Problem 1

An acute-angled triangle \(ABC\) has orthocentre \(H\). The circle passing through \(H\) with centre the midpoint of \(BC\) intersects the line \(BC\) at \(A_1\) and \(A_2\). Similarly, the circle passing through \(H\) with centre the midpoint of \(CA\) intersects the line \(CA\) at \(B_1\) and \(B_2\), and the circle passing through \(H\) with centre the midpoint of \(AB\) intersects the line \(AB\) at \(C_1\) and \(C_2\). Show that \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\), \(B_2\), \(C_1\), \(C_2\) lie on a circle.

Solution →

Problem 2

(a) Prove that \[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1 \] for all real numbers \(x,y,z\), each different from \(1\), and satisfying \(xyz=1\).

(b) Prove that equality holds above for infinitely many triples of rational numbers \(x,y,z\), each different from \(1\), and satisfying \(xyz=1\).

Solution →

Problem 3

Prove that there exist infinitely many positive integers \(n\) such that \(n^2+1\) has a prime divisor which is greater than \(2n+\sqrt{2n}\).

Solution →

Problem 4

Find all functions \(f:(0,\infty)\to(0,\infty)\) (so, \(f\) is a function from the positive real numbers to the positive real numbers) such that \[ \frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)} = \frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] for all positive real numbers \(w,x,y,z,\) satisfying \(wx=yz\).

Solution →

Problem 5

Let \(n\) and \(k\) be positive integers with \(k \geq n\) and \(k-n\) an even number. Let \(2n\) lamps labelled \(1,2,\ldots,2n\) be given, each of which can be either on or off. Initially all the lamps are off. We consider sequences of steps: at each step one of the lamps is switched (from on to off or from off to on).

Let \(N\) be the number of such sequences consisting of \(k\) steps and resulting in the state where lamps \(1\) through \(n\) are all on, and lamps \(n+1\) through \(2n\) are all off.

Let \(M\) be the number of such sequences consisting of \(k\) steps, resulting in the state where lamps \(1\) through \(n\) are all on, and lamps \(n+1\) through \(2n\) are all off, but where none of the lamps \(n+1\) through \(2n\) is ever switched on.

Determine the ratio \(N/M\).

Solution →

Problem 6

Let \(ABCD\) be a convex quadrilateral with \(|BA| \neq |BC|\). Denote the incircles of triangles \(ABC\) and \(ADC\) by \(\omega_1\) and \(\omega_2\) respectively. Suppose that there exists a circle \(\omega\) tangent to the ray \(BA\) beyond \(A\) and to the ray \(BC\) beyond \(C\), which is also tangent to the lines \(AD\) and \(CD\). Prove that the common external tangents of \(\omega_1\) and \(\omega_2\) intersect on \(\omega\).

Solution →

Aufgabe 1

Gegeben sei ein spitzwinkliges Dreieck \(ABC\) mit Höhenschnittpunkt \(H\). Der Kreis durch \(H\), dessen Zentrum der Mittelpunkt von \(BC\) ist, schneide \(BC\) in \(A_1\) und \(A_2\). Dementsprechend schneide der Kreis durch \(H\), dessen Zentrum der Mittelpunkt von \(CA\) ist, \(CA\) in \(B_1\) und \(B_2\) und der Kreis durch \(H\), dessen Zentrum der Mittelpunkt von \(AB\) ist, \(AB\) in \(C_1\) und \(C_2\). Man zeige, dass die Punkte \(A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2\) auf einem Kreis liegen.

Lösung →

Aufgabe 2

(a) Man zeige \[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1 \tag{*} \] für alle reellen Zahlen \(x,y,z\), die ungleich \(1\) sind und für die \(xyz=1\) gilt.

(b) Man zeige, dass für unendlich viele Tripel rationaler Zahlen \(x,y,z\), die ungleich \(1\) sind und für die \(xyz=1\) gilt, in \((*)\) der Gleichheitsfall eintritt.

Lösung →

Aufgabe 3

Man beweise, dass es unendlich viele positive ganze Zahlen \(n\) gibt, für die \(n^2+1\) einen Primfaktor größer als \(2n+\sqrt{2n}\) besitzt.

Lösung →

Aufgabe 4

Man bestimme alle Funktionen \(f:\,]0,\infty[\,\to\,]0,\infty[\) (d.h. \(f\) ist auf der Menge der positiven reellen Zahlen definiert und nimmt nur positive reelle Zahlen als Werte an), die \[ \frac{\bigl(f(w)\bigr)^2+\bigl(f(x)\bigr)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] für alle positiven reellen Zahlen \(w,\,x,\,y,\,z\) mit \(wx=yz\) erfüllen.

Lösung →

Aufgabe 5

Seien \(n\) und \(k\) positive ganze Zahlen mit \(k\geq n\) und \(k-n\) gerade. Gegeben seien \(2n\) Lampen, die von \(1\) bis \(2n\) nummeriert sind. Jede Lampe ist entweder an oder aus, wobei anfangs alle Lampen aus sind. Man betrachte Folgen von Schritten: in jedem Schritt werde genau eine der Lampen umgeschaltet (von aus nach an oder von an nach aus).

Sei \(N\) die Anzahl solcher Folgen, die aus \(k\) Schritten bestehen und in dem Zustand enden, in dem die Lampen \(1\) bis \(n\) alle an und die Lampen \(n+1\) bis \(2n\) alle aus sind.

Sei \(M\) die Anzahl solcher Folgen, die aus \(k\) Schritten bestehen und in dem Zustand enden, in dem die Lampen \(1\) bis \(n\) alle an und die Lampen \(n+1\) bis \(2n\) alle aus sind, bei denen aber keine der Lampen \(n+1\) bis \(2n\) jemals umgeschaltet worden ist.

Man bestimme das Verhältnis \(N/M\).

Lösung →

Aufgabe 6

Sei \(ABCD\) ein konvexes Viereck mit \(|BA|\neq|BC|\). Es seien \(\omega_1\) bzw. \(\omega_2\) die Inkreise der Dreiecke \(ABC\) bzw. \(ADC\). Angenommen es existiert ein Kreis \(\omega\), der den Strahl \(BA\) in einem Punkt jenseits von \(A\) und den Strahl \(BC\) in einem Punkt jenseits von \(C\) berührt und auch die Geraden \(AD\) und \(CD\) als Tangenten hat. Man beweise, dass sich die äußeren gemeinsamen Tangenten von \(\omega_1\) und \(\omega_2\) auf \(\omega\) schneiden.

Lösung →

Soru 1

Daraçılı \(ABC\) üçgeninin ortasantrı (yüksekliklerinin kesişim noktası) \(H\) olsun. Merkezi \(BC\) nin orta noktası olup \(H\) den geçen çember \(BC\) doğrusunu \(A_1\) ve \(A_2\) noktalarında kesiyor. Benzer şekilde, merkezi \(CA\) nın orta noktası olup \(H\) den geçen çember \(CA\) doğrusunu \(B_1\) ve \(B_2\) noktalarında ve merkezi \(AB\) nin orta noktası olup \(H\) den geçen çember \(AB\) doğrusunu \(C_1\) ve \(C_2\) noktalarında kesiyor. \(A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2\) noktalarının aynı çember üzerinde bulunduklarını gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

(a) Herbiri \(1\) den farklı olan ve \(xyz=1\) koşulunu sağlayan tüm \(x, y, z\) gerçel sayıları için \[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1 \] olduğunu kanıtlayınız.

(b) Herbiri \(1\) den farklı olan ve \(xyz=1\) koşulunu sağlayan sonsuz tane \(x, y, z\) rasyonel sayı üçlüsü için yukarıdaki eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğünü gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

Sonsuz tane \(n\) doğal sayısı için \(n^2+1\) sayısının \(2n+\sqrt{2n}\) den büyük asal böleninin olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(wx=yz\) olmak üzere, tüm \(w, x, y, z\) pozitif gerçel sayıları için \[ \frac{\bigl(f(w)\bigr)^2+\bigl(f(x)\bigr)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] koşulunu sağlayan tüm \(f:(0,\infty)\to(0,\infty)\) (diğer deyişle \(f\), pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı ve pozitif değerler alan bir fonksiyondur) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 5

\(n\) ve \(k\) pozitif tam sayı olmak üzere, \(k\geq n\) ve \(k-n\) çift sayıdır. \(1, 2, \ldots, 2n\) sayılarıyla numaralandırılmış \(2n\) tane lambanın herbiri açık veya kapalı durumda olabiliyor. Başlangıçta lambaların hepsi kapalı durumdadır. Her hamlesinde bir lamba seçilerek, seçilen lambanın durumunu değiştiren (açıktan kapalıya veya kapalıdan açığa) hamleler dizileri tanımlayalım.

Sonucunda \(1\) den \(n\) ye kadar olan lambaları açık ve \(n+1\) den \(2n\) ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve \(k\) hamle içeren tüm hamleler dizilerinin sayısı \(N\) olsun.

Sonucunda yine \(1\) den \(n\) ye kadar olan lambaları açık ve \(n+1\) den \(2n\) ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve \(k\) hamle içeren, fakat \(n+1\) den \(2n\) ye kadar olan lambalara hiç hamle yapmayan tüm hamleler dizilerinin sayısı \(M\) olsun.

\(N/M\) oranının değerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 6

\(|BA|\neq|BC|\) olmak üzere, \(ABCD\) bir konveks dörtgen olsun. \(ABC\) ve \(ADC\) üçgenlerinin içteğet çemberleri sırasıyla \(\omega_1\) ve \(\omega_2\) olsun. \(BA\) ışınına \(A\) dan sonraki bir noktada ve \(BC\) ışınına \(C\) den sonraki bir noktada teğet olan ve aynı zamanda \(AD\) ve \(CD\) doğrularına da teğet olan bir \(\omega\) çemberinin olduğunu varsayalım. \(\omega_1\) ve \(\omega_2\) çemberlerinin ortak dış teğetlerinin \(\omega\) çemberi üzerinde kesiştiğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Un triángulo acutángulo \(ABC\) tiene ortocentro \(H\). La circunferencia con centro en el punto medio de \(BC\) que pasa por \(H\) corta a la recta \(BC\) en \(A_1\) y \(A_2\). La circunferencia con centro en el punto medio de \(CA\) que pasa por \(H\) corta a la recta \(CA\) en \(B_1\) y \(B_2\). La circunferencia con centro en el punto medio de \(AB\) que pasa por \(H\) corta a la recta \(AB\) en \(C_1\) y \(C_2\). Demostrar que \(A_1,\ A_2,\ B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2\) están sobre una misma circunferencia.

Solución →

Problema 2

(a) Demostrar que \[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1 \tag{*} \] para todos los números reales \(x,\ y,\ z\), distintos de \(1\), con \(xyz=1\).

(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales \(x,\ y,\ z\), distintos de \(1\), con \(xyz=1\) para los cuales la expresión (*) es una igualdad.

Solución →

Problema 3

Demostrar que existen infinitos números enteros positivos \(n\) tales que \(n^2+1\) tiene un divisor primo mayor que \(2n+\sqrt{2n}\).

Solución →

Problema 4

Hallar todas las funciones \(f:(0,\infty)\to(0,\infty)\) (es decir, las funciones \(f\) de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que \[ \frac{\bigl(f(w)\bigr)^2+\bigl(f(x)\bigr)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] para todos los números reales positivos \(w,\ x,\ y,\ z\), que satisfacen \(wx=yz\).

Solución →

Problema 5

Sean \(n\) y \(k\) enteros positivos tales que \(k\geq n\) y \(k-n\) es par. Se tienen \(2n\) lámparas numeradas \(1,\ 2,\ \ldots,\ 2n\), cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga).

Sea \(N\) el número de sucesiones de \(k\) pasos al cabo de los cuales las lámparas \(1,2,\ldots,n\) quedan todas encendidas, y las lámparas \(n+1,\ldots,2n\) quedan todas apagadas.

Sea \(M\) el número de sucesiones de \(k\) pasos al cabo de los cuales las lámparas \(1,2,\ldots,n\) quedan todas encendidas, y las lámparas \(n+1,\ldots,2n\) quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas.

Calcular la razón \(N/M\).

Solución →

Problema 6

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero convexo tal que las longitudes de los lados \(BA\) y \(BC\) son diferentes. Sean \(\omega_1\) y \(\omega_2\) las circunferencias inscritas dentro de los triángulos \(ABC\) y \(ADC\) respectivamente. Se supone que existe una circunferencia \(\omega\) tangente a la prolongación del segmento \(BA\) a continuación de \(A\) y tangente a la prolongación del segmento \(BC\) a continuación de \(C\), la cual también es tangente a las rectas \(AD\) y \(CD\). Demostrar que el punto de intersección de las tangentes comunes exteriores de \(\omega_1\) y \(\omega_2\) está sobre \(\omega\).

Solución →

问题 1

已知 \(H\) 是锐角三角形 \(ABC\) 的垂心，以边 \(BC\) 的中点为圆心，过点 \(H\) 的圆与直线 \(BC\) 相交于两点 \(A_1,A_2\)；以边 \(CA\) 的中点为圆心，过点 \(H\) 的圆与直线 \(CA\) 相交于两点 \(B_1,B_2\)；以边 \(AB\) 的中点为圆心，过点 \(H\) 的圆与直线 \(AB\) 相交于两点 \(C_1,C_2\)．证明：六点 \(A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2\) 共圆．

解答 →

问题 2

（a）设实数 \(x,\ y,\ z\) 都不等于 \(1\)，满足 \(xyz=1\)，求证： \[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1. \]

（b）证明：存在无穷多组三元有理数组 \((x,\ y,\ z)\)，\(x,\ y,\ z\) 都不等于 \(1\)，且 \(xyz=1\)，使得上述不等式等号成立．

解答 →

问题 3

证明：存在无穷多个正整数 \(n\)，使得 \(n^2+1\) 有一个大于 \(2n+\sqrt{2n}\) 的质因子．

解答 →

问题 4

求所有的函数 \(f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)\)，满足对所有的正实数 \(w,\ x,\ y,\ z\)，\(wx=yz\)．都有 \[ \frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}. \]

解答 →

问题 5

设 \(n\) 和 \(k\) 是正整数，\(k\geq n\)，且 \(k-n\) 是一个偶数．\(2n\) 盏灯依次编号为 \(1,\ 2,\ \cdots,\ 2n\)，每一盏灯可以“开”和“关”．开始时，所有的灯都是“关”的．对这些灯可进行操作，每一次操作只改变其中的一盏灯的开关状态（即“开”变成“关”，“关”变成“开”），我们考虑长度为 \(k\) 的操作序列，序列中的第 \(i\) 项就是第 \(i\) 次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号．

设 \(N\) 是 \(k\) 次操作后使得灯 \(1,\ \cdots,\ n\) 是“开”的，灯 \(n+1,\ \cdots,\ 2n\) 是“关”的状态的所有不同的操作序列的个数．

设 \(M\) 是 \(k\) 次操作后使得灯 \(1,\ \cdots,\ n\) 是“开”的，灯 \(n+1,\ \cdots,\ 2n\) 是“关”的，但是灯 \(n+1,\ \cdots,\ 2n\) 始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数．

求比值 \(\dfrac{N}{M}\)．

解答 →

问题 6

在凸四边形 \(ABCD\) 中，\(BA\ne BC\)．\(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 分别是 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADC\) 的内切圆．假设存在一个圆 \(\omega\) 与射线 \(BA\) 相切（切点不在线段 \(BA\) 上），与射线 \(BC\) 相切（切点不在线段 \(BC\) 上），且与直线 \(AD\) 和直线 \(CD\) 都相切．证明：圆 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 的两条外公切线的交点在圆 \(\omega\) 上．

解答 →

Задача 1

Пусть \(H\) — точка пересечения высот остроугольного треугольника \(ABC\). Окружность с центром в середине стороны \(BC\), проходящая через точку \(H\), пересекает прямую \(BC\) в точках \(A_1\) и \(A_2\). Аналогично, окружность с центром в середине стороны \(CA\), проходящая через точку \(H\), пересекает прямую \(CA\) в точках \(B_1\) и \(B_2\), и окружность с центром в середине стороны \(AB\), проходящая через точку \(H\), пересекает прямую \(AB\) в точках \(C_1\) и \(C_2\). Докажите, что точки \(A_1,\ A_2,\ B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2\) лежат на одной окружности.

Решение →

Задача 2

(a) Докажите, что неравенство \[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1 \] выполняется для любых отличных от \(1\) действительных чисел \(x,\ y,\ z\) таких, что \(xyz=1\).

(b) Докажите, что указанное неравенство обращается в равенство для бесконечного числа троек отличных от \(1\) рациональных чисел \(x,\ y,\ z\) таких, что \(xyz=1\).

Решение →

Задача 3

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел \(n\) таких, что число \(n^2+1\) имеет простой делитель, который больше, чем \(2n+\sqrt{2n}\).

Решение →

Задача 4

Найдите все функции \(f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)\) (то есть, функции, определенные на множестве всех положительных действительных чисел и принимающие положительные значения) такие, что \[ \frac{\bigl(f(w)\bigr)^2+\bigl(f(x)\bigr)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] для любых положительных \(w,\ x,\ y,\ z\), удовлетворяющих равенству \(wx=yz\).

Решение →

Задача 5

Пусть \(n\) и \(k\) — натуральные числа такие, что \(k\geq n\), а число \(k-n\) четное. Имеются \(2n\) лампочек, занумерованных числами \(1,\ 2,\ \ldots,\ 2n\), каждая из которых может находиться в одном из двух состояний: вкл. (включена) или выкл. (выключена). Вначале все лампочки были выключены. Рассматриваются упорядоченные последовательности шагов: на каждом шаге ровно одна из лампочек меняет свое состояние на противоположное (с вкл. на выкл., либо с выкл. на вкл.).

Обозначим через \(N\) количество последовательностей из \(k\) шагов, приводящих к ситуации, в которой все лампочки с \(1\)-й по \(n\)-ю включены, а все лампочки с \((n+1)\)-й по \((2n)\)-ю выключены.

Обозначим через \(M\) количество последовательностей из \(k\) шагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампочки с \(1\)-й по \(n\)-ю включены, все лампочки с \((n+1)\)-й по \((2n)\)-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с \((n+1)\)-й по \((2n)\)-ю ни разу не меняла своего состояния.

Найдите значение отношения \(N/M\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырехугольник, в котором \(|BA|\ne|BC|\). Обозначим окружности, вписанные в треугольники \(ABC\) и \(ADC\), через \(\omega_1\) и \(\omega_2\) соответственно. Предположим, что существует окружность \(\omega\), которая касается продолжения отрезка \(BA\) за точку \(A\), продолжения отрезка \(BC\) за точку \(C\), и касается прямых \(AD\) и \(CD\). Докажите, что общие внешние касательные к окружностям \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются на окружности \(\omega\).

Решение →

المسألة 1

\(ABC\) مثلث حاد الزوايا ، \(H\) نقطة تلاقي ارتفاعاته.

نأخذ دائرة مركزها منتصف الضلع \(BC\) و تمر من النقطة \(H\) فتقطع المستقيم \(BC\) في نقطتين \(A_1\) و \(A_2\) ، بالمثل نأخذ دائرة مركزها منتصف الضلع \(CA\) و تمر من النقطة \(H\) فتقطع المستقيم \(CA\) في نقطتين \(B_1\) و \(B_2\) ، بالمثل أيضا نأخذ دائرة مركزها منتصف الضلع \(AB\) و تمر من النقطة \(H\) فتقطع المستقيم \(AB\) في نقطتين \(C_1\) و \(C_2\).

بين أن النقط \(A_1\) ، \(A_2\) ، \(B_1\) ، \(B_2\) ، \(C_1\) ، \(C_2\) تقع على دائرة واحدة.

← الحل

المسألة 2

(a) لكل \(x\) ، \(y\) ، \(z\) أعداد حقيقية مختلفة عن العدد \(1\) بحيث \(xyz=1\)

برهن أن : \[ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1 \]

(b) برهن أن المتباينة المذكورة أعلاه تصبح مساواة لعدد غير منته من الثلاثيات النسبية \(x\) ، \(y\) ، \(z\)

حيث \(x\) ، \(y\) ، \(z\) مختلفة عن العدد \(1\) و \(xyz=1\)

← الحل

المسألة 3

برهن أنه يوجد عدد غير منته من الأعداد الصحيحة الموجبة \(n\) بحيث: \(n^2+1\) له قاسما أوليا أكبر من \(2n+\sqrt{2n}\).

← الحل

المسألة 4

أوجد جميع الدوال \(f:(0,\infty)\to(0,\infty)\) (حيث \(f\) دالة من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية الموجبة)

التي تحقق \[ \frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] لكل الأعداد الحقيقية الموجبة \(w,x,y,z\) حيث \(wx=yz\)

← الحل

المسألة 5

ليكن \(n\) و \(k\) عددين صحيحين موجبين حيث \(k\geq n\) و \(k-n\) عدد زوجي.

لدينا \(2n\) مصباحا مرقمة \(1\) ، \(2\) ، ... ، \(2n\). كل مصباح من هذه المصابيح يمكن أن يكون في وضع ON (مضاء) أو وضع OFF (مطفئ). في البداية جميع المصابيح في وضع OFF.

الخطوة: هي تغيير وضع المصباح (من OFF إلى ON أو من ON إلى OFF)

السلسلة : هي عدد من الخطوات المتتالية.

ليكن \(N\) عدد السلاسل المكونة من \(k\) خطوة و التي تنتهي إلى الحالة التي تكون فيها المصابيح من \(1\) إلى \(n\) جميعها في الوضع ON و المصابيح من \(n+1\) إلى \(2n\) جميعها في الوضع OFF.

ليكن \(M\) عدد السلاسل المكونة من \(k\) خطوة و التي تنتهي إلى الحالة التي تكون فيها المصابيح من \(1\) إلى \(n\) جميعها في الوضع ON و المصابيح من \(n+1\) إلى \(2n\) جميعها في الوضع OFF بحيث أن المصابيح من \(n+1\) إلى \(2n\) لم تمس (لم يغير وضعها البدائي)

أوجد النسبة \(\frac{N}{M}\).

← الحل

المسألة 6

ليكن \(ABCD\) شكل رباعي (محدب) حيث \(AB\ne BC\). نرمز بـ \(M_1\) و \(M_2\) للدائرتين المرسومتين داخل المثلثين \(ABC\) و \(ADC\) والمماستين لهما على التوالي.

نفترض أنه توجد دائرة \(M\) تمس امتداد ضلعي الزاوية \(ABC\) كما أنها تمس امتداد الضلعين \(AD\) و \(CD\).

أثبت أن عامة المماسات الخارجية للدائرتين \(M_1\) و \(M_2\) تتقاطع في نقطة تنتمي للدائرة \(M\).

← الحل