Problem 1

Determine all functions \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) such that the equality \[ f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor \] holds for all \(x,y\in\mathbb R\). (Here \(\lfloor z\rfloor\) denotes the greatest integer less than or equal to \(z\).)

Solution →

Problem 2

Let \(I\) be the incentre of triangle \(ABC\) and let \(\Gamma\) be its circumcircle. Let the line \(AI\) intersect \(\Gamma\) again at \(D\). Let \(E\) be a point on the arc \(\widehat{BDC}\) and \(F\) a point on the side \(BC\) such that \[ \angle BAF=\angle CAE<\frac12\angle BAC. \] Finally, let \(G\) be the midpoint of the segment \(IF\). Prove that the lines \(DG\) and \(EI\) intersect on \(\Gamma\).

Solution →

Problem 3

Let \(\mathbb{N}\) be the set of positive integers. Determine all functions \(g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) such that \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] is a perfect square for all \(m,n\in\mathbb{N}\).

Solution →

Problem 4

Let \(P\) be a point inside the triangle \(ABC\). The lines \(AP\), \(BP\) and \(CP\) intersect the circumcircle \(\Gamma\) of triangle \(ABC\) again at the points \(K\), \(L\) and \(M\) respectively. The tangent to \(\Gamma\) at \(C\) intersects the line \(AB\) at \(S\). Suppose that \(SC = SP\). Prove that \(MK = ML\).

Solution →

Problem 5

In each of six boxes \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6\) there is initially one coin. There are two types of operation allowed:

Type 1: Choose a nonempty box \(B_j\) with \(1\le j\le5\). Remove one coin from \(B_j\) and add two coins to \(B_{j+1}\).

Type 2: Choose a nonempty box \(B_k\) with \(1\le k\le4\). Remove one coin from \(B_k\) and exchange the contents of (possibly empty) boxes \(B_{k+1}\) and \(B_{k+2}\).

Determine whether there is a finite sequence of such operations that results in boxes \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\) being empty and box \(B_6\) containing exactly \(2010^{2010^{2010}}\) coins. (Note that \(a^{b^c}=a^{(b^c)}\).)

Solution →

Problem 6

Let \(a_1,a_2,a_3,\ldots\) be a sequence of positive real numbers. Suppose that for some positive integer \(s\), we have \[ a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} \] for all \(n>s\). Prove that there exist positive integers \(\ell\) and \(N\), with \(\ell\le s\) and such that \(a_n=a_\ell+a_{n-\ell}\) for all \(n\ge N\).

Solution →

Aufgabe 1

Man bestimme alle Funktionen \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), so dass die Gleichung \[ f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor \] für alle \(x,y\in\mathbb R\) gilt. (Hierbei bezeichnet \(\lfloor z\rfloor\) die größte ganze Zahl, die nicht größer als \(z\) ist.)

Lösung →

Aufgabe 2

Das Dreieck \(ABC\) habe den Inkreismittelpunkt \(I\) und den Umkreis \(\Gamma\). Die Gerade \(AI\) schneide \(\Gamma\) ein zweites Mal im Punkt \(D\). Ferner seien \(E\) ein Punkt auf dem Bogen \(BDC\) und \(F\) ein Punkt auf der Seite \(\overline{BC}\) mit \[ \angle BAF=\angle CAE<\frac12\angle BAC. \] Schließlich sei \(G\) der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{IF}\). Man beweise, dass sich die Geraden \(DG\) und \(EI\) auf \(\Gamma\) schneiden.

Lösung →

Aufgabe 3

Es sei \(\mathbb N\) die Menge der positiven ganzen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \(g:\mathbb N\to\mathbb N\), so dass die Zahl \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] für alle \(m,n\in\mathbb N\) eine Quadratzahl ist.

Lösung →

Aufgabe 4

Im Inneren des Dreiecks \(ABC\) liege der Punkt \(P\). Die Geraden \(AP\), \(BP\) und \(CP\) schneiden den Umkreis \(\Gamma\) von \(ABC\) jeweils ein zweites Mal in den Punkten \(K\), \(L\) bzw. \(M\). Die Tangente an \(\Gamma\) durch \(C\) schneide die Gerade \(AB\) in \(S\). Es gelte \(|\overline{SC}|=|\overline{SP}|\). Man beweise \(|\overline{MK}|=|\overline{ML}|\).

Lösung →

Aufgabe 5

In jedem von sechs Behältern \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\) und \(B_6\) befindet sich zu Beginn genau eine Münze. Es gibt zwei Typen von erlaubten Operationen:

Typ 1: Man wähle einen nicht-leeren Behälter \(B_j\) mit \(1\le j\le5\) aus. Man entferne eine Münze aus \(B_j\) und füge zum Behälter \(B_{j+1}\) zwei Münzen hinzu.

Typ 2: Man wähle einen nicht-leeren Behälter \(B_k\) mit \(1\le k\le4\) aus. Man entferne eine Münze aus \(B_k\) und vertausche die Inhalte der (möglicherweise leeren) Behälter \(B_{k+1}\) und \(B_{k+2}\).

Man entscheide, ob es eine endliche Folge von solchen Operationen gibt, nach deren Ausführung die ersten fünf Behälter \(B_1,B_2,B_3,B_4\) und \(B_5\) leer sind und der sechste Behälter \(B_6\) genau \(2010^{2010^{2010}}\) Münzen enthält. (Man beachte: \(a^{b^c}=a^{(b^c)}\).)

Lösung →

Aufgabe 6

Es sei \(a_1,a_2,a_3,\ldots\) eine Folge positiver reeller Zahlen. Ferner sei \(s\) eine positive ganze Zahl, so dass \[ a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\} \] für alle \(n>s\) gilt. Man beweise, dass es positive ganze Zahlen \(N\) und \(\ell\) mit \(\ell\le s\) derart gibt, dass \(a_n=a_\ell+a_{n-\ell}\) für alle \(n\ge N\) gilt.

Lösung →

Soru 1

Her \(x,y\in\mathbb R\) için, \[ f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor \] eşitliğini sağlayan tüm \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) fonksiyonlarını belirleyiniz. (Burada \(\lfloor z\rfloor\) ile, \(z\) yi aşmayan en büyük tam sayıyı gösteriyoruz.)

Çözüm →

Soru 2

Bir \(ABC\) üçgeninin içteğet çemberinin merkezi \(I\) ve çevrel çemberi \(\Gamma\) dır. \(AI\) doğrusu \(\Gamma\) yı ikinci kez \(D\) de kesiyor. \[ m(\widehat{BAF})=m(\widehat{CAE})<\frac12 m(\widehat{BAC}) \] koşullarını sağlayacak biçimde, \(BDC\) yayı üstünde \(E\) ve \([BC]\) kenarı üstünde \(F\) noktası alınıyor. \([IF]\) doğru parçasının orta noktası \(G\) olsun. \(DG\) ve \(EI\) doğrularının \(\Gamma\) ya ait bir noktada kesiştiğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(\mathbb Z^+\) ile pozitif tam sayılar kümesini gösterelim. Her \(m,n\in\mathbb Z^+\) için, \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] sayısının tam kare olmasını sağlayan tüm \(g:\mathbb Z^+\to\mathbb Z^+\) fonksiyonlarını belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 4

\(P\), \(ABC\) üçgeninin içinde yer alan bir nokta olsun. \(AP\), \(BP\) ve \(CP\) doğruları, \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberi \(\Gamma\) yı ikinci kez sırasıyla, \(K\), \(L\) ve \(M\) noktalarında kesiyor. \(\Gamma\) ya \(C\) noktasında teğet olan doğru da, \(AB\) doğrusunu \(S\) noktasında kesiyor. \(|SC|=|SP|\) ise, \(|MK|=|ML|\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

\(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6\) ile gösterilen altı kutunun her birinde başlangıçta birer madenî para bulunuyor. İki tip işleme izin veriliyor:

Tip 1: \(1\le j\le5\) olacak biçimde, boş olmayan bir \(B_j\) kutusu seçiyoruz. \(B_j\) den bir madenî para çıkarıyoruz ve \(B_{j+1}\) e iki madenî para koyuyoruz.

Tip 2: \(1\le k\le4\) olacak biçimde, boş olmayan bir \(B_k\) kutusu seçiyoruz. \(B_k\) den bir madenî para çıkarıyoruz ve (boş da olsalar) \(B_{k+1}\) ile \(B_{k+2}\) kutularının içeriklerini birbiriyle değiştiriyoruz.

Sonucunda, \(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5\) kutularının boş olmasını ve \(B_6\) kutusunda da tam olarak \(2010^{2010^{2010}}\) madenî para olmasını sağlayan sonlu bir işlemler dizisi bulunup bulunmadığını belirleyiniz. (Burada \(a^{b^c}=a^{(b^c)}\) dir.)

Çözüm →

Soru 6

\(a_1,a_2,a_3,\ldots\) bir pozitif gerçel sayılar dizisi olsun. Her \(n>s\) için, \[ a_n=\max\{\,a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\,\} \] olmasını sağlayan bir \(s\) pozitif tam sayısı bulunduğunu varsayalım. \(\ell\le s\) ve her \(n\ge N\) için, \(a_n=a_\ell+a_{n-\ell}\) olacak biçimde \(\ell\) ve \(N\) pozitif tam sayılarının bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Determine todas las funciones \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) tales que \[ f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor \] para todos los números \(x,y\in\mathbb R\). (\(\lfloor z\rfloor\) denota el mayor entero que es menor o igual que \(z\).)

Solución →

Problema 2

Sea \(ABC\) un triángulo, \(I\) su incentro y \(\Gamma\) su circunferencia circunscrita. La recta \(AI\) corta de nuevo a \(\Gamma\) en \(D\). Sean \(E\) un punto en el arco \(\widehat{BDC}\) y \(F\) un punto en el lado \(BC\) tales que \[ \angle BAF=\angle CAE<\tfrac12\angle BAC. \] Sea \(G\) el punto medio del segmento \(IF\). Demuestre que las rectas \(DG\) y \(EI\) se cortan sobre \(\Gamma\).

Solución →

Problema 3

Sea \(\mathbb N\) el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones \(g:\mathbb N\to\mathbb N\) tales que \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] es un cuadrado perfecto para todo \(m,n\in\mathbb N\).

Solución →

Problema 4

Sea \(\Gamma\) la circunferencia circunscrita al triángulo \(ABC\) y \(P\) un punto en el interior del triángulo. Las rectas \(AP\), \(BP\) y \(CP\) cortan de nuevo a \(\Gamma\) en los puntos \(K\), \(L\) y \(M\), respectivamente. La recta tangente a \(\Gamma\) en \(C\) corta a la recta \(AB\) en \(S\). Si se tiene que \(SC=SP\), demuestre que \(MK=ML\).

Solución →

Problema 5

En cada una de las seis cajas \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6\) hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones:

Tipo 1: Elegir una caja no vacía \(B_j\), con \(1\le j\le5\). Retirar una moneda de \(B_j\) y añadir dos monedas a \(B_{j+1}\).

Tipo 2: Elegir una caja no vacía \(B_k\), con \(1\le k\le4\). Retirar una moneda de \(B_k\) e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) \(B_{k+1}\) y \(B_{k+2}\).

Determine si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\) vacías y a la caja \(B_6\) con exactamente \(2010^{2010^{2010}}\) monedas. (Observe que \(a^{b^c}=a^{(b^c)}\).)

Solución →

Problema 6

Sea \(a_1,a_2,a_3,\ldots\) una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún entero positivo \(s\), \[ a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\text{ tal que }1\le k\le n-1\} \] para todo \(n>s\). Demuestre que existen enteros positivos \(\ell\) y \(N\), con \(\ell\le s\), tales que \(a_n=a_\ell+a_{n-\ell}\) para todo \(n\ge N\).

Solución →

问题 1

求所有的函数 \(f:\mathbb R\to\mathbb R\)，使得等式 \[ f([x]y)=f(x)[f(y)] \] 对所有 \(x,y\in\mathbb R\) 成立。（这里，\([z]\) 表示不超过实数 \(z\) 的最大整数。）

解答 →

问题 2

设三角形 \(ABC\) 的内心是 \(I\)，外接圆为 \(\Gamma\)。直线 \(AI\) 交圆 \(\Gamma\) 于另一点 \(D\)。设 \(E\) 是弧 \(\widehat{BDC}\) 上的一点，\(F\) 是边 \(BC\) 上的一点，使得 \[ \angle BAF=\angle CAE<\frac12\angle BAC. \] 设 \(G\) 是线段 \(IF\) 的中点。证明：直线 \(DG\) 与 \(EI\) 的交点在圆 \(\Gamma\) 上。

解答 →

问题 3

设 \(\mathbb N\) 是所有正整数构成的集合。求所有的函数 \(g:\mathbb N\to\mathbb N\)，使得对所有 \(m,n\in\mathbb N\)， \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] 是一个完全平方数。

解答 →

问题 4

设 \(P\) 是三角形 \(ABC\) 内部的一点，直线 \(AP\)，\(BP\)，\(CP\) 与三角形 \(ABC\) 的外接圆 \(\Gamma\) 的另一个交点分别为 \(K\)，\(L\)，\(M\)。圆 \(\Gamma\) 在点 \(C\) 处的切线与直线 \(AB\) 相交于点 \(S\)。假设 \(SC=SP\)，证明：\(MK=ML\)。

解答 →

问题 5

有 \(6\) 个盒子 \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6\)，开始时每个盒子中都恰好有一枚硬币。每次可以任意选择如下两种方式之一对它们进行操作：

方式 1：选取一个至少有一枚硬币的盒子 \(B_j\) \((1\le j\le5)\)，从盒子 \(B_j\) 中取走一枚硬币，并在盒子 \(B_{j+1}\) 中加入 \(2\) 枚硬币。

方式 2：选取一个至少有一枚硬币的盒子 \(B_k\) \((1\le k\le4)\)，从盒子 \(B_k\) 中取走一枚硬币，并且交换盒子 \(B_{k+1}\)（可能是空盒）与盒子 \(B_{k+2}\)（可能是空盒）中的所有硬币。

问：是否可以进行若干次上述操作，使得盒子 \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\) 中没有硬币，而盒子 \(B_6\) 中恰好有 \(2010^{2010^{2010}}\) 枚硬币？（注：\(a^{b^c}=a^{(b^c)}\)。）

解答 →

问题 6

设 \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) 是一个正实数数列。假设存在某个固定的正整数 \(s\)，使得对所有的 \(n>s\)，有 \[ a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}. \] 证明：存在正整数 \(l\) 和 \(N\)，\(l\le s\)，使得对所有的 \(n\ge N\) 都有 \(a_n=a_l+a_{n-l}\)。

解答 →

Задача 1

Найдите все функции \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) такие, что \[ f([x]y)=f(x)[f(y)] \] для всех \(x,y\in\mathbb R\). (Через \([z]\) обозначается наибольшее целое число, не превосходящее \(z\).)

Решение →

Задача 2

Точка \(I\) — центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), а \(\Gamma\) — окружность, описанная около этого треугольника. Прямая \(AI\) пересекает окружность \(\Gamma\) в точках \(A\) и \(D\). Точка \(E\) выбрана на дуге \(BDC\), а точка \(F\) — на стороне \(BC\) так, что \[ \angle BAF=\angle CAE<\tfrac12\angle BAC. \] Точка \(G\) — середина отрезка \(IF\). Докажите, что прямые \(DG\) и \(EI\) пересекаются в точке, лежащей на окружности \(\Gamma\).

Решение →

Задача 3

Обозначим через \(\mathbb N\) множество всех целых положительных чисел. Найдите все функции \(g:\mathbb N\to\mathbb N\) такие, что число \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] является точным квадратом при любых \(m,n\in\mathbb N\).

Решение →

Задача 4

Пусть \(P\) — точка внутри треугольника \(ABC\). Прямые \(AP\), \(BP\) и \(CP\) вторично пересекают окружность \(\Gamma\), описанную около треугольника \(ABC\), в точках \(K\), \(L\) и \(M\) соответственно. Касательная к окружности \(\Gamma\), проведенная через точку \(C\), пересекает прямую \(AB\) в точке \(S\). Известно, что \(SC=SP\). Докажите, что \(MK=ML\).

Решение →

Задача 5

В каждой из шести коробок \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6\) изначально находится ровно по одной монете. Разрешается производить операции следующих двух типов:

Тип 1: Выбрать любую непустую коробку \(B_j\), где \(1\le j\le5\), убрать из нее одну монету, и добавить две монеты в коробку \(B_{j+1}\).

Тип 2: Выбрать любую непустую коробку \(B_k\), где \(1\le k\le4\), убрать из нее одну монету, и поменять местами содержимое (возможно пустое) коробки \(B_{k+1}\) с содержимым (возможно пустым) коробки \(B_{k+2}\).

Существует ли конечная последовательность таких операций, приводящая к ситуации, в которой коробки \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\) пусты, а в коробке \(B_6\) находится ровно \(2010^{2010^{2010}}\) монет? (По определению \(a^{b^c}=a^{(b^c)}\).)

Решение →

Задача 6

Дана последовательность \(a_1,a_2,a_3,\ldots\), состоящая из положительных действительных чисел. Известно, что для некоторого фиксированного целого положительного \(s\) при всех \(n>s\) выполняется равенство \[ a_n=\max\{a_k+a_{n-k}\mid 1\le k\le n-1\}. \] Докажите, что существуют целые положительные числа \(\ell\) и \(N\) такие, что \(\ell\le s\), и \(a_n=a_\ell+a_{n-\ell}\) при всех \(n\ge N\).

Решение →

المسألة 1

أوجد جميع الدوال \(f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R\) التي تحقق المساواة \[ f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor \] لكل \(x,y\in\mathbb R\). (حيث \(\lfloor z\rfloor\) هو صحيح العدد \(z\) و هو أكبر عدد صحيح أصغر أو يساوي العدد \(z\)).

← الحل

المسألة 2

ليكن \(I\) مركز الدائرة الداخلية التي تمس أضلاع المثلث \(ABC\) ولتكن \(\Gamma\) الدائرة المارة برؤوسه. المستقيم \(AI\) يقطع الدائرة \(\Gamma\) في النقطة \(D\). لتكن \(E\) نقطة على القوس \(BDC\) و \(F\) نقطة على الضلع \(BC\) بحيث : \[ \angle BAF=\angle CAE<\tfrac12\angle BAC \] أخيراً، لتكن \(G\) منتصف القطعة المستقيمة \(IF\). برهن أن المستقيمين \(DG\) و \(EI\) يتقاطعان في نقطة على الدائرة \(\Gamma\).

← الحل

المسألة 3

لتكن \(\mathbb N\) مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. أوجد جميع الدوال \(g:\mathbb N\longrightarrow\mathbb N\) التي تجعل العدد \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] مربعاً كاملاً لكل \(n,m\in\mathbb N\).

← الحل

المسألة 4

لتكن \(P\) نقطة داخل المثلث \(ABC\) و \(\Gamma\) الدائرة المارة من رؤوسه. المستقيمات \(AP,BP,CP\) تقطع الدائرة \(\Gamma\) في النقط \(K,L,M\) على الترتيب. المماس للدائرة \(\Gamma\) في النقطة \(C\) يقطع المستقيم \(AB\) في \(S\). إذا كان \(SC=SP\)، فبرهن أن \(MK=ML\).

← الحل

المسألة 5

لدينا ستة صناديق \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6\). في البداية يوجد في كل صندوق قطعة نقدية واحدة. هناك صنفين من العمليات المسموح بها :

الصنف الأول : نختار صندوق غير فارغ \(B_j\) حيث \(1\le j\le5\). نسحب قطعة نقدية واحدة من الصندوق \(B_j\) ونضيف قطعتين نقديتين إلى الصندوق \(B_{j+1}\).

الصنف الثاني : نختار صندوق غير فارغ \(B_k\) حيث \(1\le k\le4\). نسحب قطعة نقدية واحدة من \(B_k\) ونبادل بين محتوى الصندوقين (ممكن أن يكونا فارغين) \(B_{k+1}\) و \(B_{k+2}\). هل من الممكن بعد سلسلة منتهية من هذه العمليات أن نحصل على النتيجة التالية : الصناديق \(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5\) فارغة والصندوق \(B_6\) يحتوي بالضبط على \(2010^{2010^{2010}}\) من قطع النقود (لاحظ أن \(a^{b^c}=a^{(b^c)}\)) ؟

← الحل

المسألة 6

لتكن \(a_1,a_2,a_3,\ldots\) متتالية من الأعداد الحقيقية الموجبة. ليكن \(s\) عدداً صحيحاً موجباً، و لنجعل \[ a_n=\max\{a_k+a_{n-k}:1\le k\le n-1\} \] لكل \(n>s\). برهن على وجود عددين صحيحين موجبين \(N\) و \(\ell\)، بحيث \(\ell\le s\) و \(a_n=a_\ell+a_{n-\ell}\) لكل \(n\ge N\).

← الحل