Problem 1

We say that a finite set \(S\) of points in the plane is balanced if, for any two different points \(A\) and \(B\) in \(S\), there is a point \(C\) in \(S\) such that \(AC = BC\). We say that \(S\) is centre-free if for any three different points \(A\), \(B\) and \(C\) in \(S\), there is no point \(P\) in \(S\) such that \(PA = PB = PC\).

(a) Show that for all integers \(n \geq 3\), there exists a balanced set consisting of \(n\) points.

(b) Determine all integers \(n \geq 3\) for which there exists a balanced centre-free set consisting of \(n\) points.

Solution →

Problem 2

Determine all triples \((a,b,c)\) of positive integers such that each of the numbers \[ ab-c,\qquad bc-a,\qquad ca-b \] is a power of 2.

(A power of 2 is an integer of the form \(2^n\), where \(n\) is a non-negative integer.)

Solution →

Problem 3

Let \(ABC\) be an acute triangle with \(AB > AC\). Let \(\Gamma\) be its circumcircle, \(H\) its orthocentre, and \(F\) the foot of the altitude from \(A\). Let \(M\) be the midpoint of \(BC\). Let \(Q\) be the point on \(\Gamma\) such that \(\angle HQA = 90^\circ\), and let \(K\) be the point on \(\Gamma\) such that \(\angle HKQ = 90^\circ\). Assume that the points \(A, B, C, K\) and \(Q\) are all different, and lie on \(\Gamma\) in this order.

Prove that the circumcircles of triangles \(KQH\) and \(FKM\) are tangent to each other.

Solution →

Problem 4

Triangle \(ABC\) has circumcircle \(\Omega\) and circumcentre \(O\). A circle \(\Gamma\) with centre \(A\) intersects the segment \(BC\) at points \(D\) and \(E\), such that \(B\), \(D\), \(E\) and \(C\) are all different and lie on line \(BC\) in this order. Let \(F\) and \(G\) be the points of intersection of \(\Gamma\) and \(\Omega\), such that \(A\), \(F\), \(B\), \(C\) and \(G\) lie on \(\Omega\) in this order. Let \(K\) be the second point of intersection of the circumcircle of triangle \(BDF\) and the segment \(AB\). Let \(L\) be the second point of intersection of the circumcircle of triangle \(CGE\) and the segment \(CA\).

Suppose that the lines \(FK\) and \(GL\) are different and intersect at the point \(X\). Prove that \(X\) lies on the line \(AO\).

Solution →

Problem 5

Let \(\mathbb{R}\) be the set of real numbers. Determine all functions \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfying the equation \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) \] for all real numbers \(x\) and \(y\).

Solution →

Problem 6

The sequence \(a_1,a_2,\ldots\) of integers satisfies the following conditions:

(i) \(1 \leq a_j \leq 2015\) for all \(j \geq 1\);

(ii) \(k+a_k \neq \ell+a_\ell\) for all \(1 \leq k < \ell\).

Prove that there exist two positive integers \(b\) and \(N\) such that \[ \left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right| \leq 1007^2 \] for all integers \(m\) and \(n\) satisfying \(n>m\geq N\).

Solution →

Aufgabe 1

Wir nennen eine endliche Menge \(S\) von Punkten in der Ebene balanciert, falls es zu je zwei verschiedenen Punkten \(A\) und \(B\) aus \(S\) einen Punkt \(C\) in \(S\) mit \(AC = BC\) gibt. Wir bezeichnen \(S\) als zentrumsfrei, wenn es für keine paarweise verschiedenen Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) aus \(S\) einen Punkt \(P\) in \(S\) mit \(PA = PB = PC\) gibt.

(a) Man zeige, dass für jedes \(n \geq 3\) eine balancierte Menge von \(n\) Punkten existiert.

(b) Man bestimme alle ganzen Zahlen \(n \geq 3\), für die eine balancierte zentrumsfreie Menge von \(n\) Punkten existiert.

Lösung →

Aufgabe 2

Man bestimme alle Tripel \((a,b,c)\) positiver ganzer Zahlen, sodass jede der Zahlen \[ ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b \] eine Zweierpotenz ist.

(Eine Zweierpotenz ist eine ganze Zahl der Form \(2^n\), wobei \(n\) eine nichtnegative ganze Zahl ist.)

Lösung →

Aufgabe 3

Es sei \(ABC\) ein spitzwinkliges Dreieck mit \(AB > AC\). Es seien \(\Gamma\) sein Umkreis, \(H\) sein Höhenschnittpunkt und \(F\) der Höhenfußpunkt von \(A\). Ferner sei \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\). Es bezeichne \(Q\) den Punkt auf \(\Gamma\) mit \(\angle HQA = 90^\circ\) und \(K\) den Punkt auf \(\Gamma\) mit \(\angle HKQ = 90^\circ\). Dabei sei angenommen, dass die Punkte \(A, B, C, K\) und \(Q\) paarweise verschieden sind und in dieser Reihenfolge auf \(\Gamma\) liegen.

Man beweise, dass sich die Umkreise der Dreiecke \(KQH\) und \(FKM\) berühren.

Lösung →

Aufgabe 4

Das Dreieck \(ABC\) hat den Umkreis \(\Omega\) und den Umkreismittelpunkt \(O\). Ein Kreis \(\Gamma\) mit Mittelpunkt \(A\) schneidet die Strecke \(BC\) in den Punkten \(D\) und \(E\), sodass \(B\), \(D\), \(E\) und \(C\) alle verschieden sind und in dieser Reihenfolge auf der Geraden \(BC\) liegen. Es seien \(F\) und \(G\) die Schnittpunkte von \(\Gamma\) und \(\Omega\), sodass \(A\), \(F\), \(B\), \(C\) und \(G\) in dieser Reihenfolge auf \(\Omega\) liegen. Ferner sei \(K\) der zweite Schnittpunkt des Umkreises des Dreiecks \(BDF\) mit der Strecke \(AB\). Außerdem sei \(L\) der zweite Schnittpunkt des Umkreises des Dreiecks \(CGE\) mit der Strecke \(CA\).

Es sei angenommen, dass die Geraden \(FK\) und \(GL\) verschieden sind und sich im Punkt \(X\) schneiden. Man beweise, dass \(X\) auf der Geraden \(AO\) liegt.

Lösung →

Aufgabe 5

Es sei \(\mathbb{R}\) die Menge der reellen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), die die Gleichung \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) \] für alle reellen Zahlen \(x\) und \(y\) erfüllen.

Lösung →

Aufgabe 6

Die Folge \(a_1,a_2,\ldots\) ganzer Zahlen genügt den folgenden Bedingungen:

(i) \(1 \leq a_j \leq 2015\) für alle \(j \geq 1\);

(ii) \(k+a_k \neq \ell+a_\ell\) für alle \(1 \leq k < \ell\).

Man beweise, dass es zwei positive ganze Zahlen \(b\) und \(N\) derart gibt, dass \[ \left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right| \leq 1007^2 \] für alle ganzen Zahlen \(m\) und \(n\) mit \(n>m\geq N\) erfüllt ist.

Lösung →

Soru 1

Düzlemin sonlu sayıda noktasından oluşan bir \(S\) kümesindeki herhangi iki farklı \(A\) ve \(B\) noktaları alındığında; \(|AC|=|BC|\) olacak şekilde, \(S\) nin elemanı olan bir \(C\) noktası bulunabiliyorsa, \(S\) kümesine dengeli diyelim. \(S\) deki herhangi üç birbirinden farklı \(A\), \(B\) ve \(C\) noktaları alındığında; \(|PA|=|PB|=|PC|\) olacak şekilde, \(S\) nin elemanı olan bir \(P\) noktası bulunamıyorsa, \(S\) kümesine merkezsiz diyelim.

(a) Her \(n\geq 3\) tam sayısı için, \(n\) noktadan oluşan dengeli bir küme bulunduğunu gösteriniz.

(b) Hangi \(n\geq 3\) tam sayıları için, \(n\) noktadan oluşan dengeli ve merkezsiz bir küme bulunabilir?

Çözüm →

Soru 2

\(a,b,c\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \[ ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b \] sayılarının her birinin \(2\) nin tam kuvveti olmasını sağlayan tüm \((a,b,c)\) üçlülerini bulunuz.

(\(n\) negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere, \(2^n\) şeklindeki sayılara \(2\) nin tam kuvveti deniyor.)

Çözüm →

Soru 3

\(|AB|>|AC|\) koşulunu sağlayan bir \(ABC\) dar açılı üçgeninin çevrel çemberi \(\Gamma\), diklik merkezi \(H\), \(A\) dan geçen yüksekliğinin ayağı ise \(F\) olsun. \([BC]\) nin orta noktasına \(M\) diyelim. \(\Gamma\) çemberi üzerinde \(\angle HQA=90^\circ\) olacak şekilde bir \(Q\) ve yine \(\Gamma\) çemberi üzerinde \(\angle HKQ=90^\circ\) olacak şekilde bir \(K\) noktası alınıyor. \(A\), \(B\), \(C\), \(K\) ve \(Q\) noktalarının birbirlerinden farklı oldukları ve \(\Gamma\) üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor.

\(KQH\) ve \(FKM\) üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirlerine teğet olduklarını gösteriniz.

Çözüm →

Soru 4

Bir \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberi \(O\) merkezli \(\Omega\) çemberidir. \(A\) merkezli bir \(\Gamma\) çemberi \([BC]\) kenarını \(D\) ve \(E\) noktalarında kesiyor. \(B\), \(D\), \(E\) ve \(C\) noktalarının birbirlerinden farklı oldukları ve \(BC\) doğrusu üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor. \(\Gamma\) ve \(\Omega\) çemberlerinin kesişim noktaları \(F\) ve \(G\) olmak üzere \(A\), \(F\), \(B\), \(C\) ve \(G\) noktalarının \(\Omega\) üzerinde yazıldıkları sırada bulundukları varsayılıyor. \(BDF\) üçgeninin çevrel çemberi \([AB]\) kenarını ikinci kez \(K\) noktasında kesiyor. \(CGE\) üçgeninin çevrel çemberi ise \([CA]\) kenarını ikinci kez \(L\) noktasında kesiyor.

\(FK\) ve \(GL\) doğrularının farklı olduklarını ve bir \(X\) noktasında kesiştiklerini varsayalım. Bu \(X\) noktasının \(AO\) doğrusu üzerinde bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

Gerçel sayılar kümesini \(\mathbb{R}\) ile gösterelim. Tüm \(x\) ve \(y\) gerçel sayıları için \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) \] koşulunu sağlayan tüm \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 6

Tam sayılardan oluşan \(a_1,a_2,\ldots\) dizisi

(i) her \(j\geq 1\) için \(1\leq a_j\leq 2015\);

(ii) her \(1\leq k<\ell\) için \(k+a_k\neq\ell+a_\ell\)

koşullarını sağlıyor. \(n>m\geq N\) koşulunu sağlayan tüm \(m\) ve \(n\) tam sayıları için \[ \left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\leq 1007^2 \] olmasını sağlayan \(b\) ve \(N\) pozitif tam sayılarının bulunabileceğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Decimos que un conjunto finito \(S\) de puntos del plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos \(A\) y \(B\) en \(S\) hay un punto \(C\) en \(S\) tal que \(AC = BC\). Decimos que \(S\) es libre de centros si para cada tres puntos distintos \(A, B, C\) en \(S\) no existe ningún punto \(P\) en \(S\) tal que \(PA = PB = PC\).

(a) Demostrar que para todo \(n \geq 3\) existe un conjunto de \(n\) puntos equilibrado.

(b) Determinar todos los enteros \(n \geq 3\) para los que existe un conjunto de \(n\) puntos equilibrado y libre de centros.

Solución →

Problema 2

Determinar todas las ternas \((a,b,c)\) de enteros positivos tales que cada uno de los números \[ ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b \] es una potencia de 2.

(Una potencia de 2 es un entero de la forma \(2^n\), donde \(n\) es un entero no negativo.)

Solución →

Problema 3

Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo con \(AB > AC\). Sea \(\Gamma\) su circunferencia circunscrita, \(H\) su ortocentro, y \(F\) el pie de la altura desde \(A\). Sea \(M\) el punto medio del segmento \(BC\). Sea \(Q\) el punto de \(\Gamma\) tal que \(\angle HQA = 90^\circ\) y sea \(K\) el punto de \(\Gamma\) tal que \(\angle HKQ = 90^\circ\). Supongamos que los puntos \(A, B, C, K\) y \(Q\) son todos distintos y están sobre \(\Gamma\) en este orden.

Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo \(KQH\) es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo \(FKM\).

Solución →

Problema 4

El triángulo \(ABC\) tiene circunferencia circunscrita \(\Omega\) y circuncentro \(O\). Una circunferencia \(\Gamma\) de centro \(A\) corta al segmento \(BC\) en los puntos \(D\) y \(E\) tales que \(B, D, E\) y \(C\) son todos diferentes y están en la recta \(BC\) en este orden. Sean \(F\) y \(G\) los puntos de intersección de \(\Gamma\) y \(\Omega\), tales que \(A, F, B, C\) y \(G\) están sobre \(\Omega\) en este orden. Sea \(K\) el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo \(BDF\) y el segmento \(AB\). Sea \(L\) el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo \(CGE\) y el segmento \(CA\).

Supongamos que las rectas \(FK\) y \(GL\) son distintas y se cortan en el punto \(X\). Demostrar que \(X\) está en la recta \(AO\).

Solución →

Problema 5

Sea \(\mathbb{R}\) el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) que satisfacen la ecuación \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) \] para todos los números reales \(x, y\).

Solución →

Problema 6

La sucesión de enteros \(a_1,a_2,\ldots\) satisface las siguientes condiciones:

(i) \(1 \leq a_j \leq 2015\) para todo \(j \geq 1\);

(ii) \(k+a_k \neq \ell+a_\ell\) para todo \(1 \leq k < \ell\).

Demostrar que existen dos enteros positivos \(b\) y \(N\) tales que \[ \left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right| \leq 1007^2 \] para todos los enteros \(m\) y \(n\) que satisfacen \(n>m\geq N\).

Solución →

问题 1

我们称平面上一个有限点集\(S\)是平衡的，如果对\(S\)中任意两个不同的点\(A,B\)，都存在\(S\)中一点\(C\)，满足\(AC = BC\)。我们称\(S\)是无中心的，如果对\(S\)中任意三个不同的点\(A,B,C\)，都不存在\(S\)中一点\(P\)，满足\(PA = PB = PC\)。

(a) 证明：对每个整数\(n \geq 3\)，均存在一个由\(n\)个点构成的平衡点集。

(b) 确定所有的整数\(n \geq 3\)，使得存在一个由\(n\)个点构成的平衡且无中心的点集。

解答 →

问题 2

确定所有三元正整数组\((a,b,c)\)，使得 \[ ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b \] 中的每个数都是\(2\)的方幂。

（\(2\)的方幂是指形如\(2^n\)的整数，其中\(n\)是一个非负整数。）

解答 →

问题 3

在锐角三角形\(ABC\)中，\(AB > AC\)。设\(\Gamma\)是它的外接圆，\(H\)是它的垂心，\(F\)是由顶点\(A\)处所引高的垂足。\(M\)是边\(BC\)的中点。\(Q\)是\(\Gamma\)上一点，使得\(\angle HQA = 90^\circ\)，\(K\)是\(\Gamma\)上一点，使得\(\angle HKQ = 90^\circ\)。已知点\(A,B,C,K,Q\)互不相同，且按此顺序排列在\(\Gamma\)上。

证明：三角形\(KQH\)的外接圆和三角形\(FKM\)的外接圆相切。

解答 →

问题 4

在三角形\(ABC\)中，\(\Omega\)是其外接圆，\(O\)是其外心。以\(A\)为圆心的一个圆\(\Gamma\)与线段\(BC\)交于两点\(D\)和\(E\)，使得点\(B,D,E,C\)互不相同，并且按此顺序排列在直线\(BC\)上。设\(F\)和\(G\)是\(\Gamma\)和\(\Omega\)的两个交点，并且使得点\(A,F,B,C,G\)按此顺序排列在\(\Omega\)上。设\(K\)是三角形\(BDF\)的外接圆和线段\(AB\)的另一个交点。设\(L\)是三角形\(CGE\)的外接圆和线段\(CA\)的另一个交点。

假设直线\(FK\)和\(GL\)不相同，且相交于点\(X\)。证明：\(X\)在直线\(AO\)上。

解答 →

问题 5

设\(\mathbb{R}\)是全体实数的集合。求所有的函数\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，满足对任意实数\(x,y\)，都有 \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x). \]

解答 →

问题 6

整数序列\(a_1,a_2,\cdots\)满足下列条件：

(i) 对每个整数\(j \geq 1\)，有\(1 \leq a_j \leq 2015\)；

(ii) 对任意整数\(1 \leq k < \ell\)，有\(k+a_k \neq \ell+a_\ell\)。

证明：存在两个正整数\(b\)和\(N\)，使得 \[ \left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right| \leq 1007^2 \] 对所有满足\(n>m\geq N\)的整数\(m\)和\(n\)均成立。

解答 →

Задача 1

Конечное множество \(S\) точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек \(A\) и \(B\) из множества \(S\) найдется точка \(C\) из множества \(S\) такая, что \(AC = BC\). Множество \(S\) будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек \(A\), \(B\) и \(C\) из множества \(S\) не существует точки \(P\) из множества \(S\) такой, что \(PA = PB = PC\).

(а) Докажите, что для любого целого \(n \geq 3\) существует сбалансированное множество, состоящее из \(n\) точек.

(б) Найдите все целые \(n \geq 3\), для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из \(n\) точек.

Решение →

Задача 2

Найдите все тройки \((a,b,c)\) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел \[ ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b \] является степенью двойки.

(Степенью двойки называется число вида \(2^n\), где \(n\) — целое неотрицательное число.)

Решение →

Задача 3

Пусть \(ABC\) — остроугольный треугольник, в котором \(AB > AC\). Пусть \(\Gamma\) — окружность, описанная около него, \(H\) — его ортоцентр, а \(F\) — основание высоты, опущенной из вершины \(A\). Пусть \(M\) — середина стороны \(BC\). Пусть \(Q\) — точка на окружности \(\Gamma\) такая, что \(\angle HQA = 90^\circ\), а \(K\) — точка на окружности \(\Gamma\) такая, что \(\angle HKQ = 90^\circ\). Пусть точки \(A\), \(B\), \(C\), \(K\) и \(Q\) различны и лежат на окружности \(\Gamma\) в указанном порядке.

Докажите, что окружности, описанные около треугольников \(KQH\) и \(FKM\), касаются друг друга.

Решение →

Задача 4

Пусть \(\Omega\) — окружность, описанная около треугольника \(ABC\), а точка \(O\) — ее центр. Окружность \(\Gamma\) с центром \(A\) пересекает отрезок \(BC\) в точках \(D\) и \(E\) так, что точки \(B\), \(D\), \(E\) и \(C\) все различны и лежат на прямой \(BC\) в указанном порядке. Пусть \(F\) и \(G\) — точки пересечения окружностей \(\Gamma\) и \(\Omega\), при этом точки \(A\), \(F\), \(B\), \(C\) и \(G\) лежат на \(\Omega\) в указанном порядке. Пусть \(K\) — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника \(BDF\), и отрезка \(AB\). Пусть \(L\) — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника \(CGE\), и отрезка \(CA\).

Пусть прямые \(FK\) и \(GL\) различны и пересекаются в точке \(X\). Докажите, что точка \(X\) лежит на прямой \(AO\).

Решение →

Задача 5

Пусть \(\mathbb{R}\) — множество всех действительных чисел. Найдите все функции \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), удовлетворяющие равенству \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) \] для всех действительных чисел \(x\) и \(y\).

Решение →

Задача 6

Последовательность \(a_1,a_2,\ldots\) целых чисел удовлетворяет следующим условиям:

(i) \(1 \leq a_j \leq 2015\) для всех \(j \geq 1\);

(ii) \(k+a_k \neq \ell+a_\ell\) для всех \(1 \leq k < \ell\).

Докажите, что существуют два положительных целых числа \(b\) и \(N\) таких, что \[ \left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right| \leq 1007^2 \] для всех целых чисел \(m\) и \(n\), удовлетворяющих условию \(n>m\geq N\).

Решение →

المسألة 1

نقول عن مجموعة منتهية \(S\) من نقط المستوى إنها متوازنة إذا كان من أجل كل نقطتين مختلفتين \(A\) و \(B\) في \(S\) توجد نقطة \(C\) في \(S\) تحقق \(AC = BC\). نقول عن \(S\) إنها بدون مركز إذا كان من أجل كل ثلاث نقط مختلفة \(A\) و \(B\) و \(C\) في \(S\) لا توجد نقطة \(P\) في \(S\) تحقق \(PA = PB = PC\).

أ. أثبت أنه لكل عدد صحيح \(n\geq 3\)، توجد مجموعة متوازنة مكونة من \(n\) نقطة.

ب. حدد كل الأعداد الصحيحة \(n\geq 3\) التي لأجلها توجد مجموعة متوازنة بدون مركز مكونة من \(n\) نقطة.

← الحل

المسألة 2

حدد كل الثلاثيات المرتبة \((a,b,c)\) من الأعداد الصحيحة الموجبة التي لأجلها تكون المقادير \[ ab-c,\qquad bc-a,\qquad ca-b \] قوى للعدد \(2\).

(نسمي قوة للعدد \(2\) كل عدد صحيح يكتب على شكل \(2^n\)، حيث \(n\) عدد صحيح أكبر من أو يساوي \(0\).)

← الحل

المسألة 3

ليكن \(ABC\) مثلثا حاد الزوايا فيه \(AB>AC\)، و \(\Gamma\) دائرته المحيطة، و \(H\) ملتقى ارتفاعاته، و \(F\) قدم ارتفاعه المنشأ من الرأس \(A\). النقطة \(M\) هي منتصف الضلع \(BC\). لتكن \(Q\) النقطة على الدائرة \(\Gamma\) التي تحقق \(\widehat{HQA}=90^\circ\). لتكن \(K\) النقطة على الدائرة \(\Gamma\) التي تحقق \(\widehat{HKQ}=90^\circ\). لنفرض أن النقط \(A\)، \(B\)، \(C\)، \(K\)، \(Q\) مختلفة وهي وفق هذا الترتيب على الدائرة \(\Gamma\).

أثبت أن الدائرتين المحيطتين بالمثلثين \(KQH\) و \(FKM\) متماستان.

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABC\) مثلثا و \(\Omega\) دائرته المحيطة و \(O\) مركزها. الدائرة \(\Gamma\) ذات المركز \(A\) تقطع الضلع \(BC\) في النقطتين \(D\) و \(E\)، بحيث تكون النقط \(B\)، \(D\)، \(E\)، \(C\) كلها مختلفة وتقع على المستقيم \(BC\) بهذا الترتيب. لتكن \(F\) و \(G\) نقطتي تقاطع الدائرتين \(\Gamma\) و\(\Omega\)، بحيث تقع النقط \(A\)، \(F\)، \(B\)، \(C\)، \(G\) على الدائرة \(\Omega\) بهذا الترتيب. لتكن \(K\) نقطة التقاطع الثانية للدائرة المحيطة بالمثلث \(BDF\) مع الضلع \(AB\). لتكن \(L\) نقطة التقاطع الثانية للدائرة المحيطة بالمثلث \(CGE\) مع الضلع \(CA\).

أثبت أنه إذا كان المستقيمان \(FK\) و\(GL\) مختلفين ويتقاطعان في النقطة \(X\)، فإن النقطة \(X\) تقع على المستقيم \(AO\).

← الحل

المسألة 5

لتكن \(\mathbb{R}\) مجموعة الأعداد الحقيقية. جد جميع الدوال \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) التي تحقق المعادلة \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) \] لكل عددين حقيقيين \(x\) و \(y\).

← الحل

المسألة 6

متتالية الأعداد الصحيحة \(a_1\)، \(a_2\)، \(\ldots\) تحقق الشرطين:

١- \(1\leq a_j\leq 2015\) لكل \(j\geq 1\)؛

٢- \(k+a_k\neq\ell+a_\ell\) لكل \(1\leq k<\ell\).

أثبت وجود عددين صحيحين موجبين \(b\) و\(N\) بحيث \[ \left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\leq 1007^2 \] لكل عددين صحيحين \(m\) و \(n\) يحققان \(n>m\geq N\).

← الحل