Problem 1

Prove that for any pair of positive integers \(k\) and \(n\), there exist \(k\) positive integers \(m_1,m_2,\ldots,m_k\) (not necessarily different) such that \[ 1+\frac{2^k-1}{n} = \left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \cdots \left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]

Solution →

Problem 2

A configuration of 4027 points in the plane is called Colombian if it consists of 2013 red points and 2014 blue points, and no three of the points of the configuration are collinear. By drawing some lines, the plane is divided into several regions. An arrangement of lines is good for a Colombian configuration if the following two conditions are satisfied:

• no line passes through any point of the configuration;
• no region contains points of both colours.

Find the least value of \(k\) such that for any Colombian configuration of 4027 points, there is a good arrangement of \(k\) lines.

Solution →

Problem 3

Let the excircle of triangle \(ABC\) opposite the vertex \(A\) be tangent to the side \(BC\) at the point \(A_1\). Define the points \(B_1\) on \(CA\) and \(C_1\) on \(AB\) analogously, using the excircles opposite \(B\) and \(C\), respectively. Suppose that the circumcentre of triangle \(A_1B_1C_1\) lies on the circumcircle of triangle \(ABC\). Prove that triangle \(ABC\) is right-angled.

The excircle of triangle \(ABC\) opposite the vertex \(A\) is the circle that is tangent to the line segment \(BC\), to the ray \(AB\) beyond \(B\), and to the ray \(AC\) beyond \(C\). The excircles opposite \(B\) and \(C\) are similarly defined.

Solution →

Problem 4

Let \(ABC\) be an acute-angled triangle with orthocentre \(H\), and let \(W\) be a point on the side \(BC\), lying strictly between \(B\) and \(C\). The points \(M\) and \(N\) are the feet of the altitudes from \(B\) and \(C\), respectively. Denote by \(\omega_1\) the circumcircle of \(BWN\), and let \(X\) be the point on \(\omega_1\) such that \(WX\) is a diameter of \(\omega_1\). Analogously, denote by \(\omega_2\) the circumcircle of \(CWM\), and let \(Y\) be the point on \(\omega_2\) such that \(WY\) is a diameter of \(\omega_2\). Prove that \(X\), \(Y\) and \(H\) are collinear.

Solution →

Problem 5

Let \(\mathbb{Q}_{>0}\) be the set of positive rational numbers. Let \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}\) be a function satisfying the following three conditions:

(i) for all \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\), we have \(f(x)f(y)\ge f(xy)\);

(ii) for all \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\), we have \(f(x+y)\ge f(x)+f(y)\);

(iii) there exists a rational number \(a>1\) such that \(f(a)=a\).

Prove that \(f(x)=x\) for all \(x\in\mathbb{Q}_{>0}\).

Solution →

Problem 6

Let \(n \geq 3\) be an integer, and consider a circle with \(n+1\) equally spaced points marked on it. Consider all labellings of these points with the numbers \(0,1,\ldots,n\) such that each label is used exactly once; two such labellings are considered to be the same if one can be obtained from the other by a rotation of the circle. A labelling is called beautiful if, for any four labels \(a<b<c<d\) with \(a+d=b+c\), the chord joining the points labelled \(a\) and \(d\) does not intersect the chord joining the points labelled \(b\) and \(c\).

Let \(M\) be the number of beautiful labellings, and let \(N\) be the number of ordered pairs \((x,y)\) of positive integers such that \(x+y\leq n\) and \(\gcd(x,y)=1\). Prove that \[ M=N+1. \]

Solution →

Aufgabe 1

Man beweise: Für jedes Paar positiver ganzer Zahlen \(k\) und \(n\) existieren \(k\) positive ganze Zahlen \(m_1,m_2,\ldots,m_k\) (nicht notwendigerweise verschieden), so dass \[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right) \] gilt.

Lösung →

Aufgabe 2

Eine Konfiguration aus 4027 Punkten in der Ebene heißt kolumbianisch, wenn sie aus 2013 roten und 2014 blauen Punkten besteht, von denen keine drei Punkte auf einer Geraden liegen. Durch das Einzeichnen einiger Geraden wird die Ebene in mehrere Regionen unterteilt. Eine Menge von Geraden heißt gut für eine kolumbianische Konfiguration, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Keine Gerade geht durch einen Punkt der Konfiguration.
• Keine Region enthält Punkte beider Farben.

Man bestimme den minimalen Wert von \(k\), so dass es für jede kolumbianische Konfiguration von 4027 Punkten eine gute Menge von \(k\) Geraden gibt.

Lösung →

Aufgabe 3

Der \(A\) gegenüber liegende Ankreis des Dreiecks \(ABC\) berühre die Seite \(BC\) im Punkt \(A_1\). Die Punkte \(B_1\) auf der Seite \(CA\) und \(C_1\) auf der Seite \(AB\) seien, unter Verwendung der \(B\) bzw. \(C\) gegenüber liegenden Ankreise, analog definiert. Man nehme an, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks \(A_1B_1C_1\) auf dem Umkreis des Dreiecks \(ABC\) liegt. Man beweise, dass das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig ist.

(Der Ankreis von \(ABC\), der dem Eckpunkt \(A\) gegenüber liegt, ist der Kreis, der die Strecke \(BC\) sowie den Strahl \(AB\) jenseits von \(B\) und den Strahl \(AC\) jenseits von \(C\) berührt. Die \(B\) bzw. \(C\) gegenüber liegenden Ankreise werden analog definiert.)

Lösung →

Aufgabe 4

Es sei \(ABC\) ein spitzwinkliges Dreieck mit dem Höhenschnittpunkt \(H\). Ferner sei \(W\) ein innerer Punkt der Strecke \(BC\). Es bezeichnen \(M\) und \(N\) die Höhenfußpunkte von \(B\) bzw. \(C\). Außerdem bezeichne \(\omega_1\) den Umkreis von \(BWN\) und \(X\) den Punkt auf \(\omega_1\), so dass \(WX\) ein Durchmesser von \(\omega_1\) ist. Analog bezeichne \(\omega_2\) den Umkreis von \(CWM\) und \(Y\) den Punkt auf \(\omega_2\), so dass \(WY\) ein Durchmesser von \(\omega_2\) ist. Man beweise, dass die Punkte \(X\), \(Y\) und \(H\) auf einer Geraden liegen.

Lösung →

Aufgabe 5

Es sei \(\mathbb{Q}_{>0}\) die Menge der positiven rationalen Zahlen. Ferner sei \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}\) eine Funktion, welche die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

(i) Für alle \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) gilt \(f(x)f(y)\ge f(xy)\).

(ii) Für alle \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) gilt \(f(x+y)\ge f(x)+f(y)\).

(iii) Es gibt eine rationale Zahl \(a>1\), für die \(f(a)=a\) gilt.

Man beweise, dass \(f(x)=x\) für alle \(x\in\mathbb{Q}_{>0}\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 6

Es sei \(n\ge 3\) eine ganze Zahl. Man betrachte einen Kreis, auf dem \(n+1\) Punkte in jeweils gleichem Abstand markiert sind. Man betrachte alle Beschriftungen dieser Punkte mit den Zahlen \(0,1,\ldots,n\), wobei jede Zahl genau einmal vorkommt. Zwei solche Beschriftungen werden als gleich angesehen, wenn man die eine durch Drehung des Kreises aus der anderen erhalten kann. Eine Beschriftung heißt schön, wenn für je vier Zahlen \(a<b<c<d\) mit \(a+d=b+c\) die Sehne zwischen \(a\) und \(d\) nicht die Sehne zwischen \(b\) und \(c\) schneidet. Es bezeichne \(M\) die Anzahl der schönen Beschriftungen und \(N\) die Anzahl der geordneten Paare \((x,y)\) von positiven ganzen Zahlen mit \(x+y\le n\) und \(\operatorname{ggT}(x,y)=1\). Man beweise \[ M=N+1. \]

Lösung →

Soru 1

Her \(k\) ve \(n\) pozitif tam sayı ikilisi için, \[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right) \] eşitliğini sağlayan \(m_1,m_2,\ldots,m_k\) (farklı olmaları gerekmeyen) pozitif tam sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

Düzlem üzerindeki 4027 noktanın herhangi üçü doğrusal olmayıp, 2013 tanesi kırmızı ve 2014 tanesi mavi ise, bu 4027 noktaya bir Kolombiya konfigürasyonu diyelim. Düzlemde çizilen birkaç doğru düzlemi bölgelere ayırır. Bir doğrular kümesi, bir Kolombiya konfigürasyonu için aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa, bu küme bu konfigürasyon için iyi kabul ediliyor.

• doğrulardan her biri, konfigürasyonun hiçbir noktasından geçmemektedir;
• her iki rengi birden içeren bölge bulunmamaktadır.

4027 noktalı herhangi bir Kolombiya konfigürasyonu verildiğinde, bu konfigürasyon için iyi olan ve \(k\) doğrudan oluşan bir küme bulunuyorsa, \(k\) nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Çözüm →

Soru 3

Bir \(ABC\) üçgeninde \(A\) köşesinin karşısındaki dışteğet çember \(BC\) kenarına \(A_1\) noktasında teğet olsun. Benzer şekilde, \(B\) ve \(C\) köşelerinin karşısındaki dışteğet çemberleri kullanarak \(CA\) kenarı üzerinde \(B_1\) ve \(AB\) kenarı üzerinde \(C_1\) noktalarını tanımlayalım. \(A_1B_1C_1\) üçgeninin çevrel merkezi \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberi üzerinde ise, \(ABC\) üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösteriniz.

\(ABC\) üçgeninin \(A\) köşesinin karşısındaki dışteğet çember; \(BC\) kenarına, \(B\)’nin ötesinde \(AB\) ışınına ve \(C\)’nin ötesinde \(AC\) ışınına teğet olan çemberdir. \(B\) ve \(C\) köşelerinin karşısındaki dışteğet çemberler de benzer biçimde tanımlanıyor.

Çözüm →

Soru 4

Diklik merkezi \(H\) olan bir dar açılı \(ABC\) üçgeninde \(W\), \(BC\) kenarı üzerinde \(B\) ve \(C\) den farklı bir nokta olsun. \(M\) ve \(N\) noktaları, sırasıyla \(B\) ve \(C\) ye ait yükseklik ayağı olsun. \(BWN\) nin çevrel çemberi \(w_1\) olmak üzere; \(w_1\) üzerinde bir \(X\) noktası, \([WX]\) doğru parçası \(w_1\) in bir çapı olacak şekilde seçiliyor. Benzer biçimde \(CWM\) nin çevrel çemberi \(w_2\) olmak üzere; \(w_2\) üzerinde bir \(Y\) noktası, \([WY]\) doğru parçası \(w_2\) nin bir çapı olacak şekilde seçiliyor. \(X,Y\) ve \(H\) noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

Pozitif rasyonel sayılar kümesini \(\mathbb{Q}_{>0}\) ile gösterelim. Bir \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}\) fonksiyonu aşağıdaki üç koşulu sağlamaktadır:

(i) her \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) için, \(f(x)f(y)\ge f(xy)\);

(ii) her \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) için, \(f(x+y)\ge f(x)+f(y)\);

(iii) \(f(a)=a\) olacak şekilde bir \(a>1\) rasyonel sayısı vardır.

Her \(x\in\mathbb{Q}_{>0}\) için \(f(x)=x\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 6

\(n\ge 3\) bir tam sayı olmak üzere, bir çember üzerinde çemberi eşit yaylara bölen \(n+1\) nokta işaretlenmiştir. \(0,1,\ldots,n\) sayılarının her biri tam olarak bir kez kullanılarak işaretli noktalara yazılmasına numaralandırma diyelim. Biri diğerinden çemberin döndürülmesi ile elde edilen iki numaralandırma aynı sayılmaktadır. Bir numaralandırmada, \(a+d=b+c\) koşulunu sağlayan her \(a<b<c<d\) için uçlarında \(a\) ve \(d\) yazan kiriş ile uçlarında \(b\) ve \(c\) yazan kiriş kesişmiyorsa, bu numaralandırmaya güzel diyelim.

Güzel numaralandırmaların sayısı \(M\), \(x+y\le n\) ve \(\operatorname{ebob}(x,y)=1\) koşullarını sağlayan \((x,y)\) pozitif tam sayı sıralı ikililerinin sayısı \(N\) olsun. \[ M=N+1 \] olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Demostrar que para cualquier par de enteros positivos \(k\) y \(n\), existen \(k\) enteros positivos \(m_1,m_2,\ldots,m_k\) (no necesariamente distintos) tales que \[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\ldots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]

Solución →

Problema 2

Una configuración de 4027 puntos del plano, de los cuales 2013 son rojos y 2014 azules, y no hay tres de ellos que sean colineales, se llama colombiana. Trazando algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una colección de rectas es buena para una configuración colombiana si se cumplen las dos siguientes condiciones:

• ninguna recta pasa por ninguno de los puntos de la configuración;
• ninguna región contiene puntos de ambos colores.

Hallar el menor valor de \(k\) tal que para cualquier configuración colombiana de 4027 puntos hay una colección buena de \(k\) rectas.

Solución →

Problema 3

Supongamos que el excírculo del triángulo \(ABC\) opuesto al vértice \(A\) es tangente al lado \(BC\) en el punto \(A_1\). Análogamente, se definen los puntos \(B_1\) en \(CA\) y \(C_1\) en \(AB\), utilizando los excírculos opuestos a \(B\) y \(C\) respectivamente. Supongamos que el circuncentro del triángulo \(A_1B_1C_1\) pertenece a la circunferencia que pasa por los vértices \(A\), \(B\) y \(C\). Demostrar que el triángulo \(ABC\) es rectángulo.

El excírculo del triángulo \(ABC\) opuesto al vértice \(A\) es la circunferencia que es tangente al segmento \(BC\), a la prolongación del lado \(AB\) más allá de \(B\), y a la prolongación del lado \(AC\) más allá de \(C\). Análogamente se definen los excírculos opuestos a los vértices \(B\) y \(C\).

Solución →

Problema 4

Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo con ortocentro \(H\), y sea \(W\) un punto sobre el lado \(BC\), estrictamente entre \(B\) y \(C\). Los puntos \(M\) y \(N\) son los pies de las alturas trazadas desde \(B\) y \(C\) respectivamente. Se denota por \(\omega_1\) la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo \(BWN\), y por \(X\) el punto de \(\omega_1\) tal que \(WX\) es un diámetro de \(\omega_1\). Análogamente, se denota por \(\omega_2\) la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo \(CWM\), y por \(Y\) el punto de \(\omega_2\) tal que \(WY\) es un diámetro de \(\omega_2\). Demostrar que los puntos \(X,Y\) y \(H\) son colineales.

Solución →

Problema 5

Sea \(\mathbb{Q}_{>0}\) el conjunto de los números racionales mayores que cero. Sea \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}\) una función que satisface las tres siguientes condiciones:

(i) \(f(x)f(y)\ge f(xy)\) para todos los \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\);

(ii) \(f(x+y)\ge f(x)+f(y)\) para todos los \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\);

(iii) existe un número racional \(a>1\) tal que \(f(a)=a\).

Demostrar que \(f(x)=x\) para todo \(x\in\mathbb{Q}_{>0}\).

Solución →

Problema 6

Sea \(n\ge 3\) un número entero. Se considera una circunferencia en la que se han marcado \(n+1\) puntos igualmente espaciados. Cada punto se etiqueta con uno de los números \(0,1,\ldots,n\) de manera que cada número se usa exactamente una vez. Dos distribuciones de etiquetas se consideran la misma si una se puede obtener de la otra por una rotación de la circunferencia. Una distribución de etiquetas se llama bonita si, para cualesquiera cuatro etiquetas \(a<b<c<d\), con \(a+d=b+c\), la cuerda que une los puntos etiquetados \(a\) y \(d\) no corta la cuerda que une los puntos etiquetados \(b\) y \(c\).

Sea \(M\) el número de distribuciones bonitas y \(N\) el número de pares ordenados \((x,y)\) de enteros positivos tales que \(x+y\le n\) y \(\operatorname{mcd}(x,y)=1\). Demostrar que \[ M=N+1. \]

Solución →

问题 1

证明对于任意一对正整数 \(k\) 和 \(n\)，都存在 \(k\) 个（不必不相同的）正整数 \(m_1,m_2,\ldots,m_k\)，使得 \[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]

解答 →

问题 2

平面上的 4027 个点称为是一个哥伦比亚式点集，如果其中任意三点不共线，且有 2013 个点是红色的，2014 个点是蓝色的。在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域。如果一组直线对于一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件，我们就称这是一个好直线组：

• 这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点；
• 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点。

求 \(k\) 的最小值，使得对于任意的哥伦比亚式点集，都存在由 \(k\) 条直线构成的好直线组。

解答 →

问题 3

设三角形 \(ABC\) 的顶点 \(A\) 所对的旁切圆与边 \(BC\) 相切于点 \(A_1\)。类似地，分别用顶点 \(B\) 和顶点 \(C\) 所对的旁切圆定义 \(CA\) 边上的点 \(B_1\) 和 \(AB\) 边上的点 \(C_1\)。假设三角形 \(A_1B_1C_1\) 的外接圆圆心在三角形 \(ABC\) 的外接圆上。证明：三角形 \(ABC\) 是直角三角形。

三角形 \(ABC\) 的顶点 \(A\) 所对的旁切圆是指与边 \(BC\) 相切，并且与边 \(AB,AC\) 的延长线相切的圆。顶点 \(B,C\) 所对的旁切圆可类似定义。

解答 →

问题 4

设三角形 \(ABC\) 是一个锐角三角形，其垂心为 \(H\)，设 \(W\) 是边 \(BC\) 上一点，与顶点 \(B,C\) 均不重合。\(M\) 和 \(N\) 分别是过顶点 \(B\) 和 \(C\) 的高的垂足。记三角形 \(BWN\) 的外接圆为 \(\omega_1\)，设 \(X\) 是 \(\omega_1\) 上一点，且 \(WX\) 是 \(\omega_1\) 的直径。类似地，记三角形 \(CWM\) 的外接圆为 \(\omega_2\)，设 \(Y\) 是 \(\omega_2\) 上一点，且 \(WY\) 是 \(\omega_2\) 的直径。证明：点 \(X,Y\) 和 \(H\) 共线。

解答 →

问题 5

记 \(\mathbb{Q}_{>0}\) 是所有正有理数组成的集合。设函数 \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}\) 满足如下三个条件：

(i) 对所有的 \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\)，都有 \(f(x)f(y)\ge f(xy)\)；

(ii) 对所有的 \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\)，都有 \(f(x+y)\ge f(x)+f(y)\)；

(iii) 存在有理数 \(a>1\)，使得 \(f(a)=a\)。

证明：对所有的 \(x\in\mathbb{Q}_{>0}\)，都有 \(f(x)=x\)。

解答 →

问题 6

设整数 \(n\ge 3\)，在圆周上有 \(n+1\) 个等分点。用数 \(0,1,\ldots,n\) 标记这些点，每个数字恰好用一次。考虑所有可能的标记方式；如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到，那么认为这两种标记方式是同一个。一种标记方式称为是漂亮的，如果对于任意满足 \(a+d=b+c\) 的四个标记数 \(a<b<c<d\)，连接标 \(a\) 和 \(d\) 的点的弦与连接标 \(b\) 和 \(c\) 的点的弦都不相交。

设 \(M\) 是漂亮的标记方式的总数，又设 \(N\) 是满足 \(x+y\le n\)，且 \(\gcd(x,y)=1\) 的有序正整数对 \((x,y)\) 的个数。证明： \[ M=N+1. \]

解答 →

Задача 1

Докажите, что для любой пары натуральных чисел \(k\) и \(n\) существуют \(k\) (не обязательно различных) натуральных чисел \(m_1,m_2,\ldots,m_k\), удовлетворяющих равенству \[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]

Решение →

Задача 2

Будем называть колумбийской конфигурацией точек набор из 4027 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, при этом 2013 из них покрашены в красный цвет, а остальные 2014 — в синий. Рассмотрим набор прямых, делящих плоскость на несколько областей. Назовем этот набор хорошим для данной колумбийской конфигурации точек, если выполнены следующие два условия:

• никакая прямая не проходит ни через одну из точек конфигурации;
• никакая область разбиения не содержит точек обоих цветов.

Найдите наименьшее \(k\) такое, что для любой колумбийской конфигурации из 4027 точек найдется хороший набор из \(k\) прямых.

Решение →

Задача 3

Пусть вневписанная окружность треугольника \(ABC\), лежащая напротив вершины \(A\), касается стороны \(BC\) в точке \(A_1\). Точки \(B_1\) на стороне \(CA\) и \(C_1\) на стороне \(AB\) определяются аналогичным образом с использованием вневписанных окружностей, лежащих напротив вершин \(B\) и \(C\), соответственно. Известно, что центр описанной окружности треугольника \(A_1B_1C_1\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\). Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.

Вневписанной окружностью треугольника \(ABC\), лежащей напротив вершины \(A\), называется окружность, которая касается отрезка \(BC\), продолжения стороны \(AB\) за точку \(B\) и продолжения стороны \(AC\) за точку \(C\). Вневписанные окружности, лежащие напротив вершин \(B\) и \(C\), определяются аналогично.

Решение →

Задача 4

Пусть \(H\) — точка пересечения высот остроугольного треугольника \(ABC\). Пусть \(W\) — произвольная точка на отрезке \(BC\), отличная от точек \(B\) и \(C\). Обозначим через \(M\) и \(N\) основания высот треугольника \(ABC\), проведенных из вершин \(B\) и \(C\), соответственно. Пусть \(\omega_1\) — окружность, описанная около треугольника \(BWN\), а \(X\) — такая точка на \(\omega_1\), что \(WX\) — диаметр \(\omega_1\). Аналогично, пусть \(\omega_2\) — окружность, описанная около треугольника \(CWM\), и \(Y\) — такая точка на \(\omega_2\), что \(WY\) — диаметр \(\omega_2\). Докажите, что точки \(X\), \(Y\) и \(H\) лежат на одной прямой.

Решение →

Задача 5

Обозначим через \(\mathbb{Q}_{>0}\) множество всех положительных рациональных чисел. Пусть \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}\) — функция, удовлетворяющая следующим трем условиям:

(i) для всех \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) выполнено неравенство \(f(x)f(y)\ge f(xy)\);

(ii) для всех \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) выполнено неравенство \(f(x+y)\ge f(x)+f(y)\);

(iii) существует рациональное число \(a>1\) такое, что \(f(a)=a\).

Докажите, что \(f(x)=x\) для всех \(x\in\mathbb{Q}_{>0}\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(n\ge 3\) — целое число. Рассмотрим окружность и \(n+1\) точек на ней, разбивающих ее на равные дуги. Рассмотрим все способы пометить эти точки числами \(0,1,\ldots,n\), так, что каждое число использовано ровно один раз. Два способа, отличающихся поворотом, считаются одинаковыми. Способ пометки называется красивым, если для любых четырех меток \(a<b<c<d\) таких, что \(a+d=b+c\), хорда, соединяющая точки с метками \(a\) и \(d\), не пересекает хорду, соединяющую точки с метками \(b\) и \(c\).

Пусть \(M\) — количество красивых способов пометки. Пусть \(N\) — количество упорядоченных пар \((x,y)\) натуральных чисел, удовлетворяющих условиям \(x+y\le n\) и \(\operatorname{НОД}(x,y)=1\). Докажите, что \[ M=N+1. \]

Решение →

المسألة 1

لكلّ عددين صحيحين موجبين \(k\) و \(n\) ، أثبت وجود \(k\) من الأعداد الصّحيحة الموجبة \(m_1,m_2,\ldots,m_k\) (ليست بالضّرورة مختلفة) تحقّق \[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]

← الحل

المسألة 2

لدينا تشكيلة مكوّنة من \(4027\) نقطة في المستوي. تسمّى هذه التّشكيلة كولومبيّة إذا كانت \(2013\) من نقطها حمراء، و \(2014\) من نقطها زرقاء، ولا تكون أيّ ثلاث نقاط من التّشكيلة على استقامة واحدة. يمكن تقسيم المستوي إلى مناطق بواسطة خطوط مستقيمة. يوصف هذا التّقسيم بالخطوط المستقيمة للتّشكيلة الكولومبيّة بأنّه جيّد إذا تحقّق فيه ما يلي:

• لا يمرّ أيّ من الخطوط المستقيمة بأيّ نقطة من التّشكيلة.
• لا تحوي أيّ من المناطق على نقطتين بلونين مختلفين.

جد أصغر قيمة للعدد \(k\) بحيث يوجد لأيّ تشكيلة كولومبيّة من \(4027\) نقطة، تقسيم جيّد بواسطة \(k\) من الخطوط المستقيمة.

← الحل

المسألة 3

في المثلّث \(ABC\) ، الدّائرة الخارجيّة المقابلة للرّأس \(A\) تمسّ الضّلع \(BC\) في النقطة \(A_1\) . النقطتان، \(B_1\) على الضّلع \(CA\) ، و \(C_1\) على الضّلع \(AB\) ، معرّفتان بطريقة مماثلة، باستعمال الدّائرتين الخارجيّتين المقابلتين للرّأسين \(B\) و \(C\) على التّرتيب. لنفرض أنّ مركز الدّائرة المحيطة بالمثلّث \(A_1B_1C_1\) يقع على الدّائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) . أثبت أنّ المثلّث \(ABC\) قائم الزّاوية.

(الدّائرة الخارجيّة للمثلّث \(ABC\) والمقابلة للرّأس \(A\) هي الدّائرة التي تمسّ كلا من الضّلع \(BC\) ، وامتداد الضلع \(AB\) من جهة \(B\) وامتداد الضلع \(AC\) من جهة \(C\) . الدّائرتان الخارجيّتان المقابلتان للرّأسين \(B\) و \(C\) معرّفتان بنفس الطريقة.)

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABC\) مثلّثا حاد الزّاوية، و \(H\) نقطة التقاء ارتفاعاته. النقطة \(W\) تقع على الضّلع \(BC\) ، وهي مختلفة عن \(B\) و \(C\) . النقطتان \(M\) و \(N\) هما قدما الارتفاعين النّازلين من \(B\) و \(C\) على التّرتيب. الدّائرة \(\omega_1\) هي الدّائرة المحيطة بالمثلّث \(BWN\) ، و \(X\) نقطة على الدّائرة \(\omega_1\) بحيث يكون \(WX\) قطرا للدّائرة \(\omega_1\) . بالمثل، \(\omega_2\) هي الدّائرة المحيطة بالمثلّث \(CWM\) ، و \(Y\) نقطة على الدّائرة \(\omega_2\) بحيث يكون \(WY\) قطرا للدّائرة \(\omega_2\) . أثبت أنّ النقط \(X\) و \(Y\) و \(H\) على استقامة واحدة.

← الحل

المسألة 5

لتكن \(\mathbb{Q}_{>0}\) مجموعة الأعداد النسبية الموجبة. الدّالّة \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}\) تحقّق الشّروط الثّلاثة التّالية:

(i) لكلّ \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) ، لدينا \(f(x).f(y)\ge f(xy)\) ؛

(ii) لكلّ \(x,y\in\mathbb{Q}_{>0}\) ، لدينا \(f(x+y)\ge f(x)+f(y)\) ؛

(iii) يوجد عدد نسبي \(a>1\) يحقّق \(f(a)=a\) .

برهن أنّ \(f(x)=x\) لكلّ \(x\in\mathbb{Q}_{>0}\) .

← الحل

المسألة 6

ليكن \(n\ge 3\) عددا صحيحا. لدينا \(n+1\) نقطة موزّعة بطريقة منتظمة على دائرة. لنعتبر كلّ التّرقيمات الممكنة لهذه النقط بواسطة الأعداد \(0\) ، \(1\) ، \(\ldots\) ، \(n\) بحيث يُستخدم كلّ عدد مرّة واحدة. نعتبر التّرقيمين متطابقين إذا أمكننا الحصول على أحدهما من الآخر بواسطة دوران حول مركز الدائرة. يقال عن ترقيم إنّه جميل إذا كان لكلّ أربع نقط مرقّمة بالأعداد \(a<b<c<d\) التي تحقّق \(a+d=b+c\) ، الوتر الواصل بين النّقطتين المرقّمتين بالعددين \(a\) و \(d\) ، لا يقطع الوتر الواصل بين النّقطتين المرقّمتين بالعددين \(b\) و \(c\) .

ليكن \(M\) عدد التّرقيمات الجميلة غير المتطابقة، و \(N\) عدد الأزواج المرتّبة \((x,y)\) من الأعداد الصّحيحة الموجبة بحيث \(x+y\le n\) و \(\gcd(x,y)=1\) . أثبت أنّ \[ M=N+1. \]

← الحل