Problem 1

Given any set \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) of four distinct positive integers, we denote the sum \(a_1+a_2+a_3+a_4\) by \(s_A\). Let \(n_A\) denote the number of pairs \((i,j)\) with \(1\le i<j\le4\) for which \(a_i+a_j\) divides \(s_A\). Find all sets \(A\) of four distinct positive integers which achieve the largest possible value of \(n_A\).

Solution →

Problem 2

Let \(S\) be a finite set of at least two points in the plane. Assume that no three points of \(S\) are collinear. A windmill is a process that starts with a line \(\ell\) going through a single point \(P\in S\). The line rotates clockwise about the pivot \(P\) until the first time that the line meets some other point belonging to \(S\). This point, \(Q\), takes over as the new pivot, and the line now rotates clockwise about \(Q\), until it next meets a point of \(S\). This process continues indefinitely.

Show that we can choose a point \(P\) in \(S\) and a line \(\ell\) going through \(P\) such that the resulting windmill uses each point of \(S\) as a pivot infinitely many times.

Solution →

Problem 3

Let \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) be a real-valued function defined on the set of real numbers that satisfies \[ f(x+y)\le yf(x)+f(f(x)) \] for all real numbers \(x\) and \(y\). Prove that \(f(x)=0\) for all \(x\le 0\).

Solution →

Problem 4

Let \(n > 0\) be an integer. We are given a balance and \(n\) weights of weight \(2^0\), \(2^1,\ldots,2^{n-1}\). We are to place each of the \(n\) weights on the balance, one after another, in such a way that the right pan is never heavier than the left pan. At each step we choose one of the weights that has not yet been placed on the balance, and place it on either the left pan or the right pan, until all of the weights have been placed.

Determine the number of ways in which this can be done.

Solution →

Problem 5

Let \(f\) be a function from the set of integers to the set of positive integers. Suppose that, for any two integers \(m\) and \(n\), the difference \(f(m)-f(n)\) is divisible by \(f(m-n)\). Prove that, for all integers \(m\) and \(n\) with \(f(m)\le f(n)\), the number \(f(n)\) is divisible by \(f(m)\).

Solution →

Problem 6

Let \(ABC\) be an acute triangle with circumcircle \(\Gamma\). Let \(\ell\) be a tangent line to \(\Gamma\), and let \(\ell_a,\ell_b\) and \(\ell_c\) be the lines obtained by reflecting \(\ell\) in the lines \(BC,CA\) and \(AB\), respectively. Show that the circumcircle of the triangle determined by the lines \(\ell_a,\ell_b\) and \(\ell_c\) is tangent to the circle \(\Gamma\).

Solution →

Aufgabe 1

Für jede Menge \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) von vier paarweise verschiedenen positiven ganzen Zahlen, deren Summe \(a_1+a_2+a_3+a_4\) mit \(s_A\) bezeichnet werde, sei \(n_A\) die Anzahl der Paare \((i,j)\) mit \(1\le i<j\le4\), für die \(a_i+a_j\) die Zahl \(s_A\) teilt. Bestimme unter all diesen Mengen \(A\) diejenigen, für die \(n_A\) maximal ist.

Lösung →

Aufgabe 2

Sei \(S\) eine endliche Menge von mindestens zwei Punkten in der Ebene. Dabei wird angenommen, dass keine drei Punkte von \(S\) kollinear sind. Als Windmühle bezeichnen wir einen Prozess der folgenden Art. Wir starten mit einer Geraden \(\ell\), die genau einen Punkt \(P\in S\) enthält. Die Gerade \(\ell\) wird im Uhrzeigersinn um den Drehpunkt \(P\) so lange gedreht, bis sie zum ersten Mal auf einen weiteren Punkt aus \(S\), der mit \(Q\) bezeichnet sei, trifft. Die Gerade wird weiter im Uhrzeigersinn mit \(Q\) als neuem Drehpunkt gedreht, bis sie wieder auf einen Punkt aus \(S\) trifft. Dieser Prozess wird unbegrenzt fortgesetzt.

Man beweise, dass für geeignete Wahl eines Punktes \(P\in S\) und einer Ausgangsgeraden \(\ell\), die \(P\) enthält, die resultierende Windmühle jeden Punkt aus \(S\) unendlich oft als Drehpunkt hat.

Lösung →

Aufgabe 3

Sei \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) eine Funktion, die die Bedingung \[ f(x+y)\le yf(x)+f(f(x)) \] für alle reellen Zahlen \(x\) und \(y\) erfüllt. Man beweise, dass \(f(x)=0\) für alle \(x\le0\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 4

Sei \(n>0\) eine ganze Zahl. Gegeben seien eine Balkenwaage und \(n\) Gewichtsstücke mit den Gewichten \(2^0,2^1,\ldots,2^{n-1}\). Wir sollen jedes der \(n\) Gewichtsstücke, eines nach dem anderen, so auf die Waage legen, dass die rechte Schale zu keinem Zeitpunkt schwerer als die linke ist. In jedem Zug wählen wir ein Gewichtsstück aus, das zu diesem Zeitpunkt noch nicht auf die Waage gelegt wurde und legen es entweder auf die linke oder die rechte Schale bis alle Gewichtsstücke verwendet worden sind. Man bestimme die Anzahl derartiger Folgen mit \(n\) Zügen.

Lösung →

Aufgabe 5

Sei \(f\) eine Funktion, die die Menge der ganzen Zahlen in die Menge der positiven ganzen Zahlen abbildet. Für je zwei ganze Zahlen \(m\) und \(n\) sei die Differenz \(f(m)-f(n)\) durch \(f(m-n)\) teilbar. Man beweise für alle ganzen Zahlen \(m,n\) mit \(f(m)\le f(n)\), dass \(f(n)\) durch \(f(m)\) teilbar ist.

Lösung →

Aufgabe 6

Es seien \(ABC\) ein spitzwinkliges Dreieck mit dem Umkreis \(\Gamma\) und \(\ell\) eine Tangente an \(\Gamma\). Ferner seien \(\ell_a,\ell_b\) und \(\ell_c\) die Geraden, die durch Spiegelungen von \(\ell\) an den Geraden \(BC,CA\) bzw. \(AB\) entstehen. Man beweise, dass der Umkreis des Dreiecks, das von den Geraden \(\ell_a,\ell_b\) und \(\ell_c\) gebildet wird, den Kreis \(\Gamma\) berührt.

Lösung →

Soru 1

Dört farklı pozitif tam sayıdan oluşan bir \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) kümesi için, \(a_1+a_2+a_3+a_4\) toplamını \(s_A\) ile gösteriyoruz. \(1\le i<j\le4\) olmak üzere, \(a_i+a_j\) nin \(s_A\) yı böldüğü \((i,j)\) ikililerinin sayısını da \(n_A\) ile gösterelim. Dört farklı pozitif tam sayıdan oluşan ve \(n_A\) nın alabileceği en büyük değeri almasını sağlayan tüm \(A\) kümelerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

\(S\) düzlemde en az iki noktadan oluşan sonlu bir küme olsun. \(S\) nin herhangi üç noktasının doğrudaş olmadığını varsayalım. Bir yeldeğirmeni, \(S\) ye ait tek bir \(P\) noktasından geçen bir \(\ell\) doğrusu ile başlayan bir süreçtir. Bu doğru, dönme merkezi \(P\) olmak üzere, \(S\) nin başka bir noktasından daha geçtiği ilk ana kadar saat yönünde dönüyor. Bu ikinci noktaya \(Q\) dersek, bundan sonra doğru, yeni dönme merkezi \(Q\) olmak üzere, tekrar \(S\) nin başka bir noktasından daha geçtiği ilk ana kadar saat yönünde dönmeyi sürdürüyor. Bu süreç sonsuza kadar devam ediyor. Oluşan yeldeğirmeninin \(S\) nin her noktasını sonsuz kez dönme merkezi olarak kullanmasını sağlayacak biçimde, \(S\) ye ait bir \(P\) noktası ve \(P\) den geçen bir \(\ell\) doğrusu seçebileceğimizi gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

Gerçel sayılar kümesinden kendisine tanımlı bir \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) fonksiyonu, tüm \(x,y\) gerçel sayıları için, \[ f(x+y)\le yf(x)+f(f(x)) \] koşulunu sağlıyor. Her \(x\le0\) için, \(f(x)=0\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(n>0\) bir tam sayı olsun. İki kefeli bir terazimiz ve ağırlıkları \(2^0,\ 2^1,\ldots,2^{n-1}\) olan \(n\) tane ağırlığımız var. Bu ağırlıkları \(n\) hamlede birer birer ve hiçbir aşamada sağ kefe sol kefeden daha ağır olmayacak biçimde teraziye yerleştirmemiz gerekiyor. Tüm ağırlıklar teraziye konulana kadar her hamlede, teraziye henüz konulmamış ağırlıklardan birini seçerek bunu sol veya sağ kefeye yerleştiriyoruz. Bu hamleler dizisini kaç farklı biçimde yapabileceğimizi belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 5

\(\mathbb Z\) tam sayılar kümesini ve \(\mathbb Z^+\) pozitif tam sayılar kümesini göstermek üzere, \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z^+\) bir fonksiyon olsun. Tüm \(m,n\) tam sayıları için, \(f(m)-f(n)\) farkının \(f(m-n)\) ile bölündüğünü varsayalım. \(f(m)\le f(n)\) koşulunu sağlayan tüm \(m,n\) tam sayıları için, \(f(n)\) sayısının \(f(m)\) ile bölündüğünü kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

\(ABC\), çevrel çemberi \(\Gamma\) olan dar açılı bir üçgen olsun. \(\ell\), \(\Gamma\) ya teğet olan bir doğru ve \(\ell\) nin \(BC,CA\) ve \(AB\) doğrularına göre yansıtılmasıyla elde edilen doğrular da sırasıyla, \(\ell_a,\ell_b\) ve \(\ell_c\) olsun. \(\ell_a,\ell_b\) ve \(\ell_c\) doğrularının belirlediği üçgenin çevrel çemberinin \(\Gamma\) çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Para cualquier conjunto \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) por \(s_A\). Sea \(n_A\) el número de parejas \((i,j)\) con \(1\le i<j\le4\) para las cuales \(a_i+a_j\) divide a \(s_A\). Encontrar todos los conjuntos \(A\) de cuatro enteros positivos distintos para los cuales se alcanza el mayor valor posible de \(n_A\).

Solución →

Problema 2

Sea \(S\) un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En \(S\) no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta \(\ell\) que pasa por un único punto \(P\) de \(S\). Se rota \(\ell\) en el sentido de las manecillas del reloj con centro en \(P\) hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de \(S\) al cual llamaremos \(Q\). Con \(Q\) como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de \(S\). Este proceso continúa indefinidamente. Demostrar que se puede elegir un punto \(P\) de \(S\) y una recta \(\ell\) que pasa por \(P\) tales que el remolino que resulta usa cada punto de \(S\) como centro de rotación un número infinito de veces.

Solución →

Problema 3

Sea \(f\) una función del conjunto de los números reales en si mismo que satisface \[ f(x+y)\le yf(x)+f(f(x)) \] para todo par de números reales \(x,\ y\). Demostrar que \(f(x)=0\) para todo \(x\le0\).

Solución →

Problema 4

Sea \(n>0\) un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y de \(n\) pesas cuyos pesos son \(2^0,2^1,\ldots,2^{n-1}\). Debemos colocar cada una de las \(n\) pesas en la balanza, una tras otra, de manera tal que el platillo de la derecha nunca sea más pesado que el platillo de la izquierda. En cada paso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos ya sea en el platillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determinar el número de formas en las que esto se puede hacer.

Solución →

Problema 5

Sea \(f\) una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros \(m\) y \(n\), la diferencia \(f(m)-f(n)\) es divisible por \(f(m-n)\). Demostrar que para todos los enteros \(m\) y \(n\) con \(f(m)\le f(n)\), el número \(f(n)\) es divisible por \(f(m)\).

Solución →

Problema 6

Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es \(\Gamma\). Sea \(\ell\) una recta tangente a \(\Gamma\), y sean \(\ell_a\), \(\ell_b\) y \(\ell_c\) las rectas que se obtienen al reflejar \(\ell\) con respecto a las rectas \(BC\), \(CA\) y \(AB\), respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas \(\ell_a\), \(\ell_b\) y \(\ell_c\) es tangente a la circunferencia \(\Gamma\).

Solución →

问题 1

对任意由 \(4\) 个不同正整数组成的集合 \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\)，记 \(s_A=a_1+a_2+a_3+a_4\)，设 \(n_A\) 是满足 \(a_i+a_j(1\le i<j\le4)\) 整除 \(s_A\) 的数对 \((i,j)\) 的个数。求所有由 \(4\) 个不同正整数组成的集合 \(A\)，使得 \(n_A\) 达到最大值。

解答 →

问题 2

设 \(S\) 是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上。

所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过 \(S\) 中单独一点 \(P\) 的一条直线 \(\ell\) 开始，以 \(P\) 为旋转中心顺时针旋转，直至首次遇到 \(S\) 中的另一点，记为点 \(Q\)。接着这条直线以 \(Q\) 为新的旋转中心顺时针旋转，直到再次遇到 \(S\) 中的某一点，这样的过程无限持续下去。

证明：可以适当选取 \(S\) 中的一点 \(P\)，以及过 \(P\) 的一条直线 \(\ell\)，使得由此产生的“风车”将 \(S\) 中的每一点都无限多次用作旋转中心。

解答 →

问题 3

设 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数 \(x\)，\(y\)，都有 \[ f(x+y)\le y f(x)+f(f(x)), \] 证明：对所有实数 \(x\le0\)，有 \(f(x)=0\)。

解答 →

问题 4

给定整数 \(n>0\)。有一个天平和 \(n\) 个重量分别为 \(2^0,2^1,\ldots,2^{n-1}\) 的砝码。

现通过 \(n\) 步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的重量。每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至所有砝码都被放上天平。

求整个操作过程的不同方法个数。

解答 →

问题 5

设 \(f\) 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数 \(m,n\)，差 \(f(m)-f(n)\) 能被 \(f(m-n)\) 整除。证明：对所有整数 \(m\)，\(n\)，若 \(f(m)\le f(n)\)，则 \(f(n)\) 被 \(f(m)\) 整除。

解答 →

问题 6

设锐角三角形 \(ABC\) 的外接圆为 \(\Gamma\)，\(\ell\) 是圆 \(\Gamma\) 的一条切线。记切线 \(\ell\) 关于直线 \(BC\)，\(CA\) 和 \(AB\) 的对称直线分别为 \(\ell_a\)，\(\ell_b\) 和 \(\ell_c\)。证明：由直线 \(\ell_a\)，\(\ell_b\) 和 \(\ell_c\) 构成的三角形的外接圆与圆 \(\Gamma\) 相切。

解答 →

Задача 1

Для множества \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\), состоящего из четырех попарно различных целых положительных чисел, обозначим через \(s_A\) сумму \(a_1+a_2+a_3+a_4\). Через \(n_A\) обозначим количество пар индексов \((i,j)\), \(1\le i<j\le4\), для которых \(s_A\) делится на \(a_i+a_j\). Найдите все множества \(A\), состоящие из четырех попарно различных целых положительных чисел, для которых \(n_A\) принимает наибольшее возможное значение.

Решение →

Задача 2

Пусть \(S\) — конечное множество точек на плоскости, содержащее хотя бы две точки. Известно, что никакие три точки множества \(S\) не лежат на одной прямой. Назовем мельницей следующий процесс. Вначале выбирается прямая \(\ell\), на которой лежит ровно одна точка \(P\in S\). Прямая \(\ell\) вращается по часовой стрелке вокруг центра \(P\) до тех пор, пока она впервые не пройдет через другую точку множества \(S\). В этот момент эта точка, обозначим ее \(Q\), становится новым центром, и прямая продолжает вращаться по часовой стрелке вокруг точки \(Q\) до тех пор, пока она снова не пройдет через точку множества \(S\). Этот процесс продолжается бесконечно.

Докажите, что можно выбрать некоторую точку \(P\) множества \(S\) и некоторую прямую \(\ell\), проходящую через \(P\), так, что для мельницы, начинающейся с прямой \(\ell\), каждая точка множества \(S\) выступит в роли центра бесконечное число раз.

Решение →

Задача 3

Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) — функция, определенная на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения, такая, что \[ f(x+y)\le yf(x)+f(f(x)) \] для всех действительных \(x\) и \(y\). Докажите, что \(f(x)=0\) для всех \(x\le0\).

Решение →

Задача 4

Дано целое число \(n>0\). Имеются чашечные весы и \(n\) гирь, веса которых равны \(2^0\), \(2^1,\ldots,2^{n-1}\). Все \(n\) гирь выкладываются одна за другой на чаши весов, то есть на каждом из \(n\) шагов выбирается гиря, которая еще не выложена на весы, и добавляется либо на левую, либо на правую чашу весов; при этом гири выкладываются так, чтобы ни в какой момент правая чаша не была тяжелее левой. Найдите количество способов выполнить такую последовательность шагов.

Решение →

Задача 5

Пусть \(f\) — функция, определенная на множестве целых чисел, принимающая целые положительные значения. Известно, что для любых целых \(m\) и \(n\) разность \(f(m)-f(n)\) делится на \(f(m-n)\). Докажите, что для любых целых \(m\) и \(n\) таких что \(f(m)\le f(n)\), число \(f(n)\) делится на \(f(m)\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(ABC\) — остроугольный треугольник, и \(\Gamma\) — описанная около него окружность. Пусть прямая \(\ell\) — некоторая касательная к окружности \(\Gamma\), и пусть \(\ell_a\), \(\ell_b\) и \(\ell_c\) — прямые, симметричные прямой \(\ell\) относительно прямых \(BC\), \(CA\) и \(AB\) соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного прямыми \(\ell_a\), \(\ell_b\) и \(\ell_c\), касается окружности \(\Gamma\).

Решение →

المسألة 1

لكل مجموعة \(A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) مكونة من أربعة أعداد صحيحة موجبة و مختلفة، نجعل \(S_A=a_1+a_2+a_3+a_4\). ليكن \(n_A\) عدد الأزواج \((i,j)\) حيث \(1\le i<j\le4\) بحيث \(a_i+a_j\) يقسم \(S_A\). جد جميع المجموعات \(A\) المكونة من أربعة أعداد صحيحة مختلفة و التي تجعل \(n_A\) أكبر ما يمكن.

← الحل

المسألة 2

لتكن \(S\) مجموعة منتهية مكونة من نقطتين على الأقل في المستوي. لنفرض عدم وجود ثلاث نقط على استقامة واحدة في \(S\). نطلق على العملية التالية اسم طاحونة الهواء: نبدأ بمستقيم \(l\) يمر بنقطة واحدة \(P\in S\)، ثم ندير \(l\) باتجاه عقارب الساعة حول مركز الدوران \(P\) حتى يمر على أول نقطة \(Q\) في \(S\) مختلفة عن \(P\). النقطة \(Q\) تصبح مركز الدوران الجديد للمستقيم \(l\) الذي يدور حولها باتجاه عقارب الساعة إلى أن يلتقي مع نقطة في \(S\)، و هكذا تستمر هذه العملية ما لانهاية من المرات.

بيّن أنه يمكننا اختيار نقطة \(P\) في \(S\) و مستقيم مناسب \(l\) يمر في \(P\) بحيث أن الطاحونة الناتجة تمر على جميع نقط \(S\) كمراكز دوران بعدد لانهائي من المرات.

← الحل

المسألة 3

لتكن \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) دالة من مجموعة الأعداد الحقيقية إلى نفسها و تحقق ما يلي \[ f(x+y)\le yf(x)+f(f(x)) \] لكل الأعداد الحقيقية \(x\) و \(y\). برهن أن \(f(x)=0\) لكل \(x\le0\).

← الحل

المسألة 4

ليكن \(n>0\) عدداً صحيحاً. لدينا ميزان بكفتين و \(n\) من الأثقال قيمها \(2^0,2^1,\ldots,2^{n-1}\). نضع هذه الأثقال على الميزان واحداً تلو الآخر من خلال \(n\) من الحركات المتوالية، بحيث لا ترجح الكفة اليمنى على اليسرى في أي حال من الأحوال. في كل حركة نختار واحداً من الأثقال التي لم نضعها على الميزان بعد ثم نضعه إما على الكفة اليمنى أو اليسرى و نستمر إلى أن ننتهي من وضع جميع الأثقال.

جد عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها أن ننفذ هذه الحركات المتوالية

← الحل

المسألة 5

لتكن \(f\) دالة من مجموعة الأعداد الصحيحة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. لنفرض أنه لكل عددين صحيحين \(m\) و \(n\)، المقدار \(f(m)-f(n)\) يقبل القسمة على \(f(m-n)\). لكل الأعداد الصحيحة \(m\) و \(n\) بحيث \(f(m)\le f(n)\)، برهن أن العدد \(f(n)\) يقبل القسمة على \(f(m)\)،

← الحل

المسألة 6

لدينا مثلث \(ABC\) حاد الزوايا و \(\Gamma\) الدائرة المارة برؤوسه. ليكن \(l\) مستقيماً مماساً للدائرة \(\Gamma\). لتكن \(l_a,l_b,l_c\) المستقيمات المنعكسة من المستقيم (المناظرة للمستقيم) \(l\) نسبة إلى المستقيمات \(BC,CA,AB\) على الترتيب. بيّن أن الدائرة المحيطة برؤوس المثلث المتعين بالمستقيمات \(l_a,l_b,l_c\) تمس الدائرة \(\Gamma\).

← الحل