IMO 2012 · Problem 2
Let \(n \ge 3\) be an integer, and let \(a_2, a_3, \ldots, a_n\) be positive real numbers such that \(a_2a_3\cdots a_n=1\). Prove that \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
For each \(k=2,3,\ldots,n\), apply the arithmetic–geometric mean inequality to the \(k\) positive numbers consisting of \(a_k\) and \(k-1\) copies of \(1/(k-1)\). This gives \[ \frac{1+a_k}{k} \ge \left(\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}\right)^{1/k}, \] and hence \[ (1+a_k)^k\ge \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\,a_k. \] Multiplying these inequalities and using the given product condition, we obtain \[ \prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \ge \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}a_k\right) =n^n. \]
Since all factors are positive, equality here would require equality in every application of the arithmetic–geometric mean inequality. Thus it would require \[ a_k=\frac1{k-1}\qquad(k=2,\ldots,n). \] But then \[ a_2a_3\cdots a_n=\frac1{(n-1)!}<1 \] because \(n\ge3\), contradicting the hypothesis. Therefore the inequality is strict, as required.
The solution was checked against the official IMO shortlist solutions.
IMO 2012 · Aufgabe 2
Es sei \(n\ge 3\) eine ganze Zahl und es seien \(a_2,\ldots,a_n\) positive reelle Zahlen, so dass \(a_2a_3\cdots a_n=1\) gilt. Man beweise: \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]
Offizieller deutscher Aufgabentext. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Für jedes \(k=2,3,\ldots,n\) wenden wir die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel auf die \(k\) positiven Zahlen an, die aus \(a_k\) und \(k-1\) Exemplaren von \(1/(k-1)\) bestehen. Dies ergibt \[ \frac{1+a_k}{k} \ge \left(\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}\right)^{1/k}, \] und somit \[ (1+a_k)^k\ge \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\,a_k. \] Durch Multiplikation dieser Ungleichungen und Verwendung der gegebenen Produktbedingung erhalten wir \[ \prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \ge \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}a_k\right) =n^n. \]
Da alle Faktoren positiv sind, müsste für Gleichheit hier bei jeder Anwendung der Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel Gleichheit gelten. Es müsste also \[ a_k=\frac1{k-1}\qquad(k=2,\ldots,n) \] gelten. Dann wäre aber \[ a_2a_3\cdots a_n=\frac1{(n-1)!}<1 \] wegen \(n\ge3\), im Widerspruch zur Voraussetzung. Daher ist die Ungleichung wie behauptet strikt.
Die Lösung wurde mit den offiziellen Lösungen der IMO-Shortlist abgeglichen.
IMO 2012 · Soru 2
\(n\ge 3\) bir tam sayı ve \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \(a_2a_3\cdots a_n=1\) olsun. \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n \] olduğunu gösteriniz.
Sorunun resmi Türkçe metni. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
Her \(k=2,3,\ldots,n\) için, \(a_k\) ile \(k-1\) tane \(1/(k-1)\)’den oluşan \(k\) pozitif sayıya aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliğini uygulayalım. Buradan \[ \frac{1+a_k}{k} \ge \left(\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}\right)^{1/k}, \] ve dolayısıyla \[ (1+a_k)^k\ge \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\,a_k \] elde edilir. Bu eşitsizlikleri çarpıp verilen çarpım koşulunu kullanarak \[ \prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \ge \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}a_k\right) =n^n \] buluruz.
Tüm çarpanlar pozitif olduğundan, burada eşitlik olması için aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliğinin her uygulamasında eşitlik olması gerekir. Dolayısıyla \[ a_k=\frac1{k-1}\qquad(k=2,\ldots,n) \] olması gerekir. Ancak bu durumda \[ a_2a_3\cdots a_n=\frac1{(n-1)!}<1 \] olur; çünkü \(n\ge3\)’tür ve bu, varsayımla çelişir. Dolayısıyla eşitsizlik, istendiği gibi kesindir.
Çözüm, resmi IMO shortlist çözümleriyle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 2012 · Problema 2
Sea \(n\ge 3\) un entero, y sean \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) números reales positivos tales que \(a_2a_3\cdots a_n=1\). Demostrar que \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]
Texto oficial en español del problema. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Para cada \(k=2,3,\ldots,n\), aplicamos la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los \(k\) números positivos formados por \(a_k\) y \(k-1\) copias de \(1/(k-1)\). Esto da \[ \frac{1+a_k}{k} \ge \left(\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}\right)^{1/k}, \] y, por tanto, \[ (1+a_k)^k\ge \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\,a_k. \] Multiplicando estas desigualdades y usando la condición dada sobre el producto, obtenemos \[ \prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \ge \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}a_k\right) =n^n. \]
Como todos los factores son positivos, la igualdad aquí exigiría la igualdad en cada aplicación de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Por tanto, exigiría \[ a_k=\frac1{k-1}\qquad(k=2,\ldots,n). \] Pero entonces \[ a_2a_3\cdots a_n=\frac1{(n-1)!}<1 \] porque \(n\ge3\), lo que contradice la hipótesis. Por tanto, la desigualdad es estricta, como se quería demostrar.
La solución se comprobó con las soluciones oficiales de la shortlist de la IMO.
IMO 2012 · 问题 2
设整数 \(n\ge3\)，正实数 \(a_2,a_3,\cdots,a_n\) 满足 \(a_2a_3\cdots a_n=1\). 证明： \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]
题目为官方中文译本。 官方试卷 (PDF)
解答
对每个 \(k=2,3,\ldots,n\)，对由 \(a_k\) 和 \(k-1\) 个 \(1/(k-1)\) 组成的 \(k\) 个正数应用算术—几何平均值不等式，得 \[ \frac{1+a_k}{k} \ge \left(\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}\right)^{1/k}, \] 从而 \[ (1+a_k)^k\ge \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\,a_k. \] 将这些不等式相乘，并利用已知的乘积条件，得到 \[ \prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \ge \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}a_k\right) =n^n. \]
由于所有因子均为正数，此处取等号必须要求每一次应用算术—几何平均值不等式时都取等号。因此必须有 \[ a_k=\frac1{k-1}\qquad(k=2,\ldots,n). \] 但这样一来，便有 \[ a_2a_3\cdots a_n=\frac1{(n-1)!}<1 \] 因为 \(n\ge3\)，这与假设矛盾。因此该不等式为严格不等式，得证。
解答已与 IMO 官方预选题（shortlist）解答核对。
IMO 2012 · Задача 2
Дано целое число \(n\ge 3\) и действительные положительные числа \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) такие, что \(a_2a_3\ldots a_n=1\). Докажите, что \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\ldots(1+a_n)^n>n^n. \]
Официальный русский текст задачи. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Для каждого \(k=2,3,\ldots,n\) применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к \(k\) положительным числам: числу \(a_k\) и \(k-1\) числам, равным \(1/(k-1)\). Получаем \[ \frac{1+a_k}{k} \ge \left(\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}\right)^{1/k}, \] откуда \[ (1+a_k)^k\ge \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\,a_k. \] Перемножая эти неравенства и используя данное условие на произведение, получаем \[ \prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \ge \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}a_k\right) =n^n. \]
Поскольку все множители положительны, равенство здесь возможно лишь при равенстве в каждом из применений неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Таким образом, для него необходимо, чтобы \[ a_k=\frac1{k-1}\qquad(k=2,\ldots,n). \] Но тогда \[ a_2a_3\cdots a_n=\frac1{(n-1)!}<1 \] в силу \(n\ge3\), что противоречит условию. Следовательно, неравенство строгое, что и требовалось доказать.
Решение проверено по официальным решениям шортлиста IMO.
IMO 2012 · المسألة 2
ليكن \(n\ge 3\) عددا صحيحا، و \(a_2,a_3,\ldots,a_n\) أعدادا حقيقية موجبة بحيث \(a_2a_3\cdots a_n=1\). برهن أن \[ (1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n. \]
نص المسألة هو الترجمة العربية الرسمية. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
لكل \(k=2,3,\ldots,n\)، نطبق متباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي على الأعداد الموجبة الـ \(k\) المكونة من \(a_k\) و \(k-1\) نسخة من \(1/(k-1)\). فنحصل على \[ \frac{1+a_k}{k} \ge \left(\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}\right)^{1/k}, \] ومن ثم \[ (1+a_k)^k\ge \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\,a_k. \] بضرب هذه المتباينات واستعمال الشرط المعطى لحاصل الضرب، نحصل على \[ \prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \ge \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}a_k\right) =n^n. \]
بما أن جميع العوامل موجبة، فإن تحقق المساواة هنا يستلزم تحقق المساواة في كل تطبيق لمتباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي. ولذلك يستلزم \[ a_k=\frac1{k-1}\qquad(k=2,\ldots,n). \] لكن عندئذ \[ a_2a_3\cdots a_n=\frac1{(n-1)!}<1 \] لأن \(n\ge3\)، وهذا يناقض الفرض. لذلك فإن المتباينة صارمة، وهو المطلوب.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحلول الرسمية لقائمة IMO المختصرة.