Problem 1

Let \(n\) be a positive integer and let \(a_1,\ldots,a_k\) (\(k\ge 2\)) be distinct integers in the set \(\{1,\ldots,n\}\) such that \(n\) divides \(a_i(a_{i+1}-1)\) for \(i=1,\ldots,k-1\). Prove that \(n\) does not divide \(a_k(a_1-1)\).

Solution →

Problem 2

Let \(ABC\) be a triangle with circumcentre \(O\). The points \(P\) and \(Q\) are interior points of the sides \(CA\) and \(AB\), respectively. Let \(K\), \(L\) and \(M\) be the midpoints of the segments \(BP\), \(CQ\) and \(PQ\), respectively, and let \(\Gamma\) be the circle passing through \(K\), \(L\) and \(M\). Suppose that the line \(PQ\) is tangent to the circle \(\Gamma\). Prove that \(OP = OQ\).

Solution →

Problem 3

Suppose that \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) is a strictly increasing sequence of positive integers such that the subsequences \[ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots \qquad\text{and}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\ldots \] are both arithmetic progressions. Prove that the sequence \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) is itself an arithmetic progression.

Solution →

Problem 4

Let \(ABC\) be a triangle with \(AB = AC\). The angle bisectors of \(\angle CAB\) and \(\angle ABC\) meet the sides \(BC\) and \(CA\) at \(D\) and \(E\), respectively. Let \(K\) be the incentre of triangle \(ADC\). Suppose that \(\angle BEK = 45^\circ\). Find all possible values of \(\angle CAB\).

Solution →

Problem 5

Determine all functions \(f\) from the set of positive integers to the set of positive integers such that, for all positive integers \(a\) and \(b\), there exists a non-degenerate triangle with sides of lengths \[ a,\quad f(b)\quad\text{and}\quad f(b+f(a)-1). \]

(A triangle is non-degenerate if its vertices are not collinear.)

Solution →

Problem 6

Let \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) be distinct positive integers and let \(M\) be a set of \(n-1\) positive integers not containing \(s=a_1+a_2+\cdots+a_n\). A grasshopper is to jump along the real axis, starting at the point \(0\) and making \(n\) jumps to the right with lengths \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) in some order. Prove that the order can be chosen in such a way that the grasshopper never lands on any point in \(M\).

Solution →

Aufgabe 1

Es seien \(n\) und \(k\) positive ganze Zahlen mit \(k\ge 2\). Ferner seien \(a_1,\ldots,a_k\) paarweise verschiedene ganze Zahlen aus der Menge \(\{1,\ldots,n\}\) derart, dass \(n\) die Zahl \(a_i(a_{i+1}-1)\) für jedes \(i=1,\ldots,k-1\) teilt. Man zeige, dass dann \(n\) die Zahl \(a_k(a_1-1)\) nicht teilt.

Lösung →

Aufgabe 2

Es sei \(ABC\) ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt \(O\). Es seien \(P\) und \(Q\) innere Punkte der Seiten \(CA\) und \(AB\). Ferner seien \(K\), \(L\) und \(M\) die Mittelpunkte der Strecken \(BP\), \(CQ\) bzw. \(PQ\). Der Kreis \(\Gamma\) gehe durch \(K\), \(L\) und \(M\). Die Gerade \(PQ\) sei Tangente an den Kreis \(\Gamma\). Man zeige, dass \(|OP|=|OQ|\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 3

Es sei \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) eine streng monoton wachsende Folge positiver ganzer Zahlen derart, dass die beiden Teilfolgen \[ s_{s_1},\ s_{s_2},\ s_{s_3},\ \ldots \quad\text{und}\quad s_{s_1+1},\ s_{s_2+1},\ s_{s_3+1},\ \ldots \] jeweils arithmetische Folgen sind. Man zeige, dass \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) ebenfalls eine arithmetische Folge ist.

Lösung →

Aufgabe 4

Es sei \(ABC\) ein Dreieck mit \(|AB|=|AC|\). Die Innenwinkelhalbierenden der Winkel \(BAC\) und \(CBA\) schneiden die Seiten \(BC\) und \(AC\) in den Punkten \(D\) bzw. \(E\). Es sei \(K\) der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(ADC\). Ferner sei \(\angle BEK=45^\circ\). Man bestimme alle möglichen Werte von \(\angle BAC\).

Lösung →

Aufgabe 5

Man bestimme alle Funktionen \(f\), die auf der Menge der positiven ganzen Zahlen definiert sind und nur positive ganze Zahlen als Werte annehmen, so dass es für alle positiven ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) ein nicht entartetes Dreieck mit Seitenlängen \[ a,\ f(b)\text{ und }f(b+f(a)-1) \] gibt. (Ein Dreieck heißt nicht entartet, wenn seine Eckpunkte nicht kollinear sind.)

Lösung →

Aufgabe 6

Es seien \(n\) eine positive ganze Zahl, \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) paarweise verschiedene positive ganze Zahlen und \(M\) eine Menge von \(n-1\) positiven ganzen Zahlen, die nicht die Summe \(s=a_1+a_2+\ldots+a_n\) als Element enthält. Ein Grashüpfer springt längs der reellen Zahlengerade. Er startet im Nullpunkt und vollführt \(n\) Sprünge nach rechts mit Längen \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) in beliebiger Reihenfolge. Man zeige, dass der Grashüpfer seine Sprünge so anordnen kann, dass er nie auf einem Punkt aus \(M\) landet.

Lösung →

Soru 1

\(n\) pozitif bir tam sayı; \(a_1,\ldots,a_k\) (\(k\ge 2\)) de, \(\{1,\ldots,n\}\) kümesine ait olan ve, her \(i=1,\ldots,k-1\) için, \(n\) sayısının \(a_i(a_{i+1}-1)\) sayısını bölmesini sağlayan birbirinden farklı tam sayılar olsun. \(n\) sayısının \(a_k(a_1-1)\) sayısını bölmediğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

\(O\), \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberinin merkezi; \(P\) ve \(Q\) da, sırasıyla, \([CA]\) ve \([AB]\) kenarları üstünde, köşelerden farklı iki nokta olsun. \(K\), \(L\) ve \(M\) sırasıyla, \([BP]\), \([CQ]\) ve \([PQ]\) doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; \(K\), \(L\) ve \(M\) den geçen çembere \(\Gamma\) diyelim. \(PQ\) doğrusu \(\Gamma\) çemberine teğet ise, \(|OP|=|OQ|\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Pozitif tam sayılardan oluşan ve kesin artan bir \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) dizisinin \[ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots \qquad\text{ve}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\ldots \] altdizilerinin her ikisi de birer aritmetik dizi ise, \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) dizisinin kendisinin de bir aritmetik dizi olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(|AB|=|AC|\) olan bir \(ABC\) üçgeninde, \(\widehat{CAB}\) ve \(\widehat{ABC}\) açılarının açıortayları \([BC]\) ve \([CA]\) kenarlarını sırasıyla, \(D\) ve \(E\) noktalarında kesiyor. \(K\), \(ADC\) üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere; \(m(\widehat{BEK})=45^\circ\) ise, \(m(\widehat{CAB})\) nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Çözüm →

Soru 5

Pozitif tam sayılar kümesinden pozitif tam sayılar kümesine tanımlı olan ve tüm \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayıları için, yoz olmayan ve kenar uzunlukları \[ a,\ f(b)\ \text{ve}\ f(b+f(a)-1) \] olan bir üçgenin bulunmasını sağlayan bütün \(f\) fonksiyonlarını belirleyiniz.

(Yoz üçgen, köşeleri doğrudaş olan üçgendir.)

Çözüm →

Soru 6

\(a_1,a_2,\ldots,a_n\) birbirinden farklı pozitif tam sayılar; \(M\) de, \(n-1\) tane pozitif tam sayıdan oluşan ve \(s=a_1+a_2+\cdots+a_n\) sayısını içermeyen bir küme olsun. Bir çekirge, gerçel sayı doğrusu üstünde \(0\) noktasından başlayarak sağa doğru, uzunlukları kendi seçtiği bir sırada \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) olan \(n\) sıçrayış yapacaktır. Çekirgenin sıçrayışlarının uzunluklarının sırasını, hiçbir sıçrayışta \(M\) ye ait bir noktaya düşmeyecek biçimde seçebileceğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(n\) un entero positivo y sean \(a_1,\ldots,a_k\) (\(k\ge 2\)) enteros distintos del conjunto \(\{1,\ldots,n\}\), tales que \(n\) divide a \(a_i(a_{i+1}-1)\), para \(i=1,\ldots,k-1\). Demostrar que \(n\) no divide a \(a_k(a_1-1)\).

Solución →

Problema 2

Sea \(ABC\) un triángulo con circuncentro \(O\). Sean \(P\) y \(Q\) puntos interiores de los lados \(CA\) y \(AB\), respectivamente. Sean \(K,L\) y \(M\) los puntos medios de los segmentos \(BP\), \(CQ\) y \(PQ\), respectivamente, y \(\Gamma\) la circunferencia que pasa por \(K,L\) y \(M\). Se sabe que la recta \(PQ\) es tangente a la circunferencia \(\Gamma\). Demostrar que \(OP=OQ\).

Solución →

Problema 3

Sea \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones \[ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots \qquad\text{y}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\ldots \] son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) es también una progresión aritmética.

Solución →

Problema 4

Sea \(ABC\) un triángulo con \(AB=AC\). Las bisectrices de los ángulos \(\angle CAB\) y \(\angle ABC\) cortan a los lados \(BC\) y \(CA\) en \(D\) y \(E\), respectivamente. Sea \(K\) el incentro del triángulo \(ADC\). Supongamos que el ángulo \(\angle BEK=45^\circ\). Determinar todos los posibles valores de \(\angle CAB\).

Solución →

Problema 5

Determinar todas las funciones \(f\) del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos \(a\) y \(b\), existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden \[ a,\ f(b)\ \text{y}\ f(b+f(a)-1). \]

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Solución →

Problema 6

Sean \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) enteros positivos distintos y \(M\) un conjunto de \(n-1\) enteros positivos que no contiene al número \(s=a_1+a_2+\cdots+a_n\). Un saltamontes se dispone a saltar a lo largo de la recta real. Empieza en el punto \(0\) y da \(n\) saltos hacia la derecha de longitudes \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de manera que nunca caiga en un punto de \(M\).

Solución →

问题 1

设 \(n\) 是一个正整数，\(a_1,a_2,\cdots,a_k\,(k\ge 2)\) 是集合 \(\{1,\cdots,n\}\) 中的互不相同的整数，使得对于 \(i=1,\cdots,k-1\)，都有 \(n\) 整除 \(a_i(a_{i+1}-1)\)．证明：\(n\) 不整除 \(a_k(a_1-1)\)．

解答 →

问题 2

设 \(O\) 是三角形 \(ABC\) 的外心．点 \(P\) 和 \(Q\) 分别是边 \(CA\) 和 \(AB\) 的内点．设 \(K\)，\(L\) 和 \(M\) 分别是线段 \(BP\)，\(CQ\) 和 \(PQ\) 的中点，\(\Gamma\) 是过点 \(K\)，\(L\) 和 \(M\) 的圆．若直线 \(PQ\) 与圆 \(\Gamma\) 相切，证明：\(OP=OQ\)．

解答 →

问题 3

设 \(s_1,s_2,s_3\cdots\) 是一个严格递增的正整数数列，使得它的两个子数列 \[ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\cdots\quad\text{和}\quad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\cdots \] 都是等差数列．证明：数列 \(s_1,s_2,s_3\cdots\) 本身也是一个等差数列．

解答 →

问题 4

在三角形 \(ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(\angle CAB\) 和 \(\angle ABC\) 的内角平分线分别与边 \(BC\) 和 \(CA\) 相交于点 \(D\) 和 \(E\)．设 \(K\) 是三角形 \(ADC\) 的内心．若 \(\angle BEK=45^\circ\)，求 \(\angle CAB\) 所有可能的值．

解答 →

问题 5

求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数 \(f\)：对所有正整数 \(a\) 和 \(b\)，都存在一个以 \[ a,\ f(b)\quad\text{和}\quad f(b+f(a)-1) \] 为三边长的非退化三角形．

（称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线．）

解答 →

问题 6

设 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 是互不相同的正整数．\(M\) 是有 \(n-1\) 个元素的正整数集，且不含数 \(s=a_1+a_2+\cdots+a_n\)．一只蚱蜢沿着实数轴从原点 \(0\) 开始向右跳跃 \(n\) 步，它的跳跃距离是 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的某个排列．证明：可以选择一种排列，使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集 \(M\) 中．

解答 →

Задача 1

Даны целое положительное число \(n\) и попарно различные целые числа \(a_1,\ldots,a_k\) (\(k\ge 2\)) из множества \(\{1,\ldots,n\}\) такие, что для каждого \(i=1,\ldots,k-1\) число \(a_i(a_{i+1}-1)\) делится на \(n\). Докажите, что число \(a_k(a_1-1)\) не делится на \(n\).

Решение →

Задача 2

Точка \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Пусть \(P\) и \(Q\) — внутренние точки отрезков \(CA\) и \(AB\) соответственно. Точки \(K\), \(L\) и \(M\) — середины отрезков \(BP\), \(CQ\) и \(PQ\) соответственно, а \(\Gamma\) — окружность, проходящая через точки \(K\), \(L\) и \(M\). Известно, что прямая \(PQ\) касается окружности \(\Gamma\). Докажите, что \(OP=OQ\).

Решение →

Задача 3

Дана строго возрастающая последовательность целых положительных чисел \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) такая, что каждая из двух подпоследовательностей \[ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots \qquad\text{и}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\ldots \] является арифметической прогрессией. Докажите, что последовательность \(s_1,s_2,s_3,\ldots\) также является арифметической прогрессией.

Решение →

Задача 4

Треугольник \(ABC\) таков, что \(AB=AC\). Биссектрисы углов \(CAB\) и \(ABC\) пересекают стороны \(BC\) и \(CA\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Обозначим через \(K\) центр окружности, вписанной в треугольник \(ADC\). Оказалось, что \(\angle BEK=45^\circ\). Найдите все возможные значения угла \(CAB\).

Решение →

Задача 5

Найдите все функции \(f:\mathbb N\to\mathbb N\) (то есть функции, определенные на множестве всех целых положительных чисел и принимающие целые положительные значения) такие, что для любых целых положительных \(a\) и \(b\) существует невырожденный треугольник, длины сторон которого равны трем числам \[ a,\ f(b)\ \text{и}\ f(b+f(a)-1). \]

(Треугольник называется невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой.)

Решение →

Задача 6

Даны попарно различные целые положительные числа \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), а также множество \(M\), состоящее из \(n-1\) целого положительного числа, но не содержащее число \(s=a_1+a_2+\ldots+a_n\). Кузнечик должен сделать \(n\) прыжков вправо по числовой прямой, стартуя из точки с координатой \(0\). При этом длины его прыжков должны равняться числам \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), взятым в некотором порядке. Докажите, что этот порядок можно выбрать таким образом, чтобы кузнечик ни разу не приземлился в точке, имеющей координату из множества \(M\).

Решение →

المسألة 1

ليكن \(n\) عدداً صحيحاً موجباً و لتكن \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) \((k\ge 2)\) أعداداً صحيحة مختلفة من المجموعة \(\{1,\ldots,n\}\) حيث أن \(n\) يقسم \(a_i(a_{i+1}-1)\) لكل \(i\) من \(\{1,\ldots,k-1\}\). برهن أن \(n\) لا يقسم \(a_k(a_1-1)\).

← الحل

المسألة 2

ليكن \(ABC\) مثلثاً و ليكن \(O\) مركز الدائرة المارة برؤوس هذا المثلث. النقطتان \(P\) و \(Q\) (غير طرفيتين) على الضلعين \(AC\) و \(AB\) على الترتيب. و لتكن \(K\)، \(L\) و \(M\) منتصفات القطع المستقيمة \(BP\)، \(CQ\) و \(PQ\) على الترتيب، ولتكن \(\Gamma\) هي الدائرة المارة بالنقاط \(K\)، \(L\) و \(M\). بفرض أن المستقيم \(PQ\) مماساً للدائرة \(\Gamma\)، فبرهن أن \(OP=OQ\).

← الحل

المسألة 3

لتكن \(S_1,S_2,S_3,\ldots\) متتالية متزايدة تماماً من الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث تكون المتتاليتان الجزئيتان: \[ S_{s_1},S_{s_2},S_{s_3},\ldots \quad\text{و}\quad S_{s_1+1},S_{s_2+1},S_{s_3+1},\ldots \] متتاليتين حسابيتين.

برهن أن المتتالية \(S_1,S_2,S_3,\ldots\) متتالية حسابية كذلك.

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABC\) مثلثاً فيه \(AB=AC\). المنصف الداخلي للزاوية \(\widehat{CAB}\) يقطع الضلع \(BC\) في النقطة \(D\) والمنصف الداخلي للزاوية \(\widehat{ABC}\) يقطع الضلع \(AC\) في النقطة \(E\). ليكن \(K\) مركز الدائرة الماسة لأضلاع المثلث \(ADC\) من الداخل. بفرض أن \(\widehat{BEK}=45^\circ\)، أوجد جميع القيم الممكنة لقياس الزاوية \(\widehat{CAB}\).

← الحل

المسألة 5

أوجد جميع الدوال \(f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*\) والتي تحقق الخاصية:

لكل \(a\) و \(b\) من \(\mathbb{N}^*\) يوجد مثلث تكون أطوال أضلاعه هي \[ a\quad\text{و}\quad f(b)\quad\text{و}\quad f(b+f(a)-1) \]

(\(\mathbb{N}^*\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة)

← الحل

المسألة 6

لتكن \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) أعداداً صحيحة موجبة مختلفة و لتكن \(M\) مجموعة تحتوي على \(n-1\) من الأعداد الصحيحة الموجبة والتي لا تحتوي العدد \(s=a_1+a_2+\cdots+a_n\).

تقفز حشرة على طول خط الأعداد الحقيقية بدءاً من نقطة الصفر يميناً بالاتجاه الموجب و تنفذ \(n\) قفزة بأطوال \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) و بترتيب ما.

برهن أنه يمكن اختيار ذلك الترتيب بحيث أن الحشرة لا تقع أبداً على أي من نقاط المجموعة \(M\).

← الحل