Solution

7.1

For the MM mechanism, enzyme conservation gives

\[ [\ce{E}]_0=[\ce{E}]+[\ce{ES}]. \]

At substrate saturation, essentially all enzyme is present as the complex, so

\[ [\ce{ES}]_{\max}=[\ce{E}]_0, \qquad v_{\max}=k_3[\ce{E}]_0. \]

Substitution into equation (1) gives

\[ v_0= \frac{k_3[\ce{E}]_0[\ce{S}]_0}{K_{\mathrm M}+[\ce{S}]_0} = \frac{k_3[\ce{E}]_0}{K_{\mathrm M}/[\ce{S}]_0+1}. \]

Thus (a) and (e) are correct. Also, equation (2) becomes

\[ v_0=j[\ce{E}]_0=j[\ce{ES}]_{\max}, \]

so (c) is correct.

In (b), \([\ce{E}]\) is the free-enzyme concentration, which generally differs from the total concentration \([\ce{E}]_0\). In (d), replacing the numerator’s substrate concentration with \([\ce{ES}]_{\max}\) does not preserve the MM expression. In (f), the additional concentration denominator is incorrect; it also gives units of \(\mathrm{s^{-1}}\), whereas \(v_0\) has units of concentration per time.

Therefore,

\[ \boxed{\text{7.1: (a), (c), (e).}} \]

7.2

Write \(s=[\ce{S}]_0\), \(V=v_{\max}\), and \(K=K_{\mathrm M}\), with \(V\) and \(K\) constant:

\[ v_0=\frac{Vs}{K+s}. \]

Each proposed choice gives the following relation between its stated \(y\) and \(x\):

For (b), the linearity follows directly from \(x=v_0/K_{\mathrm M}\): the line passes through the origin with slope \(K_{\mathrm M}\).

For (f), rearranging the MM equation gives the Hanes–Woolf form:

\[ \frac{[\ce{S}]_0}{v_0} = \frac{K_{\mathrm M}}{v_{\max}} +\frac{[\ce{S}]_0}{v_{\max}}. \]

Its slope is \(1/v_{\max}\), and its vertical intercept is \(K_{\mathrm M}/v_{\max}\).

Therefore,

\[ \boxed{\text{7.2: (b), (f).}} \]

7.3

Set \([\ce{B}]_0=c_0\) in equation (3):

\[ v_0= \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0c_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+c_0)}. \]

Collecting the factors independent of \([\ce{A}]_0\),

\[ v_0= \underbrace{\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}}_{v_{\max}} \frac{[\ce{A}]_0}{K+[\ce{A}]_0}. \]

This is the MM form, with

\[ \boxed{ v_{\max}=\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}, \qquad K_{\mathrm M,A}=K. } \]

7.4

A suitable scheme allows the two substrates to bind independently in either order. The singly bound complexes are \(\ce{EA}\) and \(\ce{EB}\); both routes lead to the doubly bound complex \(\ce{EAB}\):

\[ \begin{aligned} &\ce{E + A <=> EA},\\ &\ce{E + B <=> EB},\\ &\ce{EA + B <=> EAB},\\ &\ce{EB + A <=> EAB}. \end{aligned} \]

Each binding equilibrium has dissociation constant \(K\). Only the doubly bound complex undergoes the product-forming step:

\[ \boxed{\ce{EAB ->[k] E + P_A + P_B}.} \]

The overall substrate conversion is

\[ \ce{A + B -> P_A + P_B}. \]

Thus, a drawing would show a binding square with \(\ce{E}\), \(\ce{EA}\), \(\ce{EB}\), and \(\ce{EAB}\) at its corners, and an irreversible arrow labelled \(k\) from \(\ce{EAB}\) to \(\ce{E + P_A + P_B}\).

To verify the rate law, let \(a=[\ce{A}]_0\) and \(b=[\ce{B}]_0\). Rapid pre-equilibrium gives

\[ [\ce{EA}]=\frac{[\ce{E}]a}{K}, \qquad [\ce{EB}]=\frac{[\ce{E}]b}{K}, \qquad [\ce{EAB}]=\frac{[\ce{E}]ab}{K^2}. \]

The enzyme balance is therefore

\[ \begin{aligned} [\ce{E}]_0 &=[\ce{E}]+[\ce{EA}]+[\ce{EB}]+[\ce{EAB}]\\ &=[\ce{E}] \left(1+\frac{a}{K}\right) \left(1+\frac{b}{K}\right). \end{aligned} \]

Consequently,

\[ [\ce{EAB}] = \frac{[\ce{E}]_0ab}{(K+a)(K+b)}, \]

and the reaction rate is

\[ v_0=k[\ce{EAB}] = \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0[\ce{B}]_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+[\ce{B}]_0)}, \]

as required. Each of the two products forms at this rate.

7.5

Let \(n_A,n_B,n_C\) be the numbers of sites specific to the three substrates. They are positive integers satisfying

\[ n_A+n_B+n_C=5. \]

First, rearrange the MM equation into the Eadie–Hofstee form:

\[ v_{0i} = v_{\max,i} - K_{\mathrm M,i}\frac{v_{0i}}{[\ce{S_i}]_0}. \]

The slope is \(-K_{\mathrm M,i}\), and the vertical intercept is the maximum rate per site, proportional to \(k_{i3}\).

The graph contains two parallel, steeper lines and one shallower line. Using the stated affinity comparison, \(K_{\mathrm M,C}<K_{\mathrm M,B}\). Therefore, the shallow line must correspond to \(\ce{S_C}\), and the two parallel lines correspond to \(\ce{S_A}\) and \(\ce{S_B}\):

\[ \boxed{K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}>K_{\mathrm M,C}.} \]

The turnover constant for a C site is

\[ k_{\mathrm{c3}} = 10200\ \mathrm{min^{-1}} \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s}\right) = 170\ \mathrm{s^{-1}}. \]

The maximum allowed combined A-and-B production rate is

\[ \frac{5.94\times10^6}{3600} = 1650\ \text{molecules per second}. \]

Thus, C sites must produce at least

\[ 2023-1650=373\ \text{molecules per second}. \]

For one enzyme molecule,

\[ 170n_C\ge373, \qquad n_C\ge2.194. \]

Since \(n_C\) is an integer, \(n_C\ge3\). At least one site is required for each of A and B, so \(n_C\le3\). Hence

\[ \boxed{n_A=1,\qquad n_B=1,\qquad n_C=3.} \]

The site count is indeed \(1+1+3=5\).

Next, the two reactions of the C complex are

\[ \ce{ES_C ->[k_{c2}] E + S_C}, \qquad \ce{ES_C ->[k_{c3}] E + P_C}. \]

Their equal Arrhenius pre-exponential factors give

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{E_{\mathrm a,c2}-E_{\mathrm a,c3}}{RT} \right]. \]

Using \(T=298.15\ \mathrm K\) and \(R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\),

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{1266}{8.314(298.15)} \right] \approx0.6001. \]

Therefore,

\[ \boxed{k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}.} \]

It follows that

\[ K_{\mathrm M,C} = \frac{k_{\mathrm{c2}}+k_{\mathrm{c3}}}{k_{\mathrm{c1}}} = \frac{102.0+170}{1.57\times10^7} \approx1.7326\times10^{-5}\ \mathrm M, \]

so

\[ \boxed{K_{\mathrm M,C}=1.73\times10^{-5}\ \mathrm M.} \]

To use the low-concentration product ratio, the number of sites must be included. At a common substrate concentration \(s\ll K_{\mathrm M,i}\),

\[ v_i = n_i[\ce{E}]_0 \frac{k_{i3}s}{K_{\mathrm M,i}+s} \approx n_i[\ce{E}]_0\frac{k_{i3}}{K_{\mathrm M,i}}s = n_i[\ce{E}]_0\varepsilon_i s. \]

The specified \(s/K_{\mathrm M,i}\le10^{-3}\) justifies this approximation. Consequently,

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 3:2:5. \]

With the site counts already found,

\[ \varepsilon_A:\varepsilon_B:3\varepsilon_C = 3:2:5, \]

or equivalently,

\[ \boxed{\varepsilon_A:\varepsilon_B:\varepsilon_C=9:6:5.} \]

Because \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\),

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}}{k_{\mathrm{b3}}} = \frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac32. \]

At saturation, the total production rate gives

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}}+3k_{\mathrm{c3}}=2023\ \mathrm{s^{-1}}, \]

hence

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}} = 2023-3(170) = 1513\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Combining the sum and ratio,

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a3}}=\frac35(1513)=907.8\ \mathrm{s^{-1}}, } \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b3}}=\frac25(1513)=605.2\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Thus the higher of the two parallel lines is A, and the lower is B.

The ratio \(\varepsilon_A/\varepsilon_C=9/5\) now determines the common A-and-B Michaelis constant:

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}/K_{\mathrm M,A}} {k_{\mathrm{c3}}/K_{\mathrm M,C}} = \frac95, \]

so

\[ \begin{aligned} K_{\mathrm M,A} &=\frac{5k_{\mathrm{a3}}}{9k_{\mathrm{c3}}}K_{\mathrm M,C}\\ &=\frac{5(907.8)}{9(170)} \left(1.7326\times10^{-5}\right)\ \mathrm M\\ &\approx5.1399\times10^{-5}\ \mathrm M. \end{aligned} \]

Therefore,

\[ \boxed{ K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}=5.14\times10^{-5}\ \mathrm M. } \]

Finally, \(k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}}\) and \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\) imply

\[ k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}} = k_{\mathrm{b2}}+k_{\mathrm{b3}}. \]

Thus,

\[ k_{\mathrm{b2}}-k_{\mathrm{a2}} = k_{\mathrm{a3}}-k_{\mathrm{b3}} = 302.6\ \mathrm{s^{-1}}. \]

The A and B dissociation rate constants cannot be the equal pair. If instead \(k_{\mathrm{b2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}\), then

\[ k_{\mathrm{a2}}\approx102.0-302.6=-200.6\ \mathrm{s^{-1}}, \]

which is impossible. The equal pair must therefore be A and C:

\[ \boxed{k_{\mathrm{a2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}},} \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b2}}\approx102.0+302.6 =404.6\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

The common association rate constant is

\[ \begin{aligned} k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} &=\frac{k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}}}{K_{\mathrm M,A}}\\ &\approx \frac{102.0+907.8}{5.1399\times10^{-5}}\\ &=1.9646\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. \end{aligned} \]

To three significant figures,

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} =1.96\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. } \]

The unrounded values satisfy the two saturation constraints:

\[ 907.8+605.2+3(170)=2023\ \text{products per second}, \]

\[ (907.8+605.2)(3600) = 5.4468\times10^6 < 5.94\times10^6 \quad\text{A-and-B products per hour}. \]

They also give the required low-concentration total-product ratio:

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 9:6:15 = 3:2:5. \]

The solution was checked against the official solution.

Lösung

7.1

Für den MM-Mechanismus ergibt die Enzymbilanz

\[ [\ce{E}]_0=[\ce{E}]+[\ce{ES}]. \]

Bei Substratsättigung liegt praktisch das gesamte Enzym als Komplex vor, sodass

\[ [\ce{ES}]_{\max}=[\ce{E}]_0, \qquad v_{\max}=k_3[\ce{E}]_0. \]

Einsetzen in Gleichung (1) ergibt

\[ v_0= \frac{k_3[\ce{E}]_0[\ce{S}]_0}{K_{\mathrm M}+[\ce{S}]_0} = \frac{k_3[\ce{E}]_0}{K_{\mathrm M}/[\ce{S}]_0+1}. \]

Somit sind (a) und (e) richtig. Außerdem wird Gleichung (2) zu

\[ v_0=j[\ce{E}]_0=j[\ce{ES}]_{\max}, \]

also ist (c) richtig.

In (b) ist \([\ce{E}]\) die Konzentration des freien Enzyms, die sich im Allgemeinen von der Gesamtkonzentration \([\ce{E}]_0\) unterscheidet. In (d) bleibt der MM-Ausdruck nicht erhalten, wenn die Substratkonzentration im Zähler durch \([\ce{ES}]_{\max}\) ersetzt wird. In (f) ist der zusätzliche Konzentrationsterm im Nenner falsch; außerdem ergibt sich dadurch die Einheit \(\mathrm{s^{-1}}\), während \(v_0\) die Einheit Konzentration pro Zeit hat.

Daher gilt

\[ \boxed{\text{7.1: (a), (c), (e).}} \]

7.2

Wir setzen \(s=[\ce{S}]_0\), \(V=v_{\max}\) und \(K=K_{\mathrm M}\), wobei \(V\) und \(K\) konstant sind:

\[ v_0=\frac{Vs}{K+s}. \]

Für jede vorgeschlagene Antwortmöglichkeit ergibt sich die folgende Beziehung zwischen den jeweils angegebenen Größen \(y\) und \(x\):

Bei (b) folgt die Linearität unmittelbar aus \(x=v_0/K_{\mathrm M}\): Die Gerade verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung \(K_{\mathrm M}\).

Bei (f) ergibt die Umformung der MM-Gleichung die Hanes–Woolf-Form:

\[ \frac{[\ce{S}]_0}{v_0} = \frac{K_{\mathrm M}}{v_{\max}} +\frac{[\ce{S}]_0}{v_{\max}}. \]

Ihre Steigung beträgt \(1/v_{\max}\), und ihr Ordinatenabschnitt ist \(K_{\mathrm M}/v_{\max}\).

Daher gilt

\[ \boxed{\text{7.2: (b), (f).}} \]

7.3

Wir setzen \([\ce{B}]_0=c_0\) in Gleichung (3) ein:

\[ v_0= \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0c_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+c_0)}. \]

Fassen wir die von \([\ce{A}]_0\) unabhängigen Faktoren zusammen, erhalten wir

\[ v_0= \underbrace{\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}}_{v_{\max}} \frac{[\ce{A}]_0}{K+[\ce{A}]_0}. \]

Dies ist die MM-Form mit

\[ \boxed{ v_{\max}=\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}, \qquad K_{\mathrm M,A}=K. } \]

7.4

In einem geeigneten Schema können die beiden Substrate unabhängig voneinander in beliebiger Reihenfolge binden. Die einfach belegten Komplexe sind \(\ce{EA}\) und \(\ce{EB}\); beide Wege führen zum doppelt belegten Komplex \(\ce{EAB}\):

\[ \begin{aligned} &\ce{E + A <=> EA},\\ &\ce{E + B <=> EB},\\ &\ce{EA + B <=> EAB},\\ &\ce{EB + A <=> EAB}. \end{aligned} \]

Jedes Bindungsgleichgewicht hat die Dissoziationskonstante \(K\). Nur der doppelt belegte Komplex durchläuft den produktbildenden Schritt:

\[ \boxed{\ce{EAB ->[k] E + P_A + P_B}.} \]

Die gesamte Substratumsetzung lautet

\[ \ce{A + B -> P_A + P_B}. \]

Eine Zeichnung würde somit ein Quadrat der Bindungsgleichgewichte mit \(\ce{E}\), \(\ce{EA}\), \(\ce{EB}\) und \(\ce{EAB}\) an seinen Ecken sowie einen mit \(k\) beschrifteten irreversiblen Pfeil von \(\ce{EAB}\) zu \(\ce{E + P_A + P_B}\) zeigen.

Zur Überprüfung des Geschwindigkeitsgesetzes setzen wir \(a=[\ce{A}]_0\) und \(b=[\ce{B}]_0\). Das sich schnell einstellende vorgelagerte Gleichgewicht ergibt

\[ [\ce{EA}]=\frac{[\ce{E}]a}{K}, \qquad [\ce{EB}]=\frac{[\ce{E}]b}{K}, \qquad [\ce{EAB}]=\frac{[\ce{E}]ab}{K^2}. \]

Die Enzymbilanz lautet daher

\[ \begin{aligned} [\ce{E}]_0 &=[\ce{E}]+[\ce{EA}]+[\ce{EB}]+[\ce{EAB}]\\ &=[\ce{E}] \left(1+\frac{a}{K}\right) \left(1+\frac{b}{K}\right). \end{aligned} \]

Folglich gilt

\[ [\ce{EAB}] = \frac{[\ce{E}]_0ab}{(K+a)(K+b)}, \]

und die Reaktionsgeschwindigkeit ist

\[ v_0=k[\ce{EAB}] = \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0[\ce{B}]_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+[\ce{B}]_0)}, \]

wie gefordert. Jedes der beiden Produkte wird mit dieser Geschwindigkeit gebildet.

7.5

Seien \(n_A,n_B,n_C\) die Anzahlen der für die drei Substrate spezifischen Zentren. Sie sind positive ganze Zahlen, für die gilt:

\[ n_A+n_B+n_C=5. \]

Zunächst formen wir die MM-Gleichung in die Eadie–Hofstee-Form um:

\[ v_{0i} = v_{\max,i} - K_{\mathrm M,i}\frac{v_{0i}}{[\ce{S_i}]_0}. \]

Die Steigung ist \(-K_{\mathrm M,i}\), und der Ordinatenabschnitt ist die maximale Geschwindigkeit pro Zentrum, die proportional zu \(k_{i3}\) ist.

Das Diagramm enthält zwei parallele, steilere Geraden und eine flachere Gerade. Aus dem angegebenen Affinitätsvergleich folgt \(K_{\mathrm M,C}<K_{\mathrm M,B}\). Daher muss die flachere Gerade \(\ce{S_C}\) entsprechen, und die beiden parallelen Geraden entsprechen \(\ce{S_A}\) und \(\ce{S_B}\):

\[ \boxed{K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}>K_{\mathrm M,C}.} \]

Die Wechselzahl für ein C-Zentrum beträgt

\[ k_{\mathrm{c3}} = 10200\ \mathrm{min^{-1}} \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s}\right) = 170\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Die maximal zulässige gemeinsame Bildungsrate von A- und B-Produkten beträgt

\[ \frac{5.94\times10^6}{3600} = 1650\ \text{Moleküle pro Sekunde}. \]

Somit müssen die C-Zentren mindestens

\[ 2023-1650=373\ \text{Moleküle pro Sekunde} \]

produzieren. Für ein Enzymmolekül gilt

\[ 170n_C\ge373, \qquad n_C\ge2.194. \]

Da \(n_C\) eine ganze Zahl ist, gilt \(n_C\ge3\). Für A und B ist jeweils mindestens ein Zentrum erforderlich, sodass \(n_C\le3\) gilt. Folglich ist

\[ \boxed{n_A=1,\qquad n_B=1,\qquad n_C=3.} \]

Die Anzahl der Zentren beträgt tatsächlich \(1+1+3=5\).

Als Nächstes betrachten wir die beiden Reaktionen des C-Komplexes:

\[ \ce{ES_C ->[k_{c2}] E + S_C}, \qquad \ce{ES_C ->[k_{c3}] E + P_C}. \]

Aus ihren gleichen präexponentiellen Arrhenius-Faktoren folgt

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{E_{\mathrm a,c2}-E_{\mathrm a,c3}}{RT} \right]. \]

Mit \(T=298.15\ \mathrm K\) und \(R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\) erhalten wir

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{1266}{8.314(298.15)} \right] \approx0.6001. \]

Daher gilt

\[ \boxed{k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}.} \]

Daraus folgt

\[ K_{\mathrm M,C} = \frac{k_{\mathrm{c2}}+k_{\mathrm{c3}}}{k_{\mathrm{c1}}} = \frac{102.0+170}{1.57\times10^7} \approx1.7326\times10^{-5}\ \mathrm M, \]

also

\[ \boxed{K_{\mathrm M,C}=1.73\times10^{-5}\ \mathrm M.} \]

Um das Produktverhältnis bei niedrigen Konzentrationen zu verwenden, muss die Anzahl der Zentren berücksichtigt werden. Bei einer gemeinsamen Substratkonzentration \(s\ll K_{\mathrm M,i}\) gilt

\[ v_i = n_i[\ce{E}]_0 \frac{k_{i3}s}{K_{\mathrm M,i}+s} \approx n_i[\ce{E}]_0\frac{k_{i3}}{K_{\mathrm M,i}}s = n_i[\ce{E}]_0\varepsilon_i s. \]

Die angegebene Bedingung \(s/K_{\mathrm M,i}\le10^{-3}\) rechtfertigt diese Näherung. Folglich gilt

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 3:2:5. \]

Mit den bereits bestimmten Anzahlen der Zentren ergibt sich

\[ \varepsilon_A:\varepsilon_B:3\varepsilon_C = 3:2:5, \]

oder gleichwertig

\[ \boxed{\varepsilon_A:\varepsilon_B:\varepsilon_C=9:6:5.} \]

Da \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\), gilt

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}}{k_{\mathrm{b3}}} = \frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac32. \]

Bei Sättigung ergibt die gesamte Bildungsrate

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}}+3k_{\mathrm{c3}}=2023\ \mathrm{s^{-1}}, \]

also

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}} = 2023-3(170) = 1513\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Aus der Kombination von Summe und Verhältnis folgt

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a3}}=\frac35(1513)=907.8\ \mathrm{s^{-1}}, } \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b3}}=\frac25(1513)=605.2\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Somit entspricht die höhere der beiden parallelen Geraden A und die niedrigere B.

Das Verhältnis \(\varepsilon_A/\varepsilon_C=9/5\) bestimmt nun die gemeinsame Michaelis-Konstante für A und B:

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}/K_{\mathrm M,A}} {k_{\mathrm{c3}}/K_{\mathrm M,C}} = \frac95, \]

also

\[ \begin{aligned} K_{\mathrm M,A} &=\frac{5k_{\mathrm{a3}}}{9k_{\mathrm{c3}}}K_{\mathrm M,C}\\ &=\frac{5(907.8)}{9(170)} \left(1.7326\times10^{-5}\right)\ \mathrm M\\ &\approx5.1399\times10^{-5}\ \mathrm M. \end{aligned} \]

Daher gilt

\[ \boxed{ K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}=5.14\times10^{-5}\ \mathrm M. } \]

Schließlich folgt aus \(k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}}\) und \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\)

\[ k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}} = k_{\mathrm{b2}}+k_{\mathrm{b3}}. \]

Somit gilt

\[ k_{\mathrm{b2}}-k_{\mathrm{a2}} = k_{\mathrm{a3}}-k_{\mathrm{b3}} = 302.6\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Die Dissoziationsgeschwindigkeitskonstanten von A und B können nicht das gleiche Paar bilden. Wäre stattdessen \(k_{\mathrm{b2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}\), so ergäbe sich

\[ k_{\mathrm{a2}}\approx102.0-302.6=-200.6\ \mathrm{s^{-1}}, \]

was unmöglich ist. Das Paar gleicher Konstanten muss daher zu A und C gehören:

\[ \boxed{k_{\mathrm{a2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}},} \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b2}}\approx102.0+302.6 =404.6\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Die gemeinsame Assoziationsgeschwindigkeitskonstante beträgt

\[ \begin{aligned} k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} &=\frac{k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}}}{K_{\mathrm M,A}}\\ &\approx \frac{102.0+907.8}{5.1399\times10^{-5}}\\ &=1.9646\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. \end{aligned} \]

Auf drei signifikante Stellen gerundet ergibt sich

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} =1.96\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. } \]

Die ungerundeten Werte erfüllen die beiden Bedingungen bei Sättigung:

\[ 907.8+605.2+3(170)=2023\ \text{Produkte pro Sekunde}, \]

\[ (907.8+605.2)(3600) = 5.4468\times10^6 < 5.94\times10^6 \quad\text{A- und B-Produkte pro Stunde}. \]

Sie ergeben auch das geforderte Verhältnis der insgesamt gebildeten Produkte bei niedrigen Konzentrationen:

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 9:6:15 = 3:2:5. \]

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

7.1

MM mekanizmasında enzimin korunumu şu eşitliği verir:

\[ [\ce{E}]_0=[\ce{E}]+[\ce{ES}]. \]

Substrat doygunluğunda enzimin hemen hemen tamamı kompleks hâlinde bulunur; dolayısıyla

\[ [\ce{ES}]_{\max}=[\ce{E}]_0, \qquad v_{\max}=k_3[\ce{E}]_0. \]

(1) denkleminde yerine koyunca

\[ v_0= \frac{k_3[\ce{E}]_0[\ce{S}]_0}{K_{\mathrm M}+[\ce{S}]_0} = \frac{k_3[\ce{E}]_0}{K_{\mathrm M}/[\ce{S}]_0+1}. \]

Böylece (a) ve (e) doğrudur. Ayrıca (2) denklemi şu hâli alır:

\[ v_0=j[\ce{E}]_0=j[\ce{ES}]_{\max}, \]

dolayısıyla (c) doğrudur.

(b) seçeneğindeki \([\ce{E}]\), genellikle toplam derişim \([\ce{E}]_0\)'dan farklı olan serbest enzim derişimidir. (d) seçeneğinde paydaki substrat derişiminin \([\ce{ES}]_{\max}\) ile değiştirilmesi MM ifadesini korumaz. (f) seçeneğinde paydaya eklenen derişim terimi yanlıştır; ayrıca bu ifade \(\mathrm{s^{-1}}\) birimini verirken \(v_0\)'ın birimi birim zaman başına derişimdir.

Dolayısıyla,

\[ \boxed{\text{7.1: (a), (c), (e).}} \]

7.2

\(V\) ve \(K\) sabit olmak üzere \(s=[\ce{S}]_0\), \(V=v_{\max}\) ve \(K=K_{\mathrm M}\) yazalım:

\[ v_0=\frac{Vs}{K+s}. \]

Önerilen her seçenek, belirtilen \(y\) ve \(x\) arasında aşağıdaki ilişkiyi verir:

(b) için doğrusallık doğrudan \(x=v_0/K_{\mathrm M}\) eşitliğinden gelir: doğru, \(K_{\mathrm M}\) eğimiyle orijinden geçer.

(f) için MM denkleminin yeniden düzenlenmesi Hanes–Woolf biçimini verir:

\[ \frac{[\ce{S}]_0}{v_0} = \frac{K_{\mathrm M}}{v_{\max}} +\frac{[\ce{S}]_0}{v_{\max}}. \]

Eğimi \(1/v_{\max}\), düşey ekseni kestiği değer ise \(K_{\mathrm M}/v_{\max}\)'tır.

Dolayısıyla,

\[ \boxed{\text{7.2: (b), (f).}} \]

7.3

(3) denkleminde \([\ce{B}]_0=c_0\) alalım:

\[ v_0= \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0c_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+c_0)}. \]

\([\ce{A}]_0\)'dan bağımsız çarpanları bir araya getirince,

\[ v_0= \underbrace{\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}}_{v_{\max}} \frac{[\ce{A}]_0}{K+[\ce{A}]_0}. \]

Bu, aşağıdaki değerlerle MM biçimidir:

\[ \boxed{ v_{\max}=\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}, \qquad K_{\mathrm M,A}=K. } \]

7.4

Uygun bir şema, iki substratın birbirinden bağımsız olarak her iki sırayla da bağlanmasına izin verir. Tek substrat bağlı kompleksler \(\ce{EA}\) ve \(\ce{EB}\)'dir; her iki yol da iki substrat bağlı \(\ce{EAB}\) kompleksine götürür:

\[ \begin{aligned} &\ce{E + A <=> EA},\\ &\ce{E + B <=> EB},\\ &\ce{EA + B <=> EAB},\\ &\ce{EB + A <=> EAB}. \end{aligned} \]

Her bağlanma dengesinin ayrışma sabiti \(K\)'dır. Yalnızca iki substrat bağlı kompleks, ürün oluşturan basamağa girer:

\[ \boxed{\ce{EAB ->[k] E + P_A + P_B}.} \]

Toplam substrat dönüşümü şöyledir:

\[ \ce{A + B -> P_A + P_B}. \]

Dolayısıyla çizimde, köşelerinde \(\ce{E}\), \(\ce{EA}\), \(\ce{EB}\) ve \(\ce{EAB}\) bulunan bir bağlanma karesi ve \(\ce{EAB}\)'den \(\ce{E + P_A + P_B}\)'ye uzanan, \(k\) ile etiketlenmiş tersinmez bir ok gösterilir.

Hız yasasını doğrulamak için \(a=[\ce{A}]_0\) ve \(b=[\ce{B}]_0\) olsun. Hızlı ön denge şu eşitlikleri verir:

\[ [\ce{EA}]=\frac{[\ce{E}]a}{K}, \qquad [\ce{EB}]=\frac{[\ce{E}]b}{K}, \qquad [\ce{EAB}]=\frac{[\ce{E}]ab}{K^2}. \]

Buna göre enzim bilançosu şöyledir:

\[ \begin{aligned} [\ce{E}]_0 &=[\ce{E}]+[\ce{EA}]+[\ce{EB}]+[\ce{EAB}]\\ &=[\ce{E}] \left(1+\frac{a}{K}\right) \left(1+\frac{b}{K}\right). \end{aligned} \]

Sonuç olarak,

\[ [\ce{EAB}] = \frac{[\ce{E}]_0ab}{(K+a)(K+b)}, \]

ve tepkime hızı

\[ v_0=k[\ce{EAB}] = \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0[\ce{B}]_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+[\ce{B}]_0)}, \]

olur; bu, istenen ifadedir. İki ürünün her biri bu hızda oluşur.

7.5

Üç substrata özgü bölge sayıları \(n_A,n_B,n_C\) olsun. Bunlar aşağıdaki eşitliği sağlayan pozitif tam sayılardır:

\[ n_A+n_B+n_C=5. \]

Önce MM denklemini Eadie–Hofstee biçiminde yeniden düzenleyelim:

\[ v_{0i} = v_{\max,i} - K_{\mathrm M,i}\frac{v_{0i}}{[\ce{S_i}]_0}. \]

Eğim \(-K_{\mathrm M,i}\), düşey ekseni kestiği değer ise \(k_{i3}\) ile orantılı olan bölge başına maksimum hızdır.

Grafikte birbirine paralel, daha dik iki doğru ve daha yatık bir doğru bulunur. Verilen afinite karşılaştırmasından \(K_{\mathrm M,C}<K_{\mathrm M,B}\) elde edilir. Bu nedenle daha yatık doğru \(\ce{S_C}\)'ye, paralel iki doğru ise \(\ce{S_A}\) ve \(\ce{S_B}\)'ye karşılık gelmelidir:

\[ \boxed{K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}>K_{\mathrm M,C}.} \]

Bir C bölgesinin çevrim sabiti şöyledir:

\[ k_{\mathrm{c3}} = 10200\ \mathrm{min^{-1}} \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s}\right) = 170\ \mathrm{s^{-1}}. \]

A ve B için izin verilen maksimum toplam üretim hızı şöyledir:

\[ \frac{5.94\times10^6}{3600} = 1650\ \text{saniye başına molekül}. \]

Dolayısıyla C bölgeleri en az

\[ 2023-1650=373\ \text{saniye başına molekül} \]

üretmelidir.

Bir enzim molekülü için,

\[ 170n_C\ge373, \qquad n_C\ge2.194. \]

\(n_C\) bir tam sayı olduğundan \(n_C\ge3\) olur. A ve B'nin her biri için en az bir bölge gerektiğinden \(n_C\le3\) olur. O hâlde

\[ \boxed{n_A=1,\qquad n_B=1,\qquad n_C=3.} \]

Bölge sayısı gerçekten de \(1+1+3=5\)'tir.

Şimdi C kompleksinin iki tepkimesi şöyledir:

\[ \ce{ES_C ->[k_{c2}] E + S_C}, \qquad \ce{ES_C ->[k_{c3}] E + P_C}. \]

Arrhenius üstel öncesi çarpanlarının eşit olması şu sonucu verir:

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{E_{\mathrm a,c2}-E_{\mathrm a,c3}}{RT} \right]. \]

\(T=298.15\ \mathrm K\) ve \(R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\) kullanılarak,

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{1266}{8.314(298.15)} \right] \approx0.6001. \]

Dolayısıyla,

\[ \boxed{k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}.} \]

Buradan

\[ K_{\mathrm M,C} = \frac{k_{\mathrm{c2}}+k_{\mathrm{c3}}}{k_{\mathrm{c1}}} = \frac{102.0+170}{1.57\times10^7} \approx1.7326\times10^{-5}\ \mathrm M, \]

dolayısıyla

\[ \boxed{K_{\mathrm M,C}=1.73\times10^{-5}\ \mathrm M.} \]

Düşük derişimdeki ürün oranını kullanmak için bölge sayısı hesaba katılmalıdır. Ortak bir \(s\ll K_{\mathrm M,i}\) substrat derişiminde,

\[ v_i = n_i[\ce{E}]_0 \frac{k_{i3}s}{K_{\mathrm M,i}+s} \approx n_i[\ce{E}]_0\frac{k_{i3}}{K_{\mathrm M,i}}s = n_i[\ce{E}]_0\varepsilon_i s. \]

Verilen \(s/K_{\mathrm M,i}\le10^{-3}\) koşulu bu yaklaşımı geçerli kılar. Sonuç olarak,

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 3:2:5. \]

Daha önce bulunan bölge sayıları kullanıldığında,

\[ \varepsilon_A:\varepsilon_B:3\varepsilon_C = 3:2:5, \]

veya eşdeğer olarak,

\[ \boxed{\varepsilon_A:\varepsilon_B:\varepsilon_C=9:6:5.} \]

\(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\) olduğundan,

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}}{k_{\mathrm{b3}}} = \frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac32. \]

Doygunlukta toplam üretim hızı şu eşitliği verir:

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}}+3k_{\mathrm{c3}}=2023\ \mathrm{s^{-1}}, \]

dolayısıyla

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}} = 2023-3(170) = 1513\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Toplam ve oran birlikte kullanıldığında,

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a3}}=\frac35(1513)=907.8\ \mathrm{s^{-1}}, } \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b3}}=\frac25(1513)=605.2\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Böylece paralel iki doğrudan üstteki A, alttaki B'dir.

\(\varepsilon_A/\varepsilon_C=9/5\) oranı artık A ve B'nin ortak Michaelis sabitini belirler:

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}/K_{\mathrm M,A}} {k_{\mathrm{c3}}/K_{\mathrm M,C}} = \frac95, \]

dolayısıyla

\[ \begin{aligned} K_{\mathrm M,A} &=\frac{5k_{\mathrm{a3}}}{9k_{\mathrm{c3}}}K_{\mathrm M,C}\\ &=\frac{5(907.8)}{9(170)} \left(1.7326\times10^{-5}\right)\ \mathrm M\\ &\approx5.1399\times10^{-5}\ \mathrm M. \end{aligned} \]

Dolayısıyla,

\[ \boxed{ K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}=5.14\times10^{-5}\ \mathrm M. } \]

Son olarak, \(k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}}\) ve \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\) eşitlikleri şu sonucu verir:

\[ k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}} = k_{\mathrm{b2}}+k_{\mathrm{b3}}. \]

Böylece,

\[ k_{\mathrm{b2}}-k_{\mathrm{a2}} = k_{\mathrm{a3}}-k_{\mathrm{b3}} = 302.6\ \mathrm{s^{-1}}. \]

A ve B'nin ayrışma hız sabitleri eşit olan çift olamaz. Bunun yerine \(k_{\mathrm{b2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}\) olsaydı,

\[ k_{\mathrm{a2}}\approx102.0-302.6=-200.6\ \mathrm{s^{-1}}, \]

olurdu; bu ise olanaksızdır. Bu nedenle eşit olan çift A ve C olmalıdır:

\[ \boxed{k_{\mathrm{a2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}},} \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b2}}\approx102.0+302.6 =404.6\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Ortak birleşme hız sabiti şöyledir:

\[ \begin{aligned} k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} &=\frac{k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}}}{K_{\mathrm M,A}}\\ &\approx \frac{102.0+907.8}{5.1399\times10^{-5}}\\ &=1.9646\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. \end{aligned} \]

Üç anlamlı basamakla,

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} =1.96\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. } \]

Yuvarlanmamış değerler, doygunluktaki iki kısıtı sağlar:

\[ 907.8+605.2+3(170)=2023\ \text{saniye başına ürün}, \]

\[ (907.8+605.2)(3600) = 5.4468\times10^6 < 5.94\times10^6 \quad\text{saat başına A ve B ürünleri}. \]

Ayrıca düşük derişimde istenen toplam ürün oranını da verirler:

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 9:6:15 = 3:2:5. \]

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

7.1

Para el mecanismo MM, la conservación de la enzima da

\[ [\ce{E}]_0=[\ce{E}]+[\ce{ES}]. \]

En condiciones de saturación por sustrato, prácticamente toda la enzima está presente como complejo, por lo que

\[ [\ce{ES}]_{\max}=[\ce{E}]_0, \qquad v_{\max}=k_3[\ce{E}]_0. \]

Al sustituir en la ecuación (1), se obtiene

\[ v_0= \frac{k_3[\ce{E}]_0[\ce{S}]_0}{K_{\mathrm M}+[\ce{S}]_0} = \frac{k_3[\ce{E}]_0}{K_{\mathrm M}/[\ce{S}]_0+1}. \]

Por tanto, (a) y (e) son correctas. Además, la ecuación (2) se convierte en

\[ v_0=j[\ce{E}]_0=j[\ce{ES}]_{\max}, \]

por lo que (c) es correcta.

En (b), \([\ce{E}]\) es la concentración de enzima libre, que generalmente difiere de la concentración total \([\ce{E}]_0\). En (d), sustituir la concentración de sustrato del numerador por \([\ce{ES}]_{\max}\) no conserva la expresión MM. En (f), el denominador adicional de concentración es incorrecto; además, da unidades de \(\mathrm{s^{-1}}\), mientras que \(v_0\) tiene unidades de concentración por unidad de tiempo.

Por tanto,

\[ \boxed{\text{7.1: (a), (c), (e).}} \]

7.2

Escribamos \(s=[\ce{S}]_0\), \(V=v_{\max}\) y \(K=K_{\mathrm M}\), con \(V\) y \(K\) constantes:

\[ v_0=\frac{Vs}{K+s}. \]

Cada opción propuesta da la siguiente relación entre sus variables \(y\) y \(x\) indicadas:

Para (b), la linealidad se deduce directamente de \(x=v_0/K_{\mathrm M}\): la recta pasa por el origen con pendiente \(K_{\mathrm M}\).

Para (f), al reordenar la ecuación MM se obtiene la forma de Hanes–Woolf:

\[ \frac{[\ce{S}]_0}{v_0} = \frac{K_{\mathrm M}}{v_{\max}} +\frac{[\ce{S}]_0}{v_{\max}}. \]

Su pendiente es \(1/v_{\max}\), y su ordenada en el origen es \(K_{\mathrm M}/v_{\max}\).

Por tanto,

\[ \boxed{\text{7.2: (b), (f).}} \]

7.3

Hacemos \([\ce{B}]_0=c_0\) en la ecuación (3):

\[ v_0= \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0c_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+c_0)}. \]

Agrupando los factores independientes de \([\ce{A}]_0\),

\[ v_0= \underbrace{\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}}_{v_{\max}} \frac{[\ce{A}]_0}{K+[\ce{A}]_0}. \]

Esta es la forma MM, con

\[ \boxed{ v_{\max}=\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}, \qquad K_{\mathrm M,A}=K. } \]

7.4

Un esquema adecuado permite que los dos sustratos se unan de forma independiente en cualquier orden. Los complejos con un solo sustrato unido son \(\ce{EA}\) y \(\ce{EB}\); ambas rutas conducen al complejo con los dos sustratos unidos \(\ce{EAB}\):

\[ \begin{aligned} &\ce{E + A <=> EA},\\ &\ce{E + B <=> EB},\\ &\ce{EA + B <=> EAB},\\ &\ce{EB + A <=> EAB}. \end{aligned} \]

Cada equilibrio de unión tiene una constante de disociación \(K\). Solo el complejo con los dos sustratos unidos experimenta la etapa de formación de productos:

\[ \boxed{\ce{EAB ->[k] E + P_A + P_B}.} \]

La conversión global de los sustratos es

\[ \ce{A + B -> P_A + P_B}. \]

Así, un dibujo mostraría un cuadrado de unión con \(\ce{E}\), \(\ce{EA}\), \(\ce{EB}\) y \(\ce{EAB}\) en sus vértices, y una flecha irreversible rotulada \(k\) desde \(\ce{EAB}\) hasta \(\ce{E + P_A + P_B}\).

Para verificar la ley de velocidad, sean \(a=[\ce{A}]_0\) y \(b=[\ce{B}]_0\). El preequilibrio rápido da

\[ [\ce{EA}]=\frac{[\ce{E}]a}{K}, \qquad [\ce{EB}]=\frac{[\ce{E}]b}{K}, \qquad [\ce{EAB}]=\frac{[\ce{E}]ab}{K^2}. \]

Por tanto, el balance de enzima es

\[ \begin{aligned} [\ce{E}]_0 &=[\ce{E}]+[\ce{EA}]+[\ce{EB}]+[\ce{EAB}]\\ &=[\ce{E}] \left(1+\frac{a}{K}\right) \left(1+\frac{b}{K}\right). \end{aligned} \]

En consecuencia,

\[ [\ce{EAB}] = \frac{[\ce{E}]_0ab}{(K+a)(K+b)}, \]

y la velocidad de reacción es

\[ v_0=k[\ce{EAB}] = \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0[\ce{B}]_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+[\ce{B}]_0)}, \]

como se requería. Cada uno de los dos productos se forma a esta velocidad.

7.5

Sean \(n_A,n_B,n_C\) los números de centros específicos para los tres sustratos. Son enteros positivos que satisfacen

\[ n_A+n_B+n_C=5. \]

Primero, reordenamos la ecuación MM para obtener la forma de Eadie–Hofstee:

\[ v_{0i} = v_{\max,i} - K_{\mathrm M,i}\frac{v_{0i}}{[\ce{S_i}]_0}. \]

La pendiente es \(-K_{\mathrm M,i}\), y la ordenada en el origen es la velocidad máxima por centro, proporcional a \(k_{i3}\).

La gráfica contiene dos rectas paralelas de mayor pendiente en valor absoluto y una recta de menor pendiente en valor absoluto. Utilizando la comparación de afinidades indicada, \(K_{\mathrm M,C}<K_{\mathrm M,B}\). Por tanto, la recta de menor pendiente en valor absoluto debe corresponder a \(\ce{S_C}\), y las dos rectas paralelas corresponden a \(\ce{S_A}\) y \(\ce{S_B}\):

\[ \boxed{K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}>K_{\mathrm M,C}.} \]

La constante de recambio de un centro C es

\[ k_{\mathrm{c3}} = 10200\ \mathrm{min^{-1}} \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s}\right) = 170\ \mathrm{s^{-1}}. \]

La velocidad máxima permitida de producción conjunta de A y B es

\[ \frac{5.94\times10^6}{3600} = 1650\ \text{moléculas por segundo}. \]

Por tanto, los centros C deben producir al menos

\[ 2023-1650=373\ \text{moléculas por segundo}. \]

Para una molécula de enzima,

\[ 170n_C\ge373, \qquad n_C\ge2.194. \]

Como \(n_C\) es un entero, \(n_C\ge3\). Se requiere al menos un centro para cada uno de los sustratos A y B, por lo que \(n_C\le3\). Así pues,

\[ \boxed{n_A=1,\qquad n_B=1,\qquad n_C=3.} \]

El número de centros es, efectivamente, \(1+1+3=5\).

A continuación, las dos reacciones del complejo C son

\[ \ce{ES_C ->[k_{c2}] E + S_C}, \qquad \ce{ES_C ->[k_{c3}] E + P_C}. \]

Sus factores preexponenciales de Arrhenius iguales dan

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{E_{\mathrm a,c2}-E_{\mathrm a,c3}}{RT} \right]. \]

Utilizando \(T=298.15\ \mathrm K\) y \(R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\),

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{1266}{8.314(298.15)} \right] \approx0.6001. \]

Por tanto,

\[ \boxed{k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}.} \]

Se deduce que

\[ K_{\mathrm M,C} = \frac{k_{\mathrm{c2}}+k_{\mathrm{c3}}}{k_{\mathrm{c1}}} = \frac{102.0+170}{1.57\times10^7} \approx1.7326\times10^{-5}\ \mathrm M, \]

por lo que

\[ \boxed{K_{\mathrm M,C}=1.73\times10^{-5}\ \mathrm M.} \]

Para utilizar la proporción de productos a baja concentración, debe incluirse el número de centros. A una concentración común de sustrato \(s\ll K_{\mathrm M,i}\),

\[ v_i = n_i[\ce{E}]_0 \frac{k_{i3}s}{K_{\mathrm M,i}+s} \approx n_i[\ce{E}]_0\frac{k_{i3}}{K_{\mathrm M,i}}s = n_i[\ce{E}]_0\varepsilon_i s. \]

La condición especificada \(s/K_{\mathrm M,i}\le10^{-3}\) justifica esta aproximación. En consecuencia,

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 3:2:5. \]

Con los números de centros ya obtenidos,

\[ \varepsilon_A:\varepsilon_B:3\varepsilon_C = 3:2:5, \]

o, de forma equivalente,

\[ \boxed{\varepsilon_A:\varepsilon_B:\varepsilon_C=9:6:5.} \]

Como \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\),

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}}{k_{\mathrm{b3}}} = \frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac32. \]

En condiciones de saturación, la velocidad total de producción da

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}}+3k_{\mathrm{c3}}=2023\ \mathrm{s^{-1}}, \]

de donde

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}} = 2023-3(170) = 1513\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Combinando la suma y la proporción,

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a3}}=\frac35(1513)=907.8\ \mathrm{s^{-1}}, } \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b3}}=\frac25(1513)=605.2\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Por tanto, la más alta de las dos rectas paralelas es A, y la más baja es B.

La relación \(\varepsilon_A/\varepsilon_C=9/5\) determina ahora la constante de Michaelis común a A y B:

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}/K_{\mathrm M,A}} {k_{\mathrm{c3}}/K_{\mathrm M,C}} = \frac95, \]

por lo que

\[ \begin{aligned} K_{\mathrm M,A} &=\frac{5k_{\mathrm{a3}}}{9k_{\mathrm{c3}}}K_{\mathrm M,C}\\ &=\frac{5(907.8)}{9(170)} \left(1.7326\times10^{-5}\right)\ \mathrm M\\ &\approx5.1399\times10^{-5}\ \mathrm M. \end{aligned} \]

Por tanto,

\[ \boxed{ K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}=5.14\times10^{-5}\ \mathrm M. } \]

Finalmente, \(k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}}\) y \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\) implican

\[ k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}} = k_{\mathrm{b2}}+k_{\mathrm{b3}}. \]

Así,

\[ k_{\mathrm{b2}}-k_{\mathrm{a2}} = k_{\mathrm{a3}}-k_{\mathrm{b3}} = 302.6\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Las constantes de velocidad de disociación de A y B no pueden ser el par de constantes iguales. Si, en cambio, \(k_{\mathrm{b2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}\), entonces

\[ k_{\mathrm{a2}}\approx102.0-302.6=-200.6\ \mathrm{s^{-1}}, \]

lo cual es imposible. Por tanto, el par de constantes iguales debe ser el de A y C:

\[ \boxed{k_{\mathrm{a2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}},} \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b2}}\approx102.0+302.6 =404.6\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

La constante de velocidad de asociación común es

\[ \begin{aligned} k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} &=\frac{k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}}}{K_{\mathrm M,A}}\\ &\approx \frac{102.0+907.8}{5.1399\times10^{-5}}\\ &=1.9646\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. \end{aligned} \]

Con tres cifras significativas,

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} =1.96\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. } \]

Los valores sin redondear satisfacen las dos restricciones de saturación:

\[ 907.8+605.2+3(170)=2023\ \text{productos por segundo}, \]

\[ (907.8+605.2)(3600) = 5.4468\times10^6 < 5.94\times10^6 \quad\text{productos de A y B por hora}. \]

También dan la proporción requerida de productos totales a baja concentración:

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 9:6:15 = 3:2:5. \]

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

7.1

对于 MM 机制，由酶的物料守恒可得

\[ [\ce{E}]_0=[\ce{E}]+[\ce{ES}]. \]

当底物达到饱和时，几乎所有酶都以复合物形式存在，因此

\[ [\ce{ES}]_{\max}=[\ce{E}]_0, \qquad v_{\max}=k_3[\ce{E}]_0. \]

代入式 (1)，得到

\[ v_0= \frac{k_3[\ce{E}]_0[\ce{S}]_0}{K_{\mathrm M}+[\ce{S}]_0} = \frac{k_3[\ce{E}]_0}{K_{\mathrm M}/[\ce{S}]_0+1}. \]

因此 (a) 和 (e) 正确。此外，式 (2) 变为

\[ v_0=j[\ce{E}]_0=j[\ce{ES}]_{\max}, \]

所以 (c) 正确。

在 (b) 中，\([\ce{E}]\) 是游离酶的浓度，通常不同于总浓度 \([\ce{E}]_0\)。在 (d) 中，将分子中的底物浓度替换为 \([\ce{ES}]_{\max}\) 后，所得表达式不再与米氏表达式等价。在 (f) 中，额外引入的浓度分母是错误的；它还会使单位变为 \(\mathrm{s^{-1}}\)，而 \(v_0\) 的单位应为浓度除以时间。

因此，

\[ \boxed{\text{7.1: (a), (c), (e).}} \]

7.2

记 \(s=[\ce{S}]_0\)、\(V=v_{\max}\)、\(K=K_{\mathrm M}\)，其中 \(V\) 和 \(K\) 为常数：

\[ v_0=\frac{Vs}{K+s}. \]

各选项所给出的 \(y\) 与 \(x\) 之间的关系如下：

对于 (b)，由 \(x=v_0/K_{\mathrm M}\) 可直接得出线性关系：该直线经过原点，斜率为 \(K_{\mathrm M}\)。

对于 (f)，将米氏方程重排，得到 Hanes–Woolf 形式：

\[ \frac{[\ce{S}]_0}{v_0} = \frac{K_{\mathrm M}}{v_{\max}} +\frac{[\ce{S}]_0}{v_{\max}}. \]

其斜率为 \(1/v_{\max}\)，纵轴截距为 \(K_{\mathrm M}/v_{\max}\)。

因此，

\[ \boxed{\text{7.2: (b), (f).}} \]

7.3

在式 (3) 中令 \([\ce{B}]_0=c_0\)：

\[ v_0= \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0c_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+c_0)}. \]

将与 \([\ce{A}]_0\) 无关的因子合并，得到

\[ v_0= \underbrace{\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}}_{v_{\max}} \frac{[\ce{A}]_0}{K+[\ce{A}]_0}. \]

这就是米氏形式，其中

\[ \boxed{ v_{\max}=\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}, \qquad K_{\mathrm M,A}=K. } \]

7.4

一个合适的反应方案应允许两种底物以任意顺序独立结合。仅结合一种底物的复合物为 \(\ce{EA}\) 和 \(\ce{EB}\)；两条途径均通向同时结合两种底物的复合物 \(\ce{EAB}\)：

\[ \begin{aligned} &\ce{E + A <=> EA},\\ &\ce{E + B <=> EB},\\ &\ce{EA + B <=> EAB},\\ &\ce{EB + A <=> EAB}. \end{aligned} \]

每个结合平衡的解离常数均为 \(K\)。只有同时结合两种底物的复合物才发生生成产物的步骤：

\[ \boxed{\ce{EAB ->[k] E + P_A + P_B}.} \]

底物转化的总反应为

\[ \ce{A + B -> P_A + P_B}. \]

因此，示意图应以 \(\ce{E}\)、\(\ce{EA}\)、\(\ce{EB}\) 和 \(\ce{EAB}\) 为四个顶点，构成表示结合过程的正方形，并从 \(\ce{EAB}\) 向 \(\ce{E + P_A + P_B}\) 画一条标有 \(k\) 的不可逆箭头。

为验证速率方程，令 \(a=[\ce{A}]_0\)、\(b=[\ce{B}]_0\)。由快速预平衡可得

\[ [\ce{EA}]=\frac{[\ce{E}]a}{K}, \qquad [\ce{EB}]=\frac{[\ce{E}]b}{K}, \qquad [\ce{EAB}]=\frac{[\ce{E}]ab}{K^2}. \]

因此，酶的物料衡算为

\[ \begin{aligned} [\ce{E}]_0 &=[\ce{E}]+[\ce{EA}]+[\ce{EB}]+[\ce{EAB}]\\ &=[\ce{E}] \left(1+\frac{a}{K}\right) \left(1+\frac{b}{K}\right). \end{aligned} \]

由此可得

\[ [\ce{EAB}] = \frac{[\ce{E}]_0ab}{(K+a)(K+b)}, \]

反应速率为

\[ v_0=k[\ce{EAB}] = \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0[\ce{B}]_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+[\ce{B}]_0)}, \]

与所要求的表达式一致。两种产物各自均以此速率生成。

7.5

设 \(n_A,n_B,n_C\) 分别为对三种底物具有专一性的位点数。它们均为正整数，且满足

\[ n_A+n_B+n_C=5. \]

首先，将米氏方程重排为 Eadie–Hofstee 形式：

\[ v_{0i} = v_{\max,i} - K_{\mathrm M,i}\frac{v_{0i}}{[\ce{S_i}]_0}. \]

斜率为 \(-K_{\mathrm M,i}\)，纵轴截距为每个位点的最大速率，与 \(k_{i3}\) 成正比。

图中有两条平行且较陡的直线，以及一条较平缓的直线。由题中给出的亲和力比较可知，\(K_{\mathrm M,C}<K_{\mathrm M,B}\)。因此，较平缓的直线必定对应 \(\ce{S_C}\)，而两条平行直线对应 \(\ce{S_A}\) 和 \(\ce{S_B}\)：

\[ \boxed{K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}>K_{\mathrm M,C}.} \]

C 位点的转换常数为

\[ k_{\mathrm{c3}} = 10200\ \mathrm{min^{-1}} \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s}\right) = 170\ \mathrm{s^{-1}}. \]

A 和 B 产物的合计生成速率上限为

\[ \frac{5.94\times10^6}{3600} = 1650\ \text{个分子每秒}. \]

因此，C 位点每秒至少必须生成

\[ 2023-1650=373\ \text{个分子每秒}. \]

对于一个酶分子，

\[ 170n_C\ge373, \qquad n_C\ge2.194. \]

由于 \(n_C\) 为整数，故 \(n_C\ge3\)。A 和 B 各自至少需要一个位点，因此 \(n_C\le3\)。所以

\[ \boxed{n_A=1,\qquad n_B=1,\qquad n_C=3.} \]

位点总数确实为 \(1+1+3=5\)。

接下来，C 复合物的两个反应为

\[ \ce{ES_C ->[k_{c2}] E + S_C}, \qquad \ce{ES_C ->[k_{c3}] E + P_C}. \]

由于它们的阿伦尼乌斯指前因子相等，可得

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{E_{\mathrm a,c2}-E_{\mathrm a,c3}}{RT} \right]. \]

取 \(T=298.15\ \mathrm K\)、\(R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\)，

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{1266}{8.314(298.15)} \right] \approx0.6001. \]

因此，

\[ \boxed{k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}.} \]

由此得到

\[ K_{\mathrm M,C} = \frac{k_{\mathrm{c2}}+k_{\mathrm{c3}}}{k_{\mathrm{c1}}} = \frac{102.0+170}{1.57\times10^7} \approx1.7326\times10^{-5}\ \mathrm M, \]

所以

\[ \boxed{K_{\mathrm M,C}=1.73\times10^{-5}\ \mathrm M.} \]

利用低浓度下的产物比例时，必须计入位点数。当各底物具有相同的浓度 \(s\ll K_{\mathrm M,i}\) 时，

\[ v_i = n_i[\ce{E}]_0 \frac{k_{i3}s}{K_{\mathrm M,i}+s} \approx n_i[\ce{E}]_0\frac{k_{i3}}{K_{\mathrm M,i}}s = n_i[\ce{E}]_0\varepsilon_i s. \]

题设的 \(s/K_{\mathrm M,i}\le10^{-3}\) 使这一近似合理。因此，

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 3:2:5. \]

代入已求得的位点数，

\[ \varepsilon_A:\varepsilon_B:3\varepsilon_C = 3:2:5, \]

或等价地，

\[ \boxed{\varepsilon_A:\varepsilon_B:\varepsilon_C=9:6:5.} \]

由于 \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\)，

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}}{k_{\mathrm{b3}}} = \frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac32. \]

在饱和条件下，由总产物生成速率可得

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}}+3k_{\mathrm{c3}}=2023\ \mathrm{s^{-1}}, \]

因此

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}} = 2023-3(170) = 1513\ \mathrm{s^{-1}}. \]

联立两者的和与比值，得到

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a3}}=\frac35(1513)=907.8\ \mathrm{s^{-1}}, } \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b3}}=\frac25(1513)=605.2\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

因此，两条平行直线中，较高的一条对应 A，较低的一条对应 B。

现在，由比值 \(\varepsilon_A/\varepsilon_C=9/5\) 可确定 A 和 B 共有的米氏常数：

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}/K_{\mathrm M,A}} {k_{\mathrm{c3}}/K_{\mathrm M,C}} = \frac95, \]

所以

\[ \begin{aligned} K_{\mathrm M,A} &=\frac{5k_{\mathrm{a3}}}{9k_{\mathrm{c3}}}K_{\mathrm M,C}\\ &=\frac{5(907.8)}{9(170)} \left(1.7326\times10^{-5}\right)\ \mathrm M\\ &\approx5.1399\times10^{-5}\ \mathrm M. \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{ K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}=5.14\times10^{-5}\ \mathrm M. } \]

最后，由 \(k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}}\) 和 \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\) 可知

\[ k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}} = k_{\mathrm{b2}}+k_{\mathrm{b3}}. \]

因此，

\[ k_{\mathrm{b2}}-k_{\mathrm{a2}} = k_{\mathrm{a3}}-k_{\mathrm{b3}} = 302.6\ \mathrm{s^{-1}}. \]

A 和 B 的解离速率常数不可能是相等的那一对。如果假设 \(k_{\mathrm{b2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}\)，则

\[ k_{\mathrm{a2}}\approx102.0-302.6=-200.6\ \mathrm{s^{-1}}, \]

这是不可能的。因此，相等的那一对必定是 A 和 C：

\[ \boxed{k_{\mathrm{a2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}},} \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b2}}\approx102.0+302.6 =404.6\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

共同的结合速率常数为

\[ \begin{aligned} k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} &=\frac{k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}}}{K_{\mathrm M,A}}\\ &\approx \frac{102.0+907.8}{5.1399\times10^{-5}}\\ &=1.9646\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. \end{aligned} \]

保留三位有效数字，

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} =1.96\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. } \]

未舍入的数值满足饱和条件下的两项约束：

\[ 907.8+605.2+3(170)=2023\ \text{个产物分子每秒}, \]

\[ (907.8+605.2)(3600) = 5.4468\times10^6 < 5.94\times10^6 \quad\text{个 A 和 B 产物分子每小时}. \]

它们也给出了所要求的低浓度下的总产物比例：

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 9:6:15 = 3:2:5. \]

解答已与官方解答核对。

Решение

7.1

Для механизма ММ из баланса фермента следует

\[ [\ce{E}]_0=[\ce{E}]+[\ce{ES}]. \]

При насыщении субстратом практически весь фермент находится в форме комплекса, поэтому

\[ [\ce{ES}]_{\max}=[\ce{E}]_0, \qquad v_{\max}=k_3[\ce{E}]_0. \]

Подстановка в уравнение (1) даёт

\[ v_0= \frac{k_3[\ce{E}]_0[\ce{S}]_0}{K_{\mathrm M}+[\ce{S}]_0} = \frac{k_3[\ce{E}]_0}{K_{\mathrm M}/[\ce{S}]_0+1}. \]

Таким образом, (a) и (e) верны. Кроме того, уравнение (2) принимает вид

\[ v_0=j[\ce{E}]_0=j[\ce{ES}]_{\max}, \]

поэтому (c) также верно.

В (b) \([\ce{E}]\) — концентрация свободного фермента, которая в общем случае отличается от общей концентрации \([\ce{E}]_0\). В (d) замена концентрации субстрата в числителе на \([\ce{ES}]_{\max}\) не сохраняет выражение ММ. В (f) дополнительный знаменатель, имеющий размерность концентрации, неверен; он также приводит к единицам \(\mathrm{s^{-1}}\), тогда как \(v_0\) имеет размерность концентрации, делённой на время.

Следовательно,

\[ \boxed{\text{7.1: (a), (c), (e).}} \]

7.2

Обозначим \(s=[\ce{S}]_0\), \(V=v_{\max}\) и \(K=K_{\mathrm M}\), причём \(V\) и \(K\) постоянны:

\[ v_0=\frac{Vs}{K+s}. \]

Для каждого предложенного варианта получаем следующую зависимость между указанными в нём \(y\) и \(x\):

Для (b) линейность непосредственно следует из \(x=v_0/K_{\mathrm M}\): прямая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент \(K_{\mathrm M}\).

Для (f) преобразование уравнения ММ даёт форму Хейнса–Вулфа:

\[ \frac{[\ce{S}]_0}{v_0} = \frac{K_{\mathrm M}}{v_{\max}} +\frac{[\ce{S}]_0}{v_{\max}}. \]

Её угловой коэффициент равен \(1/v_{\max}\), а отрезок, отсекаемый на оси ординат, равен \(K_{\mathrm M}/v_{\max}\).

Следовательно,

\[ \boxed{\text{7.2: (b), (f).}} \]

7.3

Положим \([\ce{B}]_0=c_0\) в уравнении (3):

\[ v_0= \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0c_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+c_0)}. \]

Объединив множители, не зависящие от \([\ce{A}]_0\), получим

\[ v_0= \underbrace{\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}}_{v_{\max}} \frac{[\ce{A}]_0}{K+[\ce{A}]_0}. \]

Это форма уравнения ММ, в которой

\[ \boxed{ v_{\max}=\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}, \qquad K_{\mathrm M,A}=K. } \]

7.4

Подходящая схема допускает независимое связывание двух субстратов в любом порядке. Комплексы с одним связанным субстратом — \(\ce{EA}\) и \(\ce{EB}\); оба пути ведут к комплексу с двумя связанными субстратами \(\ce{EAB}\):

\[ \begin{aligned} &\ce{E + A <=> EA},\\ &\ce{E + B <=> EB},\\ &\ce{EA + B <=> EAB},\\ &\ce{EB + A <=> EAB}. \end{aligned} \]

Каждое равновесие связывания характеризуется константой диссоциации \(K\). Только комплекс с двумя связанными субстратами вступает в стадию образования продуктов:

\[ \boxed{\ce{EAB ->[k] E + P_A + P_B}.} \]

Суммарное превращение субстратов имеет вид

\[ \ce{A + B -> P_A + P_B}. \]

Таким образом, на рисунке следовало бы изобразить квадрат связывания с \(\ce{E}\), \(\ce{EA}\), \(\ce{EB}\) и \(\ce{EAB}\) в вершинах и необратимую стрелку с обозначением \(k\) от \(\ce{EAB}\) к \(\ce{E + P_A + P_B}\).

Чтобы проверить кинетическое уравнение, обозначим \(a=[\ce{A}]_0\) и \(b=[\ce{B}]_0\). Быстро устанавливающееся предварительное равновесие даёт

\[ [\ce{EA}]=\frac{[\ce{E}]a}{K}, \qquad [\ce{EB}]=\frac{[\ce{E}]b}{K}, \qquad [\ce{EAB}]=\frac{[\ce{E}]ab}{K^2}. \]

Следовательно, баланс фермента имеет вид

\[ \begin{aligned} [\ce{E}]_0 &=[\ce{E}]+[\ce{EA}]+[\ce{EB}]+[\ce{EAB}]\\ &=[\ce{E}] \left(1+\frac{a}{K}\right) \left(1+\frac{b}{K}\right). \end{aligned} \]

Отсюда

\[ [\ce{EAB}] = \frac{[\ce{E}]_0ab}{(K+a)(K+b)}, \]

а скорость реакции равна

\[ v_0=k[\ce{EAB}] = \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0[\ce{B}]_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+[\ce{B}]_0)}, \]

что и требовалось получить. Каждый из двух продуктов образуется с этой скоростью.

7.5

Пусть \(n_A,n_B,n_C\) — числа центров, специфичных к трём субстратам. Это положительные целые числа, удовлетворяющие условию

\[ n_A+n_B+n_C=5. \]

Сначала преобразуем уравнение ММ к форме Иди–Хофсти:

\[ v_{0i} = v_{\max,i} - K_{\mathrm M,i}\frac{v_{0i}}{[\ce{S_i}]_0}. \]

Угловой коэффициент равен \(-K_{\mathrm M,i}\), а отрезок, отсекаемый на оси ординат, — максимальной скорости в расчёте на один центр, пропорциональной \(k_{i3}\).

На графике представлены две параллельные, более крутые прямые и одна более пологая. Из указанного сравнения сродства следует \(K_{\mathrm M,C}<K_{\mathrm M,B}\). Поэтому пологая прямая должна соответствовать \(\ce{S_C}\), а две параллельные прямые — \(\ce{S_A}\) и \(\ce{S_B}\):

\[ \boxed{K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}>K_{\mathrm M,C}.} \]

Каталитическая константа для центра C равна

\[ k_{\mathrm{c3}} = 10200\ \mathrm{min^{-1}} \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s}\right) = 170\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Максимально допустимая суммарная скорость образования продуктов A и B составляет

\[ \frac{5.94\times10^6}{3600} = 1650\ \text{молекул в секунду}. \]

Следовательно, центры C должны производить по крайней мере

\[ 2023-1650=373\ \text{молекулы в секунду}. \]

Для одной молекулы фермента

\[ 170n_C\ge373, \qquad n_C\ge2.194. \]

Поскольку \(n_C\) — целое число, \(n_C\ge3\). Для каждого из A и B требуется по крайней мере один центр, поэтому \(n_C\le3\). Отсюда

\[ \boxed{n_A=1,\qquad n_B=1,\qquad n_C=3.} \]

Число центров действительно равно \(1+1+3=5\).

Далее, две реакции комплекса C имеют вид

\[ \ce{ES_C ->[k_{c2}] E + S_C}, \qquad \ce{ES_C ->[k_{c3}] E + P_C}. \]

Из равенства их предэкспоненциальных множителей в уравнении Аррениуса следует

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{E_{\mathrm a,c2}-E_{\mathrm a,c3}}{RT} \right]. \]

Используя \(T=298.15\ \mathrm K\) и \(R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\), получаем

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{1266}{8.314(298.15)} \right] \approx0.6001. \]

Следовательно,

\[ \boxed{k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}.} \]

Отсюда следует

\[ K_{\mathrm M,C} = \frac{k_{\mathrm{c2}}+k_{\mathrm{c3}}}{k_{\mathrm{c1}}} = \frac{102.0+170}{1.57\times10^7} \approx1.7326\times10^{-5}\ \mathrm M, \]

так что

\[ \boxed{K_{\mathrm M,C}=1.73\times10^{-5}\ \mathrm M.} \]

Чтобы использовать соотношение продуктов при низких концентрациях, необходимо учесть число центров. При одинаковой концентрации субстратов \(s\ll K_{\mathrm M,i}\)

\[ v_i = n_i[\ce{E}]_0 \frac{k_{i3}s}{K_{\mathrm M,i}+s} \approx n_i[\ce{E}]_0\frac{k_{i3}}{K_{\mathrm M,i}}s = n_i[\ce{E}]_0\varepsilon_i s. \]

Указанное условие \(s/K_{\mathrm M,i}\le10^{-3}\) обосновывает это приближение. Следовательно,

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 3:2:5. \]

С учётом уже найденных чисел центров

\[ \varepsilon_A:\varepsilon_B:3\varepsilon_C = 3:2:5, \]

или, что эквивалентно,

\[ \boxed{\varepsilon_A:\varepsilon_B:\varepsilon_C=9:6:5.} \]

Поскольку \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\),

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}}{k_{\mathrm{b3}}} = \frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac32. \]

При насыщении суммарная скорость образования продуктов даёт

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}}+3k_{\mathrm{c3}}=2023\ \mathrm{s^{-1}}, \]

откуда

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}} = 2023-3(170) = 1513\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Используя совместно сумму и отношение, получаем

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a3}}=\frac35(1513)=907.8\ \mathrm{s^{-1}}, } \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b3}}=\frac25(1513)=605.2\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Таким образом, верхняя из двух параллельных прямых соответствует A, а нижняя — B.

Теперь отношение \(\varepsilon_A/\varepsilon_C=9/5\) определяет общую для A и B константу Михаэлиса:

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}/K_{\mathrm M,A}} {k_{\mathrm{c3}}/K_{\mathrm M,C}} = \frac95, \]

так что

\[ \begin{aligned} K_{\mathrm M,A} &=\frac{5k_{\mathrm{a3}}}{9k_{\mathrm{c3}}}K_{\mathrm M,C}\\ &=\frac{5(907.8)}{9(170)} \left(1.7326\times10^{-5}\right)\ \mathrm M\\ &\approx5.1399\times10^{-5}\ \mathrm M. \end{aligned} \]

Следовательно,

\[ \boxed{ K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}=5.14\times10^{-5}\ \mathrm M. } \]

Наконец, из \(k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}}\) и \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\) следует

\[ k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}} = k_{\mathrm{b2}}+k_{\mathrm{b3}}. \]

Таким образом,

\[ k_{\mathrm{b2}}-k_{\mathrm{a2}} = k_{\mathrm{a3}}-k_{\mathrm{b3}} = 302.6\ \mathrm{s^{-1}}. \]

Константы скорости диссоциации A и B не могут составлять пару равных констант. Если же \(k_{\mathrm{b2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}\), то

\[ k_{\mathrm{a2}}\approx102.0-302.6=-200.6\ \mathrm{s^{-1}}, \]

что невозможно. Следовательно, пару равных констант должны составлять A и C:

\[ \boxed{k_{\mathrm{a2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}},} \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b2}}\approx102.0+302.6 =404.6\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

Общая константа скорости ассоциации равна

\[ \begin{aligned} k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} &=\frac{k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}}}{K_{\mathrm M,A}}\\ &\approx \frac{102.0+907.8}{5.1399\times10^{-5}}\\ &=1.9646\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. \end{aligned} \]

С точностью до трёх значащих цифр

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} =1.96\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. } \]

Неокруглённые значения удовлетворяют двум ограничениям при насыщении:

\[ 907.8+605.2+3(170)=2023\ \text{молекулы продуктов в секунду}, \]

\[ (907.8+605.2)(3600) = 5.4468\times10^6 < 5.94\times10^6 \quad\text{молекул продуктов A и B в час}. \]

Они также дают требуемое соотношение суммарных количеств продуктов при низких концентрациях:

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 9:6:15 = 3:2:5. \]

Решение проверено по официальному решению.

الحل

7.1

في آلية MM، يعطي انحفاظ كمية الإنزيم

\[ [\ce{E}]_0=[\ce{E}]+[\ce{ES}]. \]

عند الإشباع بالركيزة، يكون كل الإنزيم تقريبًا موجودًا على هيئة المعقّد، لذا

\[ [\ce{ES}]_{\max}=[\ce{E}]_0, \qquad v_{\max}=k_3[\ce{E}]_0. \]

بالتعويض في المعادلة (1) نحصل على

\[ v_0= \frac{k_3[\ce{E}]_0[\ce{S}]_0}{K_{\mathrm M}+[\ce{S}]_0} = \frac{k_3[\ce{E}]_0}{K_{\mathrm M}/[\ce{S}]_0+1}. \]

إذن (a) و(e) صحيحتان. كذلك، تصبح المعادلة (2)

\[ v_0=j[\ce{E}]_0=j[\ce{ES}]_{\max}, \]

ومن ثم فإن (c) صحيحة.

في (b)، يمثّل \([\ce{E}]\) تركيز الإنزيم الحر، الذي يختلف عمومًا عن التركيز الكلي \([\ce{E}]_0\). وفي (d)، لا يحافظ استبدال تركيز الركيزة في البسط بـ \([\ce{ES}]_{\max}\) على تعبير MM. وفي (f)، فإن عامل التركيز الإضافي في المقام غير صحيح؛ كما أنه يعطي وحدات \(\mathrm{s^{-1}}\)، في حين أن وحدات \(v_0\) هي تركيز لكل وحدة زمن.

وعليه،

\[ \boxed{\text{7.1: (a), (c), (e).}} \]

7.2

لنكتب \(s=[\ce{S}]_0\) و\(V=v_{\max}\) و\(K=K_{\mathrm M}\)، مع ثبات \(V\) و\(K\):

\[ v_0=\frac{Vs}{K+s}. \]

يعطي كل خيار مقترح العلاقة الآتية بين \(y\) و\(x\) المحدّدين فيه:

بالنسبة إلى (b)، تنتج الخطية مباشرةً من \(x=v_0/K_{\mathrm M}\): يمر الخط بنقطة الأصل وميله \(K_{\mathrm M}\).

بالنسبة إلى (f)، تعطي إعادة ترتيب معادلة MM صيغة هينز–وولف:

\[ \frac{[\ce{S}]_0}{v_0} = \frac{K_{\mathrm M}}{v_{\max}} +\frac{[\ce{S}]_0}{v_{\max}}. \]

ميلها هو \(1/v_{\max}\)، ومقطعها على المحور الرأسي هو \(K_{\mathrm M}/v_{\max}\).

وعليه،

\[ \boxed{\text{7.2: (b), (f).}} \]

7.3

نضع \([\ce{B}]_0=c_0\) في المعادلة (3):

\[ v_0= \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0c_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+c_0)}. \]

بتجميع العوامل المستقلة عن \([\ce{A}]_0\)،

\[ v_0= \underbrace{\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}}_{v_{\max}} \frac{[\ce{A}]_0}{K+[\ce{A}]_0}. \]

هذه هي صيغة MM، حيث

\[ \boxed{ v_{\max}=\frac{k[\ce{E}]_0c_0}{K+c_0}, \qquad K_{\mathrm M,A}=K. } \]

7.4

يسمح المخطط المناسب بارتباط الركيزتين بصورة مستقلة، بأي من الترتيبين. والمعقّدان المرتبطان بركيزة واحدة هما \(\ce{EA}\) و\(\ce{EB}\)؛ ويؤدي كلا المسارين إلى المعقّد المرتبط بالركيزتين \(\ce{EAB}\):

\[ \begin{aligned} &\ce{E + A <=> EA},\\ &\ce{E + B <=> EB},\\ &\ce{EA + B <=> EAB},\\ &\ce{EB + A <=> EAB}. \end{aligned} \]

لكل اتزان ارتباط ثابت تفكك \(K\). ولا يخضع لخطوة تكوين النواتج إلا المعقّد المرتبط بالركيزتين:

\[ \boxed{\ce{EAB ->[k] E + P_A + P_B}.} \]

التحوّل الكلي للركيزتين هو

\[ \ce{A + B -> P_A + P_B}. \]

وعليه، سيُظهر الرسم مربعًا للارتباط تقع \(\ce{E}\) و\(\ce{EA}\) و\(\ce{EB}\) و\(\ce{EAB}\) عند رؤوسه، وسهمًا غير عكوس موسومًا بـ \(k\) من \(\ce{EAB}\) إلى \(\ce{E + P_A + P_B}\).

للتحقّق من قانون السرعة، نضع \(a=[\ce{A}]_0\) و\(b=[\ce{B}]_0\). يعطي الاتزان المسبق السريع

\[ [\ce{EA}]=\frac{[\ce{E}]a}{K}, \qquad [\ce{EB}]=\frac{[\ce{E}]b}{K}, \qquad [\ce{EAB}]=\frac{[\ce{E}]ab}{K^2}. \]

ومن ثم فإن موازنة الإنزيم هي

\[ \begin{aligned} [\ce{E}]_0 &=[\ce{E}]+[\ce{EA}]+[\ce{EB}]+[\ce{EAB}]\\ &=[\ce{E}] \left(1+\frac{a}{K}\right) \left(1+\frac{b}{K}\right). \end{aligned} \]

وبالتالي،

\[ [\ce{EAB}] = \frac{[\ce{E}]_0ab}{(K+a)(K+b)}, \]

وتكون سرعة التفاعل

\[ v_0=k[\ce{EAB}] = \frac{k[\ce{E}]_0[\ce{A}]_0[\ce{B}]_0} {(K+[\ce{A}]_0)(K+[\ce{B}]_0)}, \]

كما هو مطلوب. ويتكوّن كل من الناتجين بهذه السرعة.

7.5

لتكن \(n_A,n_B,n_C\) أعداد المواقع المختصة بالركائز الثلاث. وهي أعداد صحيحة موجبة تحقق

\[ n_A+n_B+n_C=5. \]

أولًا، نعيد ترتيب معادلة MM للحصول على صيغة إيدي–هوفستي:

\[ v_{0i} = v_{\max,i} - K_{\mathrm M,i}\frac{v_{0i}}{[\ce{S_i}]_0}. \]

الميل هو \(-K_{\mathrm M,i}\)، والمقطع على المحور الرأسي هو السرعة القصوى لكل موقع، وهي متناسبة مع \(k_{i3}\).

يحتوي الرسم البياني على خطين متوازيين أشد انحدارًا وخط واحد أقل انحدارًا. باستخدام المقارنة المذكورة للألفة، يكون \(K_{\mathrm M,C}<K_{\mathrm M,B}\). لذلك، لا بد أن يقابل الخط الأقل انحدارًا \(\ce{S_C}\)، وأن يقابل الخطان المتوازيان \(\ce{S_A}\) و\(\ce{S_B}\):

\[ \boxed{K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}>K_{\mathrm M,C}.} \]

ثابت الدوران التحفيزي لموقع C هو

\[ k_{\mathrm{c3}} = 10200\ \mathrm{min^{-1}} \left(\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm s}\right) = 170\ \mathrm{s^{-1}}. \]

أقصى معدل مسموح به لإنتاج A وB مجتمعين هو

\[ \frac{5.94\times10^6}{3600} = 1650\ \text{جزيئًا في الثانية}. \]

لذلك، يجب أن تنتج مواقع C ما لا يقل عن

\[ 2023-1650=373\ \text{جزيئًا في الثانية}. \]

لجزيء إنزيم واحد،

\[ 170n_C\ge373, \qquad n_C\ge2.194. \]

بما أن \(n_C\) عدد صحيح، فإن \(n_C\ge3\). ويلزم موقع واحد على الأقل لكل من A وB، لذا \(n_C\le3\). ومن ثم

\[ \boxed{n_A=1,\qquad n_B=1,\qquad n_C=3.} \]

وبالفعل، فإن عدد المواقع هو \(1+1+3=5\).

بعد ذلك، يكون تفاعلا معقّد C هما

\[ \ce{ES_C ->[k_{c2}] E + S_C}, \qquad \ce{ES_C ->[k_{c3}] E + P_C}. \]

يعطي تساوي العاملين السابقين للأسّ في معادلة أرهينيوس لهذين التفاعلين

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{E_{\mathrm a,c2}-E_{\mathrm a,c3}}{RT} \right]. \]

باستخدام \(T=298.15\ \mathrm K\) و\(R=8.314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\)،

\[ \frac{k_{\mathrm{c2}}}{k_{\mathrm{c3}}} = \exp\left[ -\frac{1266}{8.314(298.15)} \right] \approx0.6001. \]

وعليه،

\[ \boxed{k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}.} \]

ينتج عن ذلك أن

\[ K_{\mathrm M,C} = \frac{k_{\mathrm{c2}}+k_{\mathrm{c3}}}{k_{\mathrm{c1}}} = \frac{102.0+170}{1.57\times10^7} \approx1.7326\times10^{-5}\ \mathrm M, \]

ومن ثم

\[ \boxed{K_{\mathrm M,C}=1.73\times10^{-5}\ \mathrm M.} \]

لاستخدام نسبة النواتج عند التراكيز المنخفضة، يجب أخذ عدد المواقع في الحسبان. عند تركيز مشترك للركائز \(s\ll K_{\mathrm M,i}\)،

\[ v_i = n_i[\ce{E}]_0 \frac{k_{i3}s}{K_{\mathrm M,i}+s} \approx n_i[\ce{E}]_0\frac{k_{i3}}{K_{\mathrm M,i}}s = n_i[\ce{E}]_0\varepsilon_i s. \]

يبرّر الشرط المعطى \(s/K_{\mathrm M,i}\le10^{-3}\) هذا التقريب. وبالتالي،

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 3:2:5. \]

باستخدام أعداد المواقع التي وجدناها،

\[ \varepsilon_A:\varepsilon_B:3\varepsilon_C = 3:2:5, \]

أو، بصورة مكافئة،

\[ \boxed{\varepsilon_A:\varepsilon_B:\varepsilon_C=9:6:5.} \]

بما أن \(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\)،

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}}{k_{\mathrm{b3}}} = \frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac32. \]

عند الإشباع، يعطي معدل الإنتاج الكلي

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}}+3k_{\mathrm{c3}}=2023\ \mathrm{s^{-1}}, \]

ومن ثم

\[ k_{\mathrm{a3}}+k_{\mathrm{b3}} = 2023-3(170) = 1513\ \mathrm{s^{-1}}. \]

بالجمع بين المجموع والنسبة،

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a3}}=\frac35(1513)=907.8\ \mathrm{s^{-1}}, } \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b3}}=\frac25(1513)=605.2\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

إذن الخط الأعلى من الخطين المتوازيين هو A، والأدنى هو B.

تحدّد النسبة \(\varepsilon_A/\varepsilon_C=9/5\) الآن ثابت ميكايليس المشترك لـ A وB:

\[ \frac{k_{\mathrm{a3}}/K_{\mathrm M,A}} {k_{\mathrm{c3}}/K_{\mathrm M,C}} = \frac95, \]

ومن ثم

\[ \begin{aligned} K_{\mathrm M,A} &=\frac{5k_{\mathrm{a3}}}{9k_{\mathrm{c3}}}K_{\mathrm M,C}\\ &=\frac{5(907.8)}{9(170)} \left(1.7326\times10^{-5}\right)\ \mathrm M\\ &\approx5.1399\times10^{-5}\ \mathrm M. \end{aligned} \]

وعليه،

\[ \boxed{ K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}=5.14\times10^{-5}\ \mathrm M. } \]

أخيرًا، يقتضي \(k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}}\) و\(K_{\mathrm M,A}=K_{\mathrm M,B}\) أن

\[ k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}} = k_{\mathrm{b2}}+k_{\mathrm{b3}}. \]

إذن،

\[ k_{\mathrm{b2}}-k_{\mathrm{a2}} = k_{\mathrm{a3}}-k_{\mathrm{b3}} = 302.6\ \mathrm{s^{-1}}. \]

لا يمكن أن يكون ثابتا سرعة التفكك لـ A وB هما الزوج المتساوي. وإذا كان بدلًا من ذلك \(k_{\mathrm{b2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}}\)، فإن

\[ k_{\mathrm{a2}}\approx102.0-302.6=-200.6\ \mathrm{s^{-1}}, \]

وهذا مستحيل. لذلك لا بد أن يكون الزوج المتساوي هو A وC:

\[ \boxed{k_{\mathrm{a2}}=k_{\mathrm{c2}}\approx102.0\ \mathrm{s^{-1}},} \]

\[ \boxed{ k_{\mathrm{b2}}\approx102.0+302.6 =404.6\ \mathrm{s^{-1}}. } \]

ثابت سرعة الارتباط المشترك هو

\[ \begin{aligned} k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} &=\frac{k_{\mathrm{a2}}+k_{\mathrm{a3}}}{K_{\mathrm M,A}}\\ &\approx \frac{102.0+907.8}{5.1399\times10^{-5}}\\ &=1.9646\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. \end{aligned} \]

بالتقريب إلى ثلاثة أرقام معنوية،

\[ \boxed{ k_{\mathrm{a1}}=k_{\mathrm{b1}} =1.96\times10^7\ \mathrm{M^{-1}\,s^{-1}}. } \]

تحقق القيم غير المقرّبة القيدين عند الإشباع:

\[ 907.8+605.2+3(170)=2023\ \text{ناتجًا في الثانية}, \]

\[ (907.8+605.2)(3600) = 5.4468\times10^6 < 5.94\times10^6 \quad\text{من نواتج A وB في الساعة}. \]

كما أنها تعطي النسبة المطلوبة لإجمالي النواتج عند التراكيز المنخفضة:

\[ n_A\varepsilon_A:n_B\varepsilon_B:n_C\varepsilon_C = 9:6:15 = 3:2:5. \]

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.