Problem 1

Let \(a_0<a_1<a_2<\cdots\) be an infinite sequence of positive integers. Prove that there exists a unique integer \(n\geq 1\) such that \[ a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\leq a_{n+1}. \]

Solution →

Problem 2

Let \(n \ge 2\) be an integer. Consider an \(n \times n\) chessboard consisting of \(n^2\) unit squares. A configuration of \(n\) rooks on this board is peaceful if every row and every column contains exactly one rook. Find the greatest positive integer \(k\) such that, for each peaceful configuration of \(n\) rooks, there is a \(k \times k\) square which does not contain a rook on any of its \(k^2\) unit squares.

Solution →

Problem 3

Convex quadrilateral \(ABCD\) has \(\angle ABC=\angle CDA=90^\circ\). Point \(H\) is the foot of the perpendicular from \(A\) to \(BD\). Points \(S\) and \(T\) lie on sides \(AB\) and \(AD\), respectively, such that \(H\) lies inside triangle \(SCT\) and \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ. \] Prove that line \(BD\) is tangent to the circumcircle of triangle \(TSH\).

Solution →

Problem 4

Points \(P\) and \(Q\) lie on side \(BC\) of acute-angled triangle \(ABC\) so that \(\angle PAB = \angle BCA\) and \(\angle CAQ = \angle ABC\). Points \(M\) and \(N\) lie on lines \(AP\) and \(AQ\), respectively, such that \(P\) is the midpoint of \(AM\), and \(Q\) is the midpoint of \(AN\). Prove that lines \(BM\) and \(CN\) intersect on the circumcircle of triangle \(ABC\).

Solution →

Problem 5

For each positive integer \(n\), the Bank of Cape Town issues coins of denomination \(\frac{1}{n}\). Given a finite collection of such coins (of not necessarily different denominations) with total value at most \(99+\frac{1}{2}\), prove that it is possible to split this collection into 100 or fewer groups, such that each group has total value at most 1.

Solution →

Problem 6

A set of lines in the plane is in general position if no two are parallel and no three pass through the same point. A set of lines in general position cuts the plane into regions, some of which have finite area; we call these its finite regions. Prove that for all sufficiently large \(n\), in any set of \(n\) lines in general position it is possible to colour at least \(\sqrt{n}\) of the lines blue in such a way that none of its finite regions has a completely blue boundary.

Note: Results with \(\sqrt{n}\) replaced by \(c\sqrt{n}\) will be awarded points depending on the value of the constant \(c\).

Solution →

Aufgabe 1

Es sei \(a_0<a_1<a_2<\cdots\) eine unendliche Folge positiver ganzer Zahlen. Man beweise, dass es genau eine ganze Zahl \(n\geq 1\) gibt, für die \[ a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\leq a_{n+1} \] gilt.

Lösung →

Aufgabe 2

Es sei \(n\geq 2\) eine ganze Zahl. Gegeben sei ein \(n\times n\) Schachbrett bestehend aus \(n^2\) Einheitsquadraten. Eine Konfiguration von \(n\) Türmen auf diesem Brett heiße friedlich, falls jede Zeile und jede Spalte genau einen Turm enthält. Man bestimme die größte positive ganze Zahl \(k\), sodass man für jede friedliche Konfiguration von \(n\) Türmen ein \(k\times k\) Quadrat ohne einen Turm auf einem seiner \(k^2\) Einheitsquadrate finden kann.

Lösung →

Aufgabe 3

Es sei \(ABCD\) ein konvexes Viereck mit \(\angle ABC=\angle CDA=90^\circ\). Der Punkt \(H\) sei der Lotfußpunkt von \(A\) auf \(BD\). Die Punkte \(S\) und \(T\) befinden sich so auf den Seiten \(AB\) bzw. \(AD\), dass \(H\) im Inneren des Dreiecks \(SCT\) liegt und \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ \] gilt. Man beweise, dass die Gerade \(BD\) eine Tangente an den Umkreis des Dreiecks \(TSH\) ist.

Lösung →

Aufgabe 4

Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen so auf der Seite \(BC\) eines spitzwinkligen Dreiecks \(ABC\), dass \(\angle PAB=\angle BCA\) und \(\angle CAQ=\angle ABC\) gilt. Die Punkte \(M\) und \(N\) auf den Geraden \(AP\) bzw. \(AQ\) seien so gewählt, dass \(P\) der Mittelpunkt von \(AM\) ist und \(Q\) der Mittelpunkt von \(AN\) ist. Man beweise, dass sich die Geraden \(BM\) und \(CN\) auf dem Umkreis des Dreiecks \(ABC\) schneiden.

Lösung →

Aufgabe 5

Für jede positive ganze Zahl \(n\) gibt die Bank von Kapstadt Münzen mit dem Wert \(\frac{1}{n}\) heraus. Eine gewisse endliche Anzahl von Münzen (mit nicht notwendigerweise verschiedenen Werten) habe einen Gesamtwert von höchstens \(99+\frac{1}{2}\). Man beweise, dass man diese Münzen in höchstens 100 Gruppen aufteilen kann, jede mit einem Gesamtwert von höchstens 1.

Lösung →

Aufgabe 6

Eine Menge von Geraden in der Ebene ist in allgemeiner Lage, falls keine zwei Geraden parallel sind und keine drei einen gemeinsamen Punkt haben. Eine Menge von Geraden in allgemeiner Lage teilt die Ebene in Bereiche auf. Diejenigen dieser Bereiche, die eine endliche Fläche besitzen, nennen wir endliche Bereiche. Man beweise für alle hinreichend große \(n\), dass es für jede Menge von \(n\) Geraden in allgemeiner Lage möglich ist, mindestens \(\sqrt n\) der Geraden blau zu färben, sodass keiner ihrer endlichen Bereiche komplett blau umrandet ist.

Hinweis: Falls die Behauptung für \(c\sqrt n\) statt \(\sqrt n\) bewiesen wird, werden, abhängig von der Konstanten \(c\), Punkte vergeben.

Lösung →

Soru 1

\(a_0<a_1<a_2<\cdots\) sonsuz pozitif tam sayılar dizisi olsun. Tam olarak bir tane \(n\geq 1\) tam sayısı için \[ a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\leq a_{n+1} \] olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

\(n\geq 2\) bir tam sayı olmak üzere, \(n^2\) birim kareden oluşan \(n\times n\) satranç tahtası verilmiştir. \(n\) kalenin; her satırda ve her sütunda tam olarak bir kale olmak üzere, bu satranç tahtasına yerleşimine barışçıl konfigürasyon diyelim. \(k\) nın en büyük hangi pozitif tam sayı değeri için; \(n\) kalenin her barışçıl konfigürasyonunda, üzerinde kale olmayan bir \(k\times k\) karesi bulunur (yani bu \(k\times k\) karesinin toplam sayısı \(k^2\) olan birim karelerinin hiçbirinde kale yoktur)?

Çözüm →

Soru 3

Bir \(ABCD\) konveks dörtgeninde \(\angle ABC=\angle CDA=90^\circ\) dir. \(A\) dan \(BD\) ye çizilen dikmenin ayağı \(H\) olsun. \(S\) ve \(T\) noktaları sırasıyla \([AB]\) ve \([AD]\) kenarları üzerinde olmak üzere, \(H\) noktası \(SCT\) üçgeninin içinde ve \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ \] ise, \(BD\) doğrusunun \(TSH\) üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 4

Dar açılı bir \(ABC\) üçgeninin \([BC]\) kenarı üzerindeki \(P\) ve \(Q\) noktaları için \(\angle PAB=\angle BCA\) ve \(\angle CAQ=\angle ABC\) dir. \(M\) ve \(N\) noktaları sırasıyla \(AP\) ve \(AQ\) doğruları üstünde olmak üzere, \(P\) noktası \([AM]\) nin ve \(Q\) noktası \([AN]\) nin orta noktasıdır. \(BM\) ve \(CN\) doğrularının \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberi üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

Cape Town bankası her \(n\) pozitif tam sayısı için değeri \(\frac{1}{n}\) olan madeni paralar basmaktadır. Sonlu sayıda madeni paradan oluşan ve toplam değeri en fazla \(99+\frac{1}{2}\) olan her madeni para koleksiyonunu (koleksiyonda değerleri aynı olan madeni paralar da bulunabilir) her birinin toplam değeri en fazla \(1\) olan \(100\) veya daha az sayıda gruba ayırabileceğimizi kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

Düzlemde herhangi ikisi paralel olmayan ve herhangi üçü noktadaş olmayan doğrulara genel durum özelliği olan doğrular diyelim. Genel durum özelliği olan doğrular, düzlemi bazılarının alanları sonlu olan bölgelere ayırıyor; alanı sonlu olan her bölgeye sonlu bölge diyelim. \(n\) nin yeterince büyük tüm değerleri için, genel durum özelliği olan herhangi \(n\) doğrunun en az \(\sqrt{n}\) tanesinin mavi renge; hiçbir sonlu bölgenin tüm sınırları mavi olmayacak biçimde boyanabileceğini gösteriniz.

Not: Soruyu \(\sqrt{n}\) yerine \(c\sqrt{n}\) için çözenlere \(c\) sabitinin değerine göre puan verilecektir.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(a_0<a_1<a_2<\cdots\) una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero \(n\geq 1\) tal que \[ a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\leq a_{n+1}. \]

Solución →

Problema 2

Sea \(n\geq 2\) un entero. Consideremos un tablero de tamaño \(n\times n\) formado por \(n^2\) cuadrados unitarios. Una configuración de \(n\) fichas en este tablero se dice que es pacífica si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Hallar el mayor entero positivo \(k\) tal que, para cada configuración pacífica de \(n\) fichas, existe un cuadrado de tamaño \(k\times k\) sin fichas en sus \(k^2\) cuadrados unitarios.

Solución →

Problema 3

En el cuadrilátero convexo \(ABCD\), se tiene \(\angle ABC=\angle CDA=90^\circ\). La perpendicular a \(BD\) desde \(A\) corta a \(BD\) en el punto \(H\). Los puntos \(S\) y \(T\) están en los lados \(AB\) y \(AD\), respectivamente, y son tales que \(H\) está dentro del triángulo \(SCT\) y \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ. \] Demostrar que la recta \(BD\) es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo \(TSH\).

Solución →

Problema 4

Los puntos \(P\) y \(Q\) están en el lado \(BC\) del triángulo acutángulo \(ABC\) de modo que \(\angle PAB=\angle BCA\) y \(\angle CAQ=\angle ABC\). Los puntos \(M\) y \(N\) están en las rectas \(AP\) y \(AQ\), respectivamente, de modo que \(P\) es el punto medio de \(AM\), y \(Q\) es el punto medio de \(AN\). Demostrar que las rectas \(BM\) y \(CN\) se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\).

Solución →

Problema 5

Para cada entero positivo \(n\), el Banco de Ciudad del Cabo produce monedas de valor \(\frac{1}{n}\). Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor total no supera \(99+\frac{1}{2}\), demostrar que es posible separar esta colección en 100 o menos montones, de modo que el valor total de cada montón sea como máximo 1.

Solución →

Problema 6

Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos que sean paralelas ni tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general separa el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas. Demostrar que para cada \(n\) suficientemente grande, en cualquier conjunto de \(n\) rectas en posición general es posible colorear de azul al menos \(\sqrt{n}\) de ellas de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga todos los lados de su frontera azules.

Nota: A las soluciones que reemplacen \(\sqrt{n}\) por \(c\sqrt{n}\) se les otorgarán puntos dependiendo del valor de \(c\).

Solución →

问题 1

设 \(a_0<a_1<a_2<\cdots\) 是一个无穷正整数列. 证明: 存在惟一的整数 \(n\geq 1\) 使得 \[ a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\leq a_{n+1}. \]

解答 →

问题 2

设 \(n\geq 2\) 是一个整数. 考虑由 \(n^2\) 个单位正方形组成的一个 \(n\times n\) 棋盘. 一种放置 \(n\) 个棋子 “车” 的方案被称为是 和平的, 如果每一行和每一列上都恰好有一个 “车”. 求最大的正整数 \(k\), 使得对于任何一种和平放置 \(n\) 个 “车” 的方案, 都存在一个 \(k\times k\) 的正方形, 它的 \(k^2\) 个单位正方形里都没有 “车”.

解答 →

问题 3

在凸四边形 \(ABCD\) 中, \(\angle ABC=\angle CDA=90^\circ\). 点 \(H\) 是 \(A\) 向 \(BD\) 引的垂线的垂足. 点 \(S\) 和点 \(T\) 分别在边 \(AB\) 和边 \(AD\) 上, 使得 \(H\) 在三角形 \(SCT\) 内部, 且 \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ. \] 证明: 直线 \(BD\) 和三角形 \(TSH\) 的外接圆相切.

解答 →

问题 4

点 \(P\) 和 \(Q\) 在锐角三角形 \(ABC\) 的边 \(BC\) 上, 满足 \(\angle PAB=\angle BCA\) 且 \(\angle CAQ=\angle ABC\). 点 \(M\) 和 \(N\) 分别在直线 \(AP\) 和 \(AQ\) 上, 使得 \(P\) 是 \(AM\) 的中点, 且 \(Q\) 是 \(AN\) 的中点. 证明: 直线 \(BM\) 和 \(CN\) 的交点在三角形 \(ABC\) 的外接圆上.

解答 →

问题 5

对每一个正整数 \(n\), 开普敦银行都发行面值为 \(\frac{1}{n}\) 的硬币. 给定总额不超过 \(99+\frac{1}{2}\) 的有限多个这样的硬币 (面值不必两两不同), 证明可以把它们分为至多 \(100\) 组, 使得每一组中硬币的面值之和最多是 \(1\).

解答 →

问题 6

平面上的一族直线被称为是 处于一般位置的, 如果其中没有两条直线平行, 没有三条直线共点. 一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域, 我们把其中面积有限的区域称为这族直线的 有限区域. 证明: 对于充分大的 \(n\) 和任意处于一般位置的 \(n\) 条直线, 我们都可以把其中至少 \(\sqrt n\) 条直线染成蓝色, 使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注: 如果你的答卷上证明的是 \(c\sqrt n\)(而不是 \(\sqrt n\)) 的情形, 那么将会根据常数 \(c\) 的值给分.

解答 →

Задача 1

Пусть \(a_0<a_1<a_2<\ldots\) — бесконечная последовательность целых положительных чисел. Докажите, что существует единственное целое число \(n\geq1\) такое, что \[ a_n<\frac{a_0+a_1+\ldots+a_n}{n}\leq a_{n+1}. \]

Решение →

Задача 2

Пусть \(n\geq2\) — целое число. Дана шахматная доска \(n\times n\), состоящая из \(n^2\) единичных клеток. Расстановка \(n\) ладей в клетках этой доски называется мирной, если в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду находится ровно по одной ладье. Найдите наибольшее целое положительное \(k\) такое, что для каждой мирной расстановки \(n\) ладей найдётся клетчатый квадрат \(k\times k\), ни в одной из \(k^2\) клеток которого нет ладьи.

Решение →

Задача 3

Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(\angle ABC=\angle CDA=90^\circ\). Точка \(H\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на прямую \(BD\). Точки \(S\) и \(T\) выбраны на отрезках \(AB\) и \(AD\) соответственно так, что точка \(H\) находится внутри треугольника \(SCT\), и выполнены равенства \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ. \]

Докажите, что прямая \(BD\) касается окружности, описанной около треугольника \(TSH\).

Решение →

Задача 4

Точки \(P\) и \(Q\) выбраны на стороне \(BC\) остроугольного треугольника \(ABC\) так, что \(\angle PAB=\angle BCA\) и \(\angle CAQ=\angle ABC\). Точки \(M\) и \(N\) выбраны на прямых \(AP\) и \(AQ\) соответственно так, что \(P\) — середина отрезка \(AM\), а \(Q\) — середина отрезка \(AN\). Докажите, что прямые \(BM\) и \(CN\) пересекаются на окружности, описанной около треугольника \(ABC\).

Решение →

Задача 5

Банк Кейптауна выпускает монеты номиналом \(\frac{1}{n}\) для каждого целого положительного числа \(n\). Дан конечный набор таких монет, сумма номиналов которых не превосходит \(99+\frac{1}{2}\) (номиналы монет не обязательно различны). Докажите, что все монеты этого набора можно разбить на 100 или меньшее число групп так, чтобы сумма номиналов монет в каждой группе не превышала 1.

Решение →

Задача 6

Будем говорить, что прямые на плоскости являются прямыми общего положения, если никакие две из них не параллельны и никакие три из них не проходят через одну точку. Любые несколько прямых общего положения разбивают плоскость на части; ограниченными частями разбиения будем называть те из частей, которые имеют конечную площадь. Докажите, что для всех достаточно больших \(n\) верно следующее утверждение: в каждом множестве из \(n\) прямых общего положения можно покрасить не менее \(\sqrt n\) прямых в синий цвет так, чтобы граница любой из ограниченных частей разбиения не оказалась полностью синей.

Замечание: за доказательство утверждения задачи, в котором \(\sqrt n\) заменено на \(c\sqrt n\), будут начисляться баллы, в зависимости от константы \(c\).

Решение →

المسألة 1

لتكن \(a_0<a_1<a_2<\cdots\) متتالية غير منتهية من الأعداد الصحيحة الموجبة. برهن أنّ هناك عددا صحيحا وحيدا \(n\geq 1\) بحيث \[ a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\leq a_{n+1}. \]

← الحل

المسألة 2

ليكن \(n\geq 2\) عددا صحيحا. لدينا طاولة شطرنج من القياس \(n\times n\) مشتملة على \(n^2\) من الخانات. يقال عن تشكيلة مكوّنة من \(n\) حجرا على خانات هذه الطاولة إنّها مسالمة إذا كان كلّ صفّ وكلّ عمود يحوي حجرا واحدا فقط. جد أكبر عدد صحيح \(k\) بحيث، لكلّ تشكيلة مسالمة من \(n\) حجرا، يوجد مربّع من القياس \(k\times k\) لا يحوي على حجر في أيّ من خاناته الّتي عددها \(k^2\).

← الحل

المسألة 3

لدينا رباعي محدّب \(ABCD\) فيه \(\angle ABC=\angle CDA=90^\circ\). النقطة \(H\) هي قدم العمود النّازل من \(A\) على \(BD\). تقع النقطتان \(S\) و \(T\) على الضلعين \(AB\) و \(AD\)، على الترتيب، بحيث تقع النقطة \(H\) داخل المثلث \(SCT\) و \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ. \] برهن أنّ المستقيم \(BD\) يمسّ الدائرة المحيطة بالمثلّث \(TSH\).

← الحل

المسألة 4

تقع النقطتان \(P\) و \(Q\) على الضلع \(BC\) للمثلّث الحادّ الزوايا \(ABC\) بحيث \(\angle PAB=\angle BCA\) و \(\angle CAQ=\angle ABC\). النقطتان \(M\) و \(N\) تقعان على المستقيمين \(AP\) و \(AQ\)، على الترتيب، بحيث تجعلان النقطة \(P\) منتصف \(AM\)، والنقطة \(Q\) منتصف \(AN\). أثبت أنّ المستقيمين \(BM\) و \(CN\) يتقاطعان على الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\).

← الحل

المسألة 5

لكلّ عدد صحيح موجب \(n\)، يُصدر بنك كايب تاون قطعا نقديّة قيمتها \(\frac{1}{n}\). إذا كان لدينا عدد منته من هذه القطع النّقديّة (ليست بالضّرورة مختلفة القيم) بحيث يكون مجموع قيمها هو \(99+\frac{1}{2}\) على الأكثر، أثبت إمكانيّة توزيع هذه القطع النّقديّة إلى \(100\) حفنة أو أقلّ، بحيث لا تزيد قيمة كلّ حفنة على \(1\).

← الحل

المسألة 6

يقال عن مجموعة مستقيمات في المستوى إنّها في الوضع العام إذا لم يتواز أيّ مستقيمين فيها ولم يتقاطع أيّ ثلاث مستقيمات فيها في نقطة واحدة. تُجزّئ أيّ مجموعة من المستقيمات في الوضع العام المستوى إلى مناطق تكون مساحة بعضها منتهية. نشير إلى هذه المناطق على أنّها مناطق منتهية. برهن أنّه لكلّ عدد \(n\)، كبير بما فيه الكفاية، يمكننا التلوين بالأزرق \(\sqrt{n}\) مستقيما على الأقل وذلك في أيّ مجموعة مكوّنة من \(n\) مستقيما في الوضع العام، بحيث لا توجد منطقة منتهية جميع حدودها مستقيمات زرقاء.

ملاحظة: تعطى درجات لمن يحصل على \(c\sqrt{n}\) بدلا من \(\sqrt{n}\) وذلك اعتمادا على قيمة الثابت \(c\).

← الحل