sayıları için \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a) \] eşitliğini sağlayan bütün \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) fonksiyonlarını bulunuz.

(Burada \(\mathbb Z\) tam sayılar kümesidir.)

Çözüm →

Soru 5

Bir \(ABC\) üçgeninde \(\angle BCA=90^\circ\) ve \(C\) köşesinden indirilen yüksekliğin ayağı \(D\) olsun. \([CD]\) doğru parçası üzerinde \(C\) ve \(D\) noktalarından farklı bir \(X\) noktası alınıyor. \([AX]\) doğru parçası üzerinde \(|BK|=|BC|\) olacak şekilde bir \(K\) noktası ve benzer şekilde \([BX]\) doğru parçası üzerinde \(|AL|=|AC|\) olacak şekilde bir \(L\) noktası seçiliyor. \(AL\) ve \(BK\) doğrularının kesişim noktası \(M\) olsun.

\(|MK|=|ML|\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 6

Hangi \(n\) pozitif tam sayıları için, \[ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1 \] eşitliklerini sağlayan \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) negatif olmayan tam sayılarının bulunduğunu belirleyiniz.

Çözüm →

Problema 1

Dado un triángulo \(ABC\), el punto \(J\) es el centro del excírculo opuesto al vértice \(A\). Este excírculo es tangente al lado \(BC\) en \(M\), y a las rectas \(AB\) y \(AC\) en \(K\) y \(L\), respectivamente. Las rectas \(LM\) y \(BJ\) se cortan en \(F\), y las rectas \(KM\) y \(CJ\) se cortan en \(G\). Sea \(S\) el punto de intersección de las rectas \(AF\) y \(BC\), y sea \(T\) el punto de intersección de las rectas \(AG\) y \(BC\). Demostrar que \(M\) es el punto medio de \(ST\).

(El excírculo de \(ABC\) opuesto al vértice \(A\) es la circunferencia que es tangente al segmento \(BC\), a la prolongación del lado \(AB\) más allá de \(B\), y a la prolongación del lado \(AC\) más allá de \(C\).)

Solución →

Problema 2

Sea \(n\ge 3\) un entero, y sean \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) números reales positivos tales que \(a_2a_3\cdots a_n=1\). Demostrar que \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]

Solución →

Problema 3

El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores \(A\) y \(B\). Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos \(k\) y \(n\) conocidos por ambos jugadores.

Al principio del juego, el jugador \(A\) elige enteros \(x\) y \(N\) con \(1\le x\le N\). El jugador \(A\) mantiene \(x\) en secreto, y le dice a \(B\) el verdadero valor de \(N\). A continuación, el jugador \(B\) intenta obtener información acerca de \(x\) formulando preguntas a \(A\) de la siguiente manera: en cada pregunta, \(B\) especifica un conjunto arbitrario \(S\) de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en alguna pregunta anterior), y pregunta a \(A\) si \(x\) pertenece a \(S\). El jugador \(B\) puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador \(A\) debe responderla inmediatamente con sí o no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualesquiera \(k+1\) respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera.

Cuando \(B\) haya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especificar un conjunto \(X\) de a lo más \(n\) enteros positivos. Si \(x\) pertenece a \(X\) entonces gana \(B\); en caso contrario, pierde. Demostrar que:

1. Si \(n\ge 2^k\), entonces \(B\) puede asegurarse la victoria.
2. Para todo \(k\) suficientemente grande, existe un entero \(n\ge 1{,}99^k\) tal que \(B\) no puede asegurarse la victoria.

Solución →

Problema 4

Hallar todas las funciones \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) que cumplen la siguiente igualdad: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a), \] para todos los enteros \(a,b,c\) que satisfacen \(a+b+c=0\).

(\(\mathbb Z\) denota el conjunto de los números enteros.)

Solución →

Problema 5

Sea \(ABC\) un triángulo tal que \(\angle BCA=90^\circ\), y sea \(D\) el pie de la altura desde \(C\). Sea \(X\) un punto interior del segmento \(CD\). Sea \(K\) el punto en el segmento \(AX\) tal que \(BK=BC\). Análogamente, sea \(L\) el punto en el segmento \(BX\) tal que \(AL=AC\). Sea \(M\) el punto de intersección de \(AL\) y \(BK\).

Demostrar que \(MK=ML\).

Solución →

Problema 6

Hallar todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existen enteros no negativos \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) tales que \[ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1. \]

Solución →

问题 1

设 \(J\) 为三角形 \(ABC\) 顶点 \(A\) 所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边 \(BC\) 相切于点 \(M\)，与直线 \(AB\) 和 \(AC\) 分别相切于点 \(K\) 和 \(L\). 直线 \(LM\) 和 \(BJ\) 相交于点 \(F\)，直线 \(KM\) 与 \(CJ\) 相交于点 \(G\). 设 \(S\) 是直线 \(AF\) 和 \(BC\) 的交点，\(T\) 是直线 \(AG\) 和 \(BC\) 的交点.

证明：\(M\) 是线段 \(ST\) 的中点.

（三角形 \(ABC\) 的顶点 \(A\) 所对的旁切圆是指与边 \(BC\) 相切，并且与边 \(AB,AC\) 的延长线相切的圆.）

解答 →

问题 2

设整数 \(n\ge3\)，正实数 \(a_2,a_3,\cdots,a_n\) 满足 \(a_2a_3\cdots a_n=1\). 证明： \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]

解答 →

问题 3

“欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行，游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数 \(k\) 和 \(n\).

游戏开始时甲先选定两个整数 \(x\) 和 \(N\)，\(1\le x\le N\). 甲如实告诉乙 \(N\) 的值，但对 \(x\) 守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于 \(x\) 的信息：每次提问，乙任选一个由若干正整数组成的集合 \(S\)（可以重复使用之前提问中使用过的集合），问甲“\(x\) 是否属于 \(S\)？”. 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后，甲必须对乙的提问立即回答“是”或“否”，甲可以说谎话，并且说谎的次数没有限制，唯一的限制是甲在任意连续 \(k+1\) 次回答中至少有一次回答是真话.

在乙问完所有想问的问题之后，乙必须指出一个至多包含 \(n\) 个正整数的集合 \(X\)，若 \(x\) 属于 \(X\)，则乙获胜；否则甲获胜. 证明：

（1）若 \(n\ge2^k\)，则乙可保证获胜；

（2）对所有充分大的整数 \(k\)，存在整数 \(n\ge1.99^k\)，使得乙无法保证获胜.

解答 →

问题 4

求所有的函数 \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\)，使得对所有满足 \(a+b+c=0\) 的整数 \(a,b,c\)，都有 \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a). \]

（这里 \(\mathbb Z\) 表示整数集.）

解答 →

问题 5

已知三角形 \(ABC\) 中，\(\angle BCA=90^\circ\)，\(D\) 是过顶点 \(C\) 的高的垂足. 设 \(X\) 是线段 \(CD\) 内部的一点. \(K\) 是线段 \(AX\) 上一点，使得 \(BK=BC\). \(L\) 是线段 \(BX\) 上一点，使得 \(AL=AC\). 设 \(M\) 是 \(AL\) 与 \(BK\) 的交点.

证明：\(MK=ML\).

解答 →

问题 6

求所有的正整数 \(n\)，使得存在非负整数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，满足 \[ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1. \]

解答 →

Задача 1

Дан треугольник \(ABC\); точка \(J\) является центром вневписанной окружности, соответствующей вершине \(A\). Эта вневписанная окружность касается отрезка \(BC\) в точке \(M\), а прямых \(AB\) и \(AC\) — в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Прямые \(LM\) и \(BJ\) пересекаются в точке \(F\), а прямые \(KM\) и \(CJ\) пересекаются в точке \(G\). Пусть \(S\) — точка пересечения прямых \(AF\) и \(BC\), а \(T\) — точка пересечения прямых \(AG\) и \(BC\).

Докажите, что точка \(M\) является серединой отрезка \(ST\).

(Вневписанной окружностью треугольника \(ABC\), соответствующей вершине \(A\), называется окружность, касающаяся стороны \(BC\) и продолжений сторон \(AB\) и \(AC\).)

Решение →

Задача 2

Дано целое число \(n\ge 3\) и действительные положительные числа \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) такие, что \(a_2a_3\ldots a_n=1\). Докажите, что \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\ldots(1+a_n)^n>n^n. \]

Решение →

Задача 3

Два игрока \(A\) и \(B\) играют в игру Угадай-ка. Правила этой игры зависят от двух положительных целых чисел \(k\) и \(n\), и эти числа известны обоим игрокам.

В начале игры \(A\) выбирает целые числа \(x\) и \(N\) такие, что \(1\le x\le N\). Игрок \(A\) держит число \(x\) в секрете, а число \(N\) честно сообщает игроку \(B\). После этого игрок \(B\) пытается получить информацию о числе \(x\), задавая игроку \(A\) вопросы следующего типа: за один вопрос \(B\) указывает по своему усмотрению множество \(S\), состоящее из целых положительных чисел (возможно, это множество уже было указано в одном из предыдущих вопросов) и спрашивает игрока \(A\) принадлежит ли число \(x\) множеству \(S\). Игрок \(B\) может задать столько вопросов, сколько он хочет. На каждый вопрос игрока \(B\) игрок \(A\) должен сразу ответить да или нет, при этом ему разрешается соврать столько раз, сколько он хочет; единственное ограничение состоит в том, что из любых \(k+1\) подряд идущих ответов хотя бы один ответ должен быть правдивым.

После того, как \(B\) задаст столько вопросов, сколько он сочтет нужным, он должен указать множество \(X\), содержащее не более \(n\) целых положительных чисел. Если \(x\) принадлежит множеству \(X\), то игрок \(B\) выиграл; иначе \(B\) проиграл. Докажите, что:

1. Если \(n\ge 2^k\), то \(B\) может гарантировать себе выигрыш.
2. Для всякого достаточно большого \(k\) найдется число \(n\ge 1,99^k\), при котором игрок \(B\) не сможет гарантировать себе выигрыш.

Решение →

Задача 4

Найдите все функции \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) такие, что для любых целых чисел \(a,\ b,\ c\), удовлетворяющих условию \(a+b+c=0\), выполняется равенство: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a). \]

(Через \(\mathbb Z\) обозначено множество всех целых чисел.)

Решение →

Задача 5

Пусть \(ABC\) — треугольник, в котором \(\angle BCA=90^\circ\), и пусть \(D\) — основание высоты, проведенной из вершины \(C\). Внутри отрезка \(CD\) взята точка \(X\). Пусть \(K\) — точка, лежащая на отрезке \(AX\) такая, что \(BK=BC\). Аналогично, пусть \(L\) — точка, лежащая на отрезке \(BX\) такая, что \(AL=AC\). Пусть \(M\) — точка пересечения отрезков \(AL\) и \(BK\).

Докажите, что \(MK=ML\).

Решение →

Задача 6

Найдите все целые положительные числа \(n\), для которых существуют целые неотрицательные числа \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) такие, что \[ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1. \]

Решение →

المسألة 1

ليكن \(ABC\) مثلثا والنقطة \(J\) هي مركز دائرته الخارجية المقابلة للرأس \(A\). هذه الدائرة الخارجية تمس الضلع \(BC\) في النقطة \(M\)، وتمس المستقيمين \(AB\) و \(AC\) في النقطتين \(K\) و \(L\)، على الترتيب. المستقيمان \(LM\) و \(BJ\) يتقاطعان في \(F\)، والمستقيمان \(KM\) و \(CJ\) يتقاطعان في \(G\). لتكن \(S\) نقطة تقاطع المستقيمين \(AF\) و \(BC\)، ولتكن \(T\) نقطة تقاطع المستقيمين \(AG\) و \(BC\). برهن أن \(M\) تقع في منتصف القطعة المستقيمة \(ST\).

(الدائرة الخارجية للمثلث \(ABC\) والمقابلة للرأس \(A\) هي الدائرة التي تمس كلا من الضلع \(BC\)، وامتداد الضلع \(AB\) من جهة \(B\)، وامتداد الضلع \(AC\) من جهة \(C\).)

← الحل

المسألة 2

ليكن \(n\ge 3\) عددا صحيحا، و \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) أعدادا حقيقية موجبة بحيث \(a_2a_3\cdots a_n=1\). برهن أن \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]

← الحل

المسألة 3

لعبة تخمين الكذب هي لعبة بين لاعبين \(A\) و \(B\). قواعد هذه اللعبة تعتمد على عددين صحيحين موجبين \(k\) و \(n\). هذان العددان معروفان لكلا اللاعبين.

في بداية اللعبة يختار \(A\) عددين صحيحين \(x\) و \(N\) بحيث \(1\le x\le N\). اللاعب \(A\) يحتفظ سرا بالعدد \(x\)، وبكل أمانة يكشف عن العدد \(N\) للاعب \(B\). يحاول اللاعب \(B\) التعرف على العدد \(x\) من خلال أسئلة يوجهها للاعب \(A\) على النحو التالي: في كل سؤال يختار \(B\) مجموعة عشوائية \(S\) من الأعداد الصحيحة الموجبة، ثم يسأل \(A\) إذا كان \(x\) ينتمي إلى \(S\). ويمكن للاعب \(B\) أن يكرر هذا النوع من الأسئلة عددا من المرات حسب رغبته، سواء بالاحتفاظ بالمجموعة \(S\) أو تغييرها. على اللاعب \(A\) أن يجيب لحظيا على أسئلة اللاعب \(B\) بنعم أو لا، مع إمكانية الكذب في الإجابة ما شاء من المرات. القيد الوحيد أنه في كل \(k+1\) من الإجابات المتتالية، تكون على الأقل واحدة منها صحيحة.

بعد أن ينتهي \(B\) من طرح العدد الذي يرغب من أسئلته، عليه أن يحدد مجموعة \(X\) تحوي ما لا يزيد عن \(n\) من الأعداد الصحيحة الموجبة. إذا انتمت \(x\) إلى \(X\) فيكون \(B\) فائزا، وبعكس ذلك فهو خاسر. برهن أن:

1. إذا كان \(n\ge 2^k\)، فإنه يمكن للاعب \(B\) أن يضمن الفوز.
2. لكل الأعداد \(k\) الكبيرة بما فيه الكفاية يوجد عدد صحيح \(n\ge 1.99^k\) بحيث لا يمكن للاعب \(B\) أن يضمن الفوز.

← الحل

المسألة 4

جد جميع الدوال \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) التي تحقق المساواة التالية: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a). \] لكل الأعداد الصحيحة \(a\)، \(b\)، \(c\) بحيث \(a+b+c=0\).

(نعني بالرمز \(\mathbb Z\) مجموعة الأعداد الصحيحة.)

← الحل

المسألة 5

ليكن \(ABC\) مثلثا فيه \(\angle BCA=90^\circ\)، و \(D\) قدم الارتفاع النازل من \(C\). لتكن \(X\) نقطة داخل القطعة المستقيمة \(CD\). النقطة \(K\) تقع على القطعة المستقيمة \(AX\) بحيث \(BK=BC\). بصورة مشابهة النقطة \(L\) تقع على القطعة المستقيمة \(BX\) بحيث \(AL=AC\).

إذا كانت \(M\) نقطة تقاطع المستقيمين \(AL\) و \(BK\)، فبرهن أن \(MK=ML\).

← الحل

المسألة 6

حدد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \(n\) التي لأجلها توجد أعداد صحيحة غير سالبة \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) تحقق \[ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\cdots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1. \]

← الحل