Problem 1

Let \(ABC\) be a triangle with incentre \(I\). A point \(P\) in the interior of the triangle satisfies \[ \angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB. \] Show that \(AP\ge AI\), and that equality holds if and only if \(P=I\).

Solution →

Problem 2

Let \(P\) be a regular \(2006\)-gon. A diagonal of \(P\) is called good if its endpoints divide the boundary of \(P\) into two parts, each composed of an odd number of sides of \(P\). The sides of \(P\) are also called good.

Suppose \(P\) has been dissected into triangles by \(2003\) diagonals, no two of which have a common point in the interior of \(P\). Find the maximum number of isosceles triangles having two good sides that could appear in such a configuration.

Solution →

Problem 3

Determine the least real number \(M\) such that the inequality \[ \left|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right| \le M(a^2+b^2+c^2)^2 \] holds for all real numbers \(a\), \(b\) and \(c\).

Solution →

Problem 4

Determine all pairs \((x, y)\) of integers such that \[ 1+2^x+2^{2x+1}=y^2. \]

Solution →

Problem 5

Let \(P(x)\) be a polynomial of degree \(n>1\) with integer coefficients and let \(k\) be a positive integer. Consider the polynomial \(Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots))\), where \(P\) occurs \(k\) times. Prove that there are at most \(n\) integers \(t\) such that \(Q(t)=t\).

Solution →

Problem 6

Assign to each side \(b\) of a convex polygon \(P\) the maximum area of a triangle that has \(b\) as a side and is contained in \(P\). Show that the sum of the areas assigned to the sides of \(P\) is at least twice the area of \(P\).

Solution →

Aufgabe 1

Es sei \(ABC\) ein Dreieck mit dem Inkreismittelpunkt \(I\). Für einen Punkt \(P\) im Innern des Dreiecks gelte: \[ \angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB \]

Man beweise: - \(\overline{AP}\ge\overline{AI}\) - Gleichheit tritt genau dann ein, wenn \(P=I\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 2

Gegeben sei ein regelmäßiges \(2006\)-Eck \(P\). Eine Diagonale von \(P\) heiße gut, wenn deren Endpunkte den Rand von \(P\) in zwei Teile zerlegen, die jeweils aus einer ungeraden Anzahl von Seiten von \(P\) bestehen. Auch die Seiten von \(P\) heißen gut. Nun werde \(P\) durch \(2003\) Diagonalen in Dreiecke zerlegt, wobei keine zwei Diagonalen einen Schnittpunkt im Innern von \(P\) haben. Man bestimme die maximale Anzahl von gleichschenkligen Dreiecken mit zwei guten Dreiecksseiten, die in einer solchen Zerlegung von \(P\) auftreten können.

Lösung →

Aufgabe 3

Man bestimme die kleinste reelle Zahl \(M\), so dass für alle reellen Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\) die folgende Ungleichung gilt: \[ \left|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\le M(a^2+b^2+c^2)^2 \]

Lösung →

Aufgabe 4

Man bestimme alle Paare \((x,y)\) ganzer Zahlen, welche die folgende Gleichung erfüllen: \[ 1+2^x+2^{2x+1}=y^2 \]

Lösung →

Aufgabe 5

Es sei \(P(x)\) ein Polynom vom Grad \(n\) mit ganzzahligen Koeffizienten und \(n>1\). Ferner sei \(k\) eine positive ganze Zahl. Wir betrachten das Polynom \[ Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots)), \] wobei \(P\) genau \(k\)-mal auftritt. Man beweise, dass höchstens \(n\) ganze Zahlen \(t\) mit \(Q(t)=t\) existieren.

Lösung →

Aufgabe 6

Gegeben sei ein konvexes Polygon \(P\). Jeder Seite \(b\) von \(P\) wird das Maximum der Flächeninhalte jener Dreiecke zugeordnet, die in \(P\) liegen und die Seite \(b\) als eine ihrer Seiten haben. Man beweise, dass die Summe der Flächeninhalte, die den Seiten von \(P\) zugeordnet wurden, mindestens doppelt so groß wie der Flächeninhalt von \(P\) ist.

Lösung →

Soru 1

İçteğet çemberinin merkezi \(I\) olan bir \(ABC\) üçgeninin içinde, \[ m(\widehat{PBA})+m(\widehat{PCA})=m(\widehat{PBC})+m(\widehat{PCB}) \] olacak şekilde bir P noktası seçiliyor. \(|AP|\ge |AI|\) olduğunu ve eşitliğin ancak ve ancak \(P=I\) olması halinde sağlanacağını gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

Bir \(P\) düzgün 2006-geni veriliyor. \(P\) nin bir köşegenine, uçları \(P\) nin çevresini, her birisi \(P\) nin tek sayıda kenarından oluşan iki parçaya ayırması halinde, güzel adı veriliyor. \(P\) nin her kenarı da güzel kabul ediliyor.

\(P\), herhangi ikisi çokgen içinde kesişmeyen 2003 köşegeni tarafından üçgensel bölgelere ayrıldığında, iki kenarı güzel olan en fazla kaç ikizkenar üçgen oluşabileceğini bulunuz.

Çözüm →

Soru 3

Tüm \(a,b,c\) reel sayıları için \[ \left|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\le M(a^2+b^2+c^2)^2 \] eşitsizliğini geçerli kılan en küçük \(M\) reel sayısını bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

\(1+2^x+2^{2x+1}=y^2\) eşitliğini sağlayan tüm \((x,y)\) tam sayı ikililerini belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 5

Katsayıları tam sayı ve derecesi \(n>1\) olan bir \(P(x)\) polinomu ile bir \(k>0\) tam sayısı veriliyor. \(Q(x)=P(P(\cdots P(P(x))\cdots))\), \(P\) nin \(k\) kez kullanılmasıyla tanımlanan polinom olmak üzere, \(Q(t)=t\) eşitliğini sağlayan \(t\) tam sayılarının sayısının en fazla \(n\) olacağını ispatlayınız.

Çözüm →

Soru 6

Dışbükey bir \(P\) çokgeninin her \(b\) kenarına, çokgenin dışına taşmayan ve kenarlarından birisi \(b\) olan üçgenlerin sahip olabileceği en büyük alan değeri karşı tutuluyor. \(P\) nin tüm kenarlarına karşı tutulan değerler toplamının, \(P\) nin alanının iki katından küçük olamayacağını gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(ABC\) un triángulo y sea \(I\) el centro de su circunferencia inscrita. Sea \(P\) un punto en el interior del triángulo tal que \[ \angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB. \] Demuestre que \(AP\ge AI\) y que vale la igualdad si y sólo si \(P=I\).

Solución →

Problema 2

Decimos que una diagonal de un polígono regular \(P\) de 2006 lados es un segmento bueno si sus extremos dividen al borde de \(P\) en dos partes, cada una de ellas formada por un número impar de lados. Los lados de \(P\) también se consideran segmentos buenos.

Supongamos que \(P\) se ha dividido en triángulos trazando 2003 diagonales de modo que ningún par de ellas se corta en el interior de \(P\). Encuentre el máximo número de triángulos isósceles que puede haber tales que dos de sus lados son segmentos buenos.

Solución →

Problema 3

Determine el menor número real \(M\) tal que la desigualdad \[ \left|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\le M\left(a^2+b^2+c^2\right)^2 \] se cumpla para todos los números reales \(a,\ b,\ c\).

Solución →

Problema 4

Determine todas las parejas de enteros \((x,y)\) tales que \[ 1+2^x+2^{2x+1}=y^2. \]

Solución →

Problema 5

Sea \(P(x)\) un polinomio de grado \(n>1\) con coeficientes enteros y sea \(k\) un entero positivo. Considere el polinomio \(Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots))\), donde \(P\) aparece \(k\) veces. Demuestre que hay a lo sumo \(n\) enteros \(t\) tales que \(Q(t)=t\).

Solución →

Problema 6

Asignamos a cada lado \(b\) de un polígono convexo \(P\) el área máxima que puede tener un triángulo que tiene a \(b\) como uno de sus lados y que está contenido en \(P\). Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de \(P\) es mayor o igual que el doble del área de \(P\).

Solución →

问题 1

设 \(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心，\(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内部的一点，满足 \[ \angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB. \] 证明：\(AP\ge AI\)，并说明等号成立的充分必要条件是 \(P=I\)。

解答 →

问题 2

设 \(P\) 为正 \(2006\) 边形。如果 \(P\) 的一条对角线的两端将 \(P\) 的边界分成两部分，每部分都包含 \(P\) 的奇数条边，那么该对角线称为“好边”。规定 \(P\) 的每条边均为“好边”。

已知 \(2003\) 条在 \(P\) 内部不相交的对角线将 \(P\) 分割成若干三角形。试问在这种分割之下，最多有多少个有两条“好边”的等腰三角形。

解答 →

问题 3

求最小的实数 \(M\)，使得对所有的实数 \(a\)，\(b\) 和 \(c\)，有 \[ |ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|\le M(a^2+b^2+c^2)^2. \]

解答 →

问题 4

求所有的整数对 \((x,\ y)\)，使得 \[ 1+2^x+2^{2x+1}=y^2. \]

解答 →

问题 5

设 \(P(x)\) 为 \(n\) 次（\(n>1\)）整系数多项式，\(k\) 是一个正整数。考虑多项式 \(Q(x)=P(P(\cdots P(P(x))\cdots))\)，其中 \(P\) 出现 \(k\) 次。证明：最多存在 \(n\) 个整数 \(t\)，使得 \(Q(t)=t\)。

解答 →

问题 6

对于凸多边形 \(P\) 的任意边 \(b\)，以 \(b\) 为边，在 \(P\) 内部作一个面积最大的三角形。证明：对 \(P\) 的每条边，按上述方法所得三角形的面积之和至少是 \(P\) 的面积的 \(2\) 倍。

解答 →

Задача 1

Точка \(I\) – центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). Внутри треугольника выбрана точка \(P\) такая, что \[ \angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB. \] Докажите, что \(AP\ge AI\), причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(P\) совпадает с \(I\).

Решение →

Задача 2

Диагональ правильного 2006-угольника \(P\) называется хорошей, если ее концы делят границу \(P\) на две части, каждая из которых содержит нечетное число сторон. Стороны \(P\) также называются хорошими.

Пусть \(P\) разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри \(P\). Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

Решение →

Задача 3

Определите наименьшее действительное число \(M\) такое, что неравенство \[ |ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|\le M(a^2+b^2+c^2)^2 \] выполняется для любых действительных чисел \(a,b,c\).

Решение →

Задача 4

Найдите все пары \((x,y)\) целых чисел такие, что \[ 1+2^x+2^{2x+1}=y^2. \]

Решение →

Задача 5

Пусть \(P(x)\) – многочлен степени \(n>1\) с целыми коэффициентами, \(k\) – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен \[ Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots)) \] (здесь \(P\) применен \(k\) раз). Докажите, что существует не более \(n\) целых чисел \(t\) таких, что \(Q(t)=t\).

Решение →

Задача 6

Каждой стороне \(b\) выпуклого многоугольника \(P\) поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в \(P\), одна из сторон которых совпадает с \(b\). Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам \(P\), не меньше удвоенной площади многоугольника \(P\).

Решение →

المسألة 1

ليكن \(ABC\) مثلثا، و النقطه \(I\) مركز الدائره الداخليه ( تقاطع منصفات الزوايا ) في المثلث. اذا كانت \(P\) نقطه داخل المثلث بحيث تحقق المساواة \[ \angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB \] برهن أن \(AP\ge AI\)، و المساواة \((AP=AI)\) تتحقق اذا و اذا فقط \(P=I\).

← الحل

المسألة 2

ليكن \(P\) مضلع منتظم ذو \(2006\) ضلع. يسمى قطر المضلع \(P\) جيد اذا جزأت نقطتا نهايتيه المضلع \(P\) الى جزئين يحتوي كل جزء عدد فردي من أضلاع \(P\). أعتبر أضلاع المضلع \(P\) جيده.

نفرض أن المضلع \(P\) قسم الى مثلثات بواسطة \(2003\) قطرا، لا يتقاطع أي قطرين منهما داخل المضلع \(P\). أوجد اكبر عدد ممكن من المثلثات المتطابقة الضلعين التي تملك ضلعين جيده من أضلاع المضلع الناتجه بواسطة هذا النظام.

← الحل

المسألة 3

أوجد اصغر عدد حقيقي \(M\) يحقق المتباينه \[ \left|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\le M(a^2+b^2+c^2)^2 \] لكل الاعداد الحقيقية \(a\)، \(b\) و \(c\).

← الحل

المسألة 4

حدد جميع الأزواج المرتبه \((x,y)\) حيث \(x\)، \(y\) أعداد صحيحه، تحقق المعادله \[ 1+2^x+2^{2x+1}=y^2 \]

← الحل

المسألة 5

لتكن \(P(x)\) كثيرة حدود من الدرجه \(n\) حيث \(n>1\) ومعاملاتها أعداد صحيحه، وليكن \(k\) عدد صحيح موجب. أعتبر كثيرة الحدود

\(Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots))\)، حيث \(P\) تكررت \(k\) مره.

برهن أنه يوجد على الاكثر \(n\) من الأعداد الصحيحه \(t\) التي تثبتها كثيرة الحدود \(Q(x)\)، اي أن \(Q(t)=t\).

← الحل

المسألة 6

عين لكل ضلع \(b\) في المضلع المحدب \(P\) المساحة القصوى لمثلث في المضلع \(P\) يكون الضلع \(b\) أحد اضلاعه. برهن أن مجموع المساحات المعينه لجميع أضلاع المضلع تساوي على الأقل ( لا تقل عن ) ضعف مساحة المضلع \(P\).

← الحل