Problem 1

Real numbers \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) are given. For each \(i\) \((1\le i\le n)\) define \[ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\} \] and let \[ d=\max\{d_i:1\le i\le n\}. \]

(a) Prove that, for any real numbers \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\), \[ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge \frac d2. \tag{*} \]

(b) Show that there are real numbers \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\) such that equality holds in \((*)\).

Solution →

Problem 2

Consider five points \(A, B, C, D\) and \(E\) such that \(ABCD\) is a parallelogram and \(BCED\) is a cyclic quadrilateral. Let \(\ell\) be a line passing through \(A\). Suppose that \(\ell\) intersects the interior of the segment \(DC\) at \(F\) and intersects line \(BC\) at \(G\). Suppose also that \(EF = EG = EC\). Prove that \(\ell\) is the bisector of angle \(DAB\).

Solution →

Problem 3

In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. (In particular, any group of fewer than two competitors is a clique.) The number of members of a clique is called its size.

Given that, in this competition, the largest size of a clique is even, prove that the competitors can be arranged in two rooms such that the largest size of a clique contained in one room is the same as the largest size of a clique contained in the other room.

Solution →

Problem 4

In triangle \(ABC\) the bisector of angle \(BCA\) intersects the circumcircle again at \(R\), the perpendicular bisector of \(BC\) at \(P\), and the perpendicular bisector of \(AC\) at \(Q\). The midpoint of \(BC\) is \(K\) and the midpoint of \(AC\) is \(L\). Prove that the triangles \(RPK\) and \(RQL\) have the same area.

Solution →

Problem 5

Let \(a\) and \(b\) be positive integers. Show that if \(4ab-1\) divides \((4a^2-1)^2\), then \(a=b\).

Solution →

Problem 6

Let \(n\) be a positive integer. Consider \[ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} \] as a set of \((n+1)^3-1\) points in three-dimensional space. Determine the smallest possible number of planes, the union of which contains \(S\) but does not include \((0,0,0)\).

Solution →

Aufgabe 1

Gegeben seien eine positive ganze Zahl \(n\) und reelle Zahlen \(a_1,a_2,\ldots,a_n\). Für jedes \(i\) \((1\le i\le n)\) sei \[ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\} \] und sei \[ d=\max\{d_i:1\le i\le n\}. \]

(a) Man beweise für beliebige reelle Zahlen \(x_1\le x_2\le\ldots\le x_n\): \[ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge\frac d2. \tag{*} \]

(b) Man beweise, dass es reelle Zahlen \(x_1\le x_2\le\ldots\le x_n\) gibt, die Gleichheit in \((*)\) liefern.

Lösung →

Aufgabe 2

Gegeben seien fünf Punkte \(A,B,C,D\) und \(E\), so dass \(ABCD\) ein Parallelogramm ist und \(BCED\) ein konvexes Sehnenviereck. Sei \(\ell\) eine Gerade durch \(A\), welche die Strecke \(\overline{DC}\) im inneren Punkt \(F\) und die Gerade \(BC\) in \(G\) schneidet. Ferner gelte \(\overline{EF}=\overline{EG}=\overline{EC}\). Man beweise, dass \(\ell\) die Winkelhalbierende von \(\angle DAB\) ist.

Lösung →

Aufgabe 3

In einem mathematischen Wettbewerb sind einige Teilnehmende miteinander befreundet. Freundschaft beruhe auf Gegenseitigkeit. Eine Gruppe von Teilnehmenden heiße Clique, wenn je zwei von ihnen befreundet sind. (Insbesondere ist jede Gruppe von weniger als zwei Teilnehmenden eine Clique.) Die Größe einer Clique ist die Anzahl ihrer Mitglieder. Die maximale Größe einer Clique in diesem Wettbewerb sei gerade. Man beweise, dass die Teilnehmenden so auf zwei Räume aufgeteilt werden können, dass die maximale Größe einer Clique in einem Raum gleich der maximalen Größe einer Clique im anderen Raum ist.

Lösung →

Aufgabe 4

Gegeben sei ein Dreieck \(ABC\). Die Winkelhalbierende von \(\angle BCA\) schneidet den Umkreis im Punkt \(R\) \((R\ne C)\), die Mittelsenkrechte der Seite \(\overline{BC}\) im Punkt \(P\) und die Mittelsenkrechte der Seite \(\overline{AC}\) im Punkt \(Q\). Der Mittelpunkt von \(\overline{BC}\) sei \(K\) und der Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) sei \(L\). Man beweise, dass die Dreiecke \(RPK\) und \(RQL\) den gleichen Flächeninhalt haben.

Lösung →

Aufgabe 5

Es seien \(a\) und \(b\) positive ganze Zahlen. Man beweise: Wenn \(4ab-1\) ein Teiler von \((4a^2-1)^2\) ist, so gilt \(a=b\).

Lösung →

Aufgabe 6

Es sei \(n\) eine positive ganze Zahl. Gegeben sei \[ S=\bigl\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},x+y+z>0\bigr\}, \] eine Menge von \((n+1)^3-1\) Punkten des drei-dimensionalen Raumes. Man bestimme die kleinstmögliche Anzahl von Ebenen, deren Vereinigung die Menge \(S\) umfasst, aber nicht den Punkt \((0,0,0)\).

Lösung →

Soru 1

\(a_1,a_2,\ldots,a_n\) gerçel sayıları verilmiş olsun. Her \(i\) \((1\le i\le n)\) için, \[ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\} \] olarak tanımlayalım ve \[ d=\max\{d_i:1\le i\le n\} \] olsun.

a. Tüm \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\) gerçel sayıları için, \[ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge\frac d2 \tag{*} \] olduğunu kanıtlayınız.

b. \((*)\) da eşitliğin gerçekleşmesini sağlayan \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\) gerçel sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

\(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ve \(E\) den oluşan beş nokta, \(ABCD\) bir paralelkenar ve \(BCED\) konveks bir kirişler dörtgeni olacak biçimde verilmiş olsun. \(A\) dan geçen bir \(\ell\) doğrusu, \([DC]\) doğru parçasını bir \(F\) iç noktasında ve \(BC\) doğrusunu da bir \(G\) noktasında kessin. \(|EF|=|EG|=|EC|\) olduğunu varsayalım. \(\ell\) nin, \(\widehat{DAB}\) açısının açı ortayı olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Bir matematik yarışmasına katılan yarışmacılardan bazıları arkadaştır. Arkadaşlık her zaman karşılıklıdır. Bir yarışmacı grubundaki her yarışmacı çifti arkadaşsa, bu gruba bir klik diyelim. (Özellikle, ikiden az yarışmacıdan oluşan her grup bir kliktir.) Bir kliğin eleman sayısına bu kliğin büyüklüğü diyelim.

Bu yarışmadaki kliklerin büyüklüklerinin aldığı en büyük değer bir çift sayı olsun. Tüm yarışmacıların, bir odadaki kliklerin büyüklüklerinin en büyük değeri, diğer odadaki kliklerin büyüklüklerinin en büyük değerine eşit olacak biçimde iki odaya yerleştirilebileceğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

Bir \(ABC\) üçgeninde, \(\widehat{BCA}\) açısının açı ortayı, üçgenin çevrel çemberini ikinci kez \(R\) de, \([BC]\) nin orta dikmesini \(P\) de ve \([AC]\) nin orta dikmesini de \(Q\) da kesiyor. \([BC]\) nin orta noktası \(K\) ve \([AC]\) nin orta noktası \(L\) olsun. \(RPK\) ve \(RQL\) üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olsun. \(4ab-1\), \((4a^2-1)^2\) yi bölüyorsa, \(a=b\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

\(n\) pozitif bir tam sayı olsun. Üç boyutlu uzayda \((n+1)^3-1\) noktadan oluşan \[ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} \] kümesi veriliyor. Birleşimleri \(S\) kümesini kapsayan, ama \((0,0,0)\) noktasını içermeyen düzlemlerin sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

Çözüm →

Problema 1

Sean \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) números reales. Para cada \(i\) \((1\le i\le n)\) se define \[ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\} \] y sea \[ d=\max\{d_i:1\le i\le n\}. \]

(a) Demostrar que para cualesquiera números reales \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\), \[ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge\frac d2. \tag{*} \]

(b) Demostrar que existen números reales \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\) para los cuales se cumple la igualdad en \((*)\).

Solución →

Problema 2

Se consideran cinco puntos \(A,B,C,D\) y \(E\) tales que \(ABCD\) es un paralelogramo y \(BCED\) es un cuadrilátero cíclico y convexo. Sea \(\ell\) una recta que pasa por \(A\). Supongamos que \(\ell\) corta al segmento \(DC\) en un punto interior \(F\) y a la recta \(BC\) en \(G\). Supongamos también que \(EF=EG=EC\). Demostrar que \(\ell\) es la bisectriz del ángulo \(DAB\).

Solución →

Problema 3

En una competencia de matemáticas algunos participantes son amigos. La amistad es siempre recíproca. Decimos que un grupo de participantes es una clique si dos cualesquiera de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo con menos de dos participantes es una clique). Al número de elementos de una clique se le llama tamaño. Se sabe que en esta competencia el mayor de los tamaños de las cliques es par. Demostrar que los participantes pueden distribuirse en dos aulas, de manera que el mayor de los tamaños de las cliques contenidas en un aula sea igual al mayor de los tamaños de las cliques contenidas en la otra.

Solución →

Problema 4

En un triángulo \(ABC\) la bisectriz del ángulo \(BCA\) corta a la circunferencia circunscrita en \(R\) \((R\ne C)\), a la mediatriz de \(BC\) en \(P\) y a la mediatriz de \(AC\) en \(Q\). El punto medio de \(BC\) es \(K\) y el punto medio de \(AC\) es \(L\). Demostrar que los triángulos \(RPK\) y \(RQL\) tienen áreas iguales.

Solución →

Problema 5

Sean \(a\) y \(b\) enteros positivos tales que \(4ab-1\) divide a \((4a^2-1)^2\). Demostrar que \(a=b\).

Solución →

Problema 6

Sea \(n\) un entero positivo. Se considera \[ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} \] como un conjunto de \((n+1)^3-1\) puntos en el espacio tridimensional. Determinar el menor número posible de planos cuya unión contiene todos los puntos de \(S\) pero no incluye a \((0,0,0)\).

Solución →

问题 1

给定实数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\). 对每个 \(i\) \((1\le i\le n)\), 定义: \[ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\}, \] 且令 \[ d=\max\{d_i:1\le i\le n\}. \]

(a) 证明: 对任意实数 \(x_1\le x_2\le\ldots\le x_n\), 有 \[ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge\frac d2. \tag{*} \]

(b) 证明: 存在实数 \(x_1\le x_2\le\ldots\le x_n\) 使得 \((*)\) 中的等号成立.

解答 →

问题 2

设 \(A,B,C,D,E\) 五点中, \(ABCD\) 是一个平行四边形, \(BCED\) 是一个圆内接四边形. 设 \(\ell\) 是通过 \(A\) 的一条直线, \(\ell\) 与线段 \(DC\) 交于点 \(F\) (\(F\) 是线段\(DC\) 的内点), 且 \(\ell\) 与直线 \(BC\) 交于点 \(G\). 若 \(EF=EG=EC\), 求证: \(\ell\) 是 \(\angle DAB\) 的角平分线.

解答 →

问题 3

在一次数学竞赛活动中, 有一些参赛选手是朋友. 朋友关系是相互的. 如果一群参赛选手中的任何两人都是朋友, 我们就称这一群选手为一个“团” (特别地, 人数少于 2 的一群也是一个团).

已知在这次竞赛中, 最大的团(人数最多的团)的人数是一个偶数, 证明: 我们总能把参赛选手分配到两个教室, 使得一个教室中的最大团的人数等于另一个教室中的最大团的人数.

解答 →

问题 4

在 \(\triangle ABC\) 中, \(\angle BCA\) 的角平分线与 \(\triangle ABC\) 的外接圆交于点 \(R\), 与边 \(BC\) 的垂直平分线交于点 \(P\), 与边 \(AC\) 的垂直平分线交于点 \(Q\). 设 \(K\) 与 \(L\) 分别是边 \(BC\) 和 \(AC\) 的中点. 证明: \(\triangle RPK\) 和 \(\triangle RQL\) 的面积相等.

解答 →

问题 5

设 \(a\) 与 \(b\) 为正整数. 已知 \(4ab-1\) 整除 \((4a^2-1)^2\), 证明: \(a=b\).

解答 →

问题 6

设 \(n\) 是一个正整数. 考虑 \[ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} \] 这样一个三维空间中具有 \((n+1)^3-1\) 个点的集合. 问: 最少要多少个平面, 它们的并集才能包含 \(S\), 但不含 \((0,0,0)\).

解答 →

Задача 1

Даны действительные числа \(a_1,a_2,\ldots,a_n\). Для каждого \(i\) \((1\le i\le n)\) определим \[ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\} \] и положим \[ d=\max\{d_i:1\le i\le n\}. \]

(a) Докажите, что для любых действительных чисел \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\) \[ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge \frac d2. \tag{*} \]

(b) Покажите, что существуют действительные числа \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\), для которых в \((*)\) достигается равенство.

Решение →

Задача 2

Рассмотрим пять точек \(A, B, C, D\) и \(E\), таких что \(ABCD\) — параллелограмм, а \(BCED\) — вписанный четырёхугольник. Пусть \(\ell\) — прямая, проходящая через \(A\). Предположим, что \(\ell\) пересекает отрезок \(DC\) в его внутренней точке \(F\) и пересекает прямую \(BC\) в точке \(G\). Предположим также, что \(EF = EG = EC\). Докажите, что \(\ell\) является биссектрисой угла \(DAB\).

Решение →

Задача 3

Среди участников математического соревнования некоторые дружат друг с другом. Дружба всегда взаимна. Назовём группу участников кликой, если любые двое из них дружат. (В частности, любая группа, состоящая менее чем из двух участников, является кликой.) Число участников клики называется её размером.

Известно, что наибольший размер клики на этом соревновании чётен. Докажите, что участников можно разместить в двух комнатах так, чтобы наибольший размер клики, находящейся целиком в одной комнате, был равен наибольшему размеру клики, находящейся целиком в другой комнате.

Решение →

Задача 4

В треугольнике \(ABC\) биссектриса угла \(BCA\) повторно пересекает описанную окружность в точке \(R\), серединный перпендикуляр к \(BC\) — в точке \(P\), а серединный перпендикуляр к \(AC\) — в точке \(Q\). Середина \(BC\) — точка \(K\), а середина \(AC\) — точка \(L\). Докажите, что треугольники \(RPK\) и \(RQL\) имеют равные площади.

Решение →

Задача 5

Пусть \(a\) и \(b\) — положительные целые числа. Докажите, что если \(4ab-1\) делит \((4a^2-1)^2\), то \(a=b\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(n\) — положительное целое число. Рассмотрим \[ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} \] как множество из \((n+1)^3-1\) точек в трёхмерном пространстве. Определите наименьшее возможное число плоскостей, объединение которых содержит \(S\), но не содержит \((0,0,0)\).

Решение →

المسألة 1

لتكن \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) أعداداً حقيقية معطاة . لكل \(i\) \((1\le i\le n)\) نعرّف . \[ d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\} \] حيث \(\max\) تعني أكبر ، و \(\min\) تعني أصغر ، و لتكن \(d=\max\{d_i:1\le i\le n\}\) .

1) برهن أنه لأي الأعداد الحقيقية \(x_1\le x_2\le\ldots\le x_n\) فإن : \[ \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge\frac d2 \] حيث الرمز \(|\quad|\) يعني القيمة المطلقة .

2) بين أنه توجد أعداد حقيقية \(x_1\le x_2\le\ldots\le x_n\) بحيث يكون \(\max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}=\frac d2\) .

← الحل

المسألة 2

لتكن \(A\) و \(B\) و \(C\) و \(D\) و \(E\) خمس نقاط بحيث \(ABCD\) متوازي أضلاع و \(BCED\) رباعي دائري .

وليكن \((\ell)\) مستقيماً يمر من النقطة \(A\) ويقطع داخلياً القطعة المستقيمة \([CD]\) في \(F\) ويقطع المستقيم \((BC)\) في \(G\) .

نفترض أن \(EF=EG=EC\) ، بين أن \((\ell)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{DAB}\) .

← الحل

المسألة 3

يشارك عدد من الطلاب في مسابقة للرياضيات ، بعضهم أصدقاء و نفترض أنه إذا كان الطالب \(A\) صديقاً للطالب \(B\) فإن \(B\) يكون كذلك صديقاً للطالب \(A\) .

سوف نقول أن مجموعة من هؤلاء الطلاب تشكل فريقاً إذا كان كل اثنين من عناصر الفريق أصدقاء ( وعلى وجه الخصوص كل مجموعة يقل عدد عناصرها عن اثنين هي فريق )

عدد عناصر كل فريق يسمى حجم الفريق .

و في هذه المسابقة نعلم أن أكبر حجم للفريق المكون من هؤلاء الطلاب هو عدد زوجي . برهن أنه يمكن توزيع كل هؤلاء الطلاب على غرفتين بحيث يكون أكبر حجم للفريق المتواجد في الغرفة الأولى يساوي أكبر حجم للفريق المتواجد في الغرفة الأخرى .

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABC\) مثلثاً ، منصف الزاوية \(\widehat{BCA}\) يقطع الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\) مرة أخرى في النقطة \(R\) و يقطع العمود المنصف للقطعة المستقيمة \([BC]\) في \(P\) و يقطع العمود المنصف للقطعة المستقيمة \([AC]\) في \(Q\) . ليكن \(K\) منتصف \([BC]\) و \(L\) منتصف \([AC]\) .

برهن أن المثلثين \(RQL\) و \(RPK\) لهما المساحة نفسها.

← الحل

المسألة 5

بفرض أن \(a\) و \(b\) عددان صحيحان موجبان .

بين أنه إذا كان \(4ab-1\) يقسم \((4a^2-1)^2\) فإن \(a=b\) .

← الحل

المسألة 6

ليكن \(n\) عدداً صحيحاً موجباً . لنعتبر \(S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\}\) كمجموعة من \((n+1)^3-1\) نقطة من الفراغ (الفضاء) الثلاثي .

حدد أصغر عدد ممكن من المستويات بحيث يكون اتحادها يتضمن \(S\) و لا يحتوي على النقطة \((0,0,0)\) .

← الحل