Mevlana (Rumi) was a great mystic and Sufi poet who lived out his days in Konya in the \(13^{\mathrm{th}}\) century. The indirect relevance of Konya to chemistry is that the city provides 65% of the country’s carrot production, from which one of the essential vitamins (vitamin A) is obtained.

Carrot is an important source of β-carotene, which gives the vegetable its orange color. This molecule is a red-orange pigment naturally found in plants and fruits and is a provitamin A carotenoid. It is converted to vitamin A, which is essential for normal growth and development, the immune system, and vision function.

Figure 1. Ball and stick representation of the structure of β-carotene. The gray and white spheres represent the carbon and hydrogen atoms, respectively. The numbered carbon atoms belong to the linear conjugated π-segment of the molecule.

β-Carotene has an extended polyene chain of 22 carbon atoms. It is a conjugated \(\pi\)-system, having alternating single and double bonds. Its experimental maximum absorption wavelength (\(\lambda_{\max}\)) is 455 nm. We assume that all the bonds between \(C_1\) and \(C_{22}\) are conjugated bonds. There are 22 \(\pi\)-electrons in the molecule (Figure 1).

To a crude approximation, the electrons in the \(\ce{C}\text{-}2p_z\) orbitals, which are perpendicular to the molecular plane, are assumed to move along the entire molecule, without interacting with each other. They are like independent particles confined in a molecule moving along the x-axis in one dimension. These characteristics of π-electrons make them eligible for being treated by the simplest model called the particle in one-dimensional box model.

The wave function and the energies of the quantized levels for an electron moving in a one- dimensional box with infinite potential walls are given as follows:

\[ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

here \(n\) is the quantum number, \(n=1,2,3,4,\ldots\infty\), and \(L\) is the box length.

\[ E_n=\frac{n^2h^2}{8m_eL^2} \]

In two dimension system, within the framework of independent particle approximation, the wavefunction is expressed as a product of one-dimensional wavefunctions, and the energy is expressed as a sum of one-dimensional energies. The energy levels of the two dimensional rectangular box is given as follows:

\[ E_{n_xn_y} = \left[\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right] \left\{\frac{h^2}{8m_e}\right\} \]

where \(n_x,n_y\) are the quantum numbers and they are positive integers. \(L_x,L_y\) are the dimensions of the box in the 2D model. They are positive numbers.

5.1 The β-carotene molecule is orange in color because:

i) It absorbs in the visible region of the electromagnetic spectrum.

ii) HOMO → LUMO transition occurs by absorption of IR photon.

iii) The spacing between the \(22^{\mathrm{nd}}\) and the \(23^{\mathrm{rd}}\) energy levels is equal to the energy of the IR photon at the orange wavelength.

iv) It absorbs green/blue light and it transmits red/yellow color.

v) It absorbs in the UV-VIS region since the molecule has no net dipole moment.

Choose which pair of the above sentences is correct?

The pairs of sentences are as follows:

Although it is highly unrealistic, let us assume that the conjugated segment of the molecule is linear and treated with the particle in a one-dimensional box model as shown in figure 2. In this case, the length of the box can be approximated as \(L=1.40\times n_{\mathrm C}\) (in Å), where \(n_{\mathrm C}\) is the number of carbon atoms in the conjugated segment.

Use this information to answer the questions 5.2–5.6.

Figure 2. Schematic representation of the conjugated line segment made up carbon atoms of β-carotene in a one-dimensional box of length L.

5.2 Calculate the energies (in J) of the lowest two energy levels.

5.3 Draw the wavefunctions of the lowest two energy levels with proper labelling the x-axis.

5.4 Sketch the energy level diagram up to \(n=4\) showing the relative spacing.

5.5 What is the total \(\pi\)-energy (in J) of the molecule?

5.6 Calculate the wavelength (in nm) at which the transition between the highest occupied and lowest unoccupied energy levels occurs.

Use the particle in a two-dimensional box model to answer questions 5.7 – 5.8.

Figure 3. Schematic representation of the conjugated carbon atoms of β-carotene in a two-dimensional box.

Assume that the conjugated segment is made up of conjugated bonds that are all-trans to each other. The motion of the π-electrons is studied in the two-dimensional rectangular box with the dimensions \(L_x=26.0\) Å, \(L_y=3.0\) Å (Figure 3).

5.7 Calculate the energies (in J) of the highest occupied and the lowest unoccupied energy levels and the wavelength (in nm) at which the transition between these energy levels occurs.

5.8 What should be the \(L_x\) value (in Å) in order for the molecule to absorb light at the experimental \(\lambda_{\max}=455\) nm if \(L_y\) is kept constant at 3.0 Å. (Assume that the quantum numbers for homo and lumo are the same as in the question 5.7.)

Official English text of the problem.

Mevlana (Rumi) war ein großer Mystiker und Sufi-Dichter, der im \(13^{\mathrm{th}}\) Jahrhundert in Konya lebte. Die indirekte Bedeutung Konyas für die Chemie besteht darin, dass die Stadt 65% der Karottenproduktion des Landes liefert; aus Karotten wird eines der essenziellen Vitamine (Vitamin A) gewonnen.

Die Karotte ist eine wichtige Quelle für β-Carotin, das dem Gemüse seine orange Farbe verleiht. Dieses Molekül ist ein rotorangefarbenes Pigment, das natürlicherweise in Pflanzen und Früchten vorkommt, und gehört zu den Carotinoiden mit Provitamin-A-Wirkung. Es wird in Vitamin A umgewandelt, das für normales Wachstum und normale Entwicklung, das Immunsystem und die Sehfunktion essenziell ist.

Abbildung 1. Kugel-Stab-Modell der Struktur von β-Carotin. Die grauen und weißen Kugeln stellen die Kohlenstoff- bzw. Wasserstoffatome dar. Die nummerierten Kohlenstoffatome gehören zum linearen konjugierten π-Abschnitt des Moleküls.

β-Carotin besitzt eine ausgedehnte Polyenkette aus 22 Kohlenstoffatomen. Sie bildet ein konjugiertes \(\pi\)-System mit abwechselnden Einfach- und Doppelbindungen. Die experimentell bestimmte Wellenlänge des Absorptionsmaximums (\(\lambda_{\max}\)) beträgt 455 nm. Wir nehmen an, dass alle Bindungen zwischen \(C_1\) und \(C_{22}\) konjugierte Bindungen sind. Das Molekül enthält 22 \(\pi\)-Elektronen (Abbildung 1).

In einer groben Näherung wird angenommen, dass sich die Elektronen in den \(\ce{C}\text{-}2p_z\)-Orbitalen, die senkrecht zur Molekülebene stehen, entlang des gesamten Moleküls bewegen, ohne miteinander wechselzuwirken. Sie verhalten sich wie unabhängige Teilchen, die in einem Molekül eingeschlossen sind und sich in einer Dimension entlang der x-Achse bewegen. Aufgrund dieser Eigenschaften der π-Elektronen lassen sie sich mit dem einfachsten Modell, dem Modell Teilchen im eindimensionalen Kasten, beschreiben.

Die Wellenfunktion und die Energien der quantisierten Niveaus eines Elektrons, das sich in einem eindimensionalen Kasten mit unendlich hohen Potenzialwänden bewegt, sind wie folgt gegeben:

\[ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

Dabei ist \(n\) die Quantenzahl, \(n=1,2,3,4,\ldots\infty\), und \(L\) die Kastenlänge.

\[ E_n=\frac{n^2h^2}{8m_eL^2} \]

In einem zweidimensionalen System wird im Rahmen der Näherung unabhängiger Teilchen die Wellenfunktion als Produkt eindimensionaler Wellenfunktionen und die Energie als Summe eindimensionaler Energien ausgedrückt. Die Energieniveaus des zweidimensionalen rechteckigen Kastens sind wie folgt gegeben:

\[ E_{n_xn_y} = \left[\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right] \left\{\frac{h^2}{8m_e}\right\} \]

Dabei sind \(n_x,n_y\) die Quantenzahlen; sie sind positive ganze Zahlen. \(L_x,L_y\) sind die Abmessungen des Kastens im 2D-Modell. Sie sind positive Zahlen.

5.1 Das β-Carotin-Molekül ist orange, weil:

i) Es im sichtbaren Bereich des elektromagnetischen Spektrums absorbiert.

ii) Der HOMO → LUMO-Übergang durch Absorption eines IR-Photons erfolgt.

iii) Der Abstand zwischen dem \(22^{\mathrm{nd}}\) und dem \(23^{\mathrm{rd}}\) Energieniveau gleich der Energie des IR-Photons bei der Wellenlänge von orangefarbenem Licht ist.

iv) Es grünes/blaues Licht absorbiert und rotes/gelbes Licht durchlässt.

v) Es im UV-VIS-Bereich absorbiert, da das Molekül kein resultierendes Dipolmoment besitzt.

Welches Paar der obigen Aussagen ist richtig?

Die Aussagenpaare lauten wie folgt:

Obwohl dies höchst unrealistisch ist, nehmen wir an, dass der konjugierte Abschnitt des Moleküls linear ist und mit dem Modell eines Teilchens im eindimensionalen Kasten behandelt wird, wie in Abbildung 2 gezeigt. In diesem Fall lässt sich die Kastenlänge näherungsweise als \(L=1.40\times n_{\mathrm C}\) (in Å) angeben, wobei \(n_{\mathrm C}\) die Anzahl der Kohlenstoffatome im konjugierten Abschnitt ist.

Verwenden Sie diese Angaben zur Beantwortung der Fragen 5.2–5.6.

Abbildung 2. Schematische Darstellung des aus Kohlenstoffatomen des β-Carotins bestehenden geradlinigen konjugierten Abschnitts in einem eindimensionalen Kasten der Länge L.

5.2 Berechnen Sie die Energien (in J) der beiden niedrigsten Energieniveaus.

5.3 Zeichnen Sie die Wellenfunktionen der beiden niedrigsten Energieniveaus und beschriften Sie die x-Achse entsprechend.

5.4 Skizzieren Sie das Energieniveaudiagramm bis \(n=4\) unter Berücksichtigung der relativen Abstände.

5.5 Wie groß ist die gesamte \(\pi\)-Energie (in J) des Moleküls?

5.6 Berechnen Sie die Wellenlänge (in nm), bei der der Übergang zwischen dem höchsten besetzten und dem niedrigsten unbesetzten Energieniveau erfolgt.

Verwenden Sie das Modell eines Teilchens im zweidimensionalen Kasten zur Beantwortung der Fragen 5.7 – 5.8.

Abbildung 3. Schematische Darstellung der konjugierten Kohlenstoffatome des β-Carotins in einem zweidimensionalen Kasten.

Nehmen Sie an, dass der konjugierte Abschnitt aus konjugierten Bindungen besteht, die alle in trans-Anordnung zueinander stehen. Die Bewegung der π-Elektronen wird im zweidimensionalen rechteckigen Kasten mit den Abmessungen \(L_x=26.0\) Å, \(L_y=3.0\) Å untersucht (Abbildung 3).

5.7 Berechnen Sie die Energien (in J) des höchsten besetzten und des niedrigsten unbesetzten Energieniveaus sowie die Wellenlänge (in nm), bei der der Übergang zwischen diesen Energieniveaus erfolgt.

5.8 Welchen Wert muss \(L_x\) (in Å) haben, damit das Molekül Licht bei der experimentellen Wellenlänge \(\lambda_{\max}=455\) nm absorbiert, wenn \(L_y\) konstant bei 3.0 Å gehalten wird? (Nehmen Sie an, dass die Quantenzahlen für HOMO und LUMO dieselben sind wie in Frage 5.7.)

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Mevlana (Rumi), \(13^{\mathrm{th}}\) yüzyılda Konya'da yaşamış büyük bir mutasavvıf ve tasavvuf şairiydi. Konya'nın kimyayla dolaylı bağlantısı, temel vitaminlerden birinin (A vitamini) elde edildiği havucun ülke üretiminin %65'inin bu şehirde gerçekleştirilmesidir.

Havuç, sebzeye turuncu rengini veren β-karotenin önemli bir kaynağıdır. Bu molekül, bitki ve meyvelerde doğal olarak bulunan kırmızı-turuncu bir pigmenttir ve provitamin A özelliği taşıyan bir karotenoiddir. Normal büyüme ve gelişme, bağışıklık sistemi ve görme işlevi için gerekli olan A vitaminine dönüştürülür.

Şekil 1. β-karotenin yapısının top-çubuk modeliyle gösterimi. Gri ve beyaz küreler sırasıyla karbon ve hidrojen atomlarını temsil eder. Numaralandırılmış karbon atomları, molekülün doğrusal konjuge π-bölümüne aittir.

β-Karoten, 22 karbon atomundan oluşan uzun bir polien zincirine sahiptir. Dönüşümlü olarak tekli ve çiftli bağlar içeren konjuge bir \(\pi\)-sistemidir. Deneysel maksimum soğurma dalga boyu (\(\lambda_{\max}\)) 455 nm'dir. \(C_1\) ile \(C_{22}\) arasındaki tüm bağların konjuge bağlar olduğunu varsayıyoruz. Molekülde 22 \(\pi\)-elektronu vardır (Şekil 1).

Kaba bir yaklaşımla, molekül düzlemine dik olan \(\ce{C}\text{-}2p_z\) orbitallerindeki elektronların, birbirleriyle etkileşmeden molekülün tamamı boyunca hareket ettikleri varsayılır. Bunlar, bir molekül içinde hapsedilmiş, x-ekseni boyunca tek boyutta hareket eden bağımsız parçacıklar gibidir. π-elektronlarının bu özellikleri, bir boyutlu kutudaki parçacık modeli adı verilen en basit modelle ele alınmalarını mümkün kılar.

Sonsuz potansiyel duvarları olan bir boyutlu bir kutuda hareket eden bir elektronun dalga fonksiyonu ve kuantalanmış düzeylerinin enerjileri aşağıdaki gibi verilir:

\[ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

Burada \(n\) kuantum sayısıdır, \(n=1,2,3,4,\ldots\infty\) ve \(L\) kutunun uzunluğudur.

\[ E_n=\frac{n^2h^2}{8m_eL^2} \]

İki boyutlu bir sistemde, bağımsız parçacık yaklaşımı çerçevesinde, dalga fonksiyonu bir boyutlu dalga fonksiyonlarının çarpımı olarak, enerji ise bir boyutlu enerjilerin toplamı olarak ifade edilir. İki boyutlu dikdörtgen kutunun enerji düzeyleri aşağıdaki gibi verilir:

\[ E_{n_xn_y} = \left[\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right] \left\{\frac{h^2}{8m_e}\right\} \]

Burada \(n_x,n_y\) kuantum sayılarıdır ve pozitif tam sayılardır. \(L_x,L_y\), iki boyutlu modelde kutunun boyutlarıdır. Bunlar pozitif sayılardır.

5.1 β-karoten molekülü turuncu renktedir, çünkü:

i) Elektromanyetik spektrumun görünür bölgesinde soğurma yapar.

ii) HOMO → LUMO geçişi bir IR fotonunun soğurulmasıyla gerçekleşir.

iii) \(22^{\mathrm{nd}}\) ve \(23^{\mathrm{rd}}\) enerji düzeyleri arasındaki fark, turuncu dalga boyundaki IR fotonunun enerjisine eşittir.

iv) Yeşil/mavi ışığı soğurur ve kırmızı/sarı rengi geçirir.

v) Molekülün net dipol momenti olmadığından UV-VIS bölgesinde soğurma yapar.

Yukarıdaki ifadelerden hangi ikisinin doğru olduğunu seçiniz.

İfade çiftleri aşağıdaki gibidir:

Gerçekçilikten oldukça uzak olsa da molekülün konjuge bölümünün doğrusal olduğunu ve Şekil 2'de gösterildiği gibi bir boyutlu kutudaki parçacık modeliyle ele alındığını varsayalım. Bu durumda kutunun uzunluğu yaklaşık olarak \(L=1.40\times n_{\mathrm C}\) (Å cinsinden) alınabilir; burada \(n_{\mathrm C}\), konjuge bölümdeki karbon atomlarının sayısıdır.

5.2–5.6 sorularını cevaplamak için bu bilgiyi kullanınız.

Şekil 2. β-karotenin karbon atomlarından oluşan konjuge doğrusal bölümün, L uzunluğundaki bir boyutlu bir kutu içinde şematik gösterimi.

5.2 En düşük iki enerji düzeyinin enerjilerini (J cinsinden) hesaplayınız.

5.3 x-eksenini uygun şekilde etiketleyerek en düşük iki enerji düzeyinin dalga fonksiyonlarını çiziniz.

5.4 Göreli aralıkları göstererek \(n=4\) düzeyine kadar enerji düzeyi diyagramını çiziniz.

5.5 Molekülün toplam \(\pi\)-enerjisi (J cinsinden) nedir?

5.6 En yüksek dolu ve en düşük boş enerji düzeyleri arasındaki geçişin gerçekleştiği dalga boyunu (nm cinsinden) hesaplayınız.

5.7 – 5.8 sorularını cevaplamak için iki boyutlu kutudaki parçacık modelini kullanınız.

Şekil 3. β-karotenin konjuge karbon atomlarının iki boyutlu bir kutu içinde şematik gösterimi.

Konjuge bölümün, birbirlerine göre tümü trans konumunda olan konjuge bağlardan oluştuğunu varsayınız. π-elektronlarının hareketi, boyutları \(L_x=26.0\) Å, \(L_y=3.0\) Å olan iki boyutlu dikdörtgen kutuda incelenmektedir (Şekil 3).

5.7 En yüksek dolu ve en düşük boş enerji düzeylerinin enerjilerini (J cinsinden) ve bu enerji düzeyleri arasındaki geçişin gerçekleştiği dalga boyunu (nm cinsinden) hesaplayınız.

5.8 \(L_y\) 3.0 Å değerinde sabit tutulursa, molekülün deneysel \(\lambda_{\max}=455\) nm dalga boyunda ışık soğurması için \(L_x\) değeri (Å cinsinden) ne olmalıdır? (HOMO ve LUMO kuantum sayılarının 5.7 sorusundakilerle aynı olduğunu varsayınız.)

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Mevlana (Rumi) fue un gran místico y poeta sufí que vivió hasta el final de sus días en Konya en el siglo \(13^{\mathrm{th}}\). La relación indirecta de Konya con la química radica en que la ciudad aporta el 65% de la producción de zanahorias del país, de las cuales se obtiene una de las vitaminas esenciales (la vitamina A).

La zanahoria es una fuente importante de β-caroteno, que confiere a esta hortaliza su color naranja. Esta molécula es un pigmento rojo anaranjado que se encuentra de forma natural en plantas y frutos y es un carotenoide con actividad de provitamina A. Se convierte en vitamina A, que es esencial para el crecimiento y el desarrollo normales, el sistema inmunitario y la función visual.

Figura 1. Representación de la estructura del β-caroteno mediante un modelo de bolas y varillas. Las esferas grises y blancas representan los átomos de carbono e hidrógeno, respectivamente. Los átomos de carbono numerados pertenecen al segmento π conjugado lineal de la molécula.

El β-caroteno tiene una cadena poliénica extendida de 22 átomos de carbono. Es un sistema \(\pi\) conjugado, con enlaces simples y dobles alternados. Su longitud de onda experimental de máxima absorción (\(\lambda_{\max}\)) es de 455 nm. Suponemos que todos los enlaces entre \(C_1\) y \(C_{22}\) son enlaces conjugados. Hay 22 electrones \(\pi\) en la molécula (Figura 1).

En una aproximación muy simplificada, se supone que los electrones de los orbitales \(\ce{C}\text{-}2p_z\), que son perpendiculares al plano molecular, se mueven a lo largo de toda la molécula sin interactuar entre sí. Se comportan como partículas independientes confinadas en una molécula que se mueven a lo largo del eje x en una dimensión. Estas características de los electrones π permiten describirlos mediante el modelo más sencillo, denominado modelo de la partícula en una caja unidimensional.

La función de onda y las energías de los niveles cuantizados de un electrón que se mueve en una caja unidimensional con paredes de potencial infinito vienen dadas por las siguientes expresiones:

\[ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

aquí \(n\) es el número cuántico, \(n=1,2,3,4,\ldots\infty\), y \(L\) es la longitud de la caja.

\[ E_n=\frac{n^2h^2}{8m_eL^2} \]

En un sistema bidimensional, dentro de la aproximación de partículas independientes, la función de onda se expresa como un producto de funciones de onda unidimensionales, y la energía se expresa como una suma de energías unidimensionales. Los niveles de energía de la caja rectangular bidimensional vienen dados por la siguiente expresión:

\[ E_{n_xn_y} = \left[\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right] \left\{\frac{h^2}{8m_e}\right\} \]

donde \(n_x,n_y\) son los números cuánticos y son enteros positivos. \(L_x,L_y\) son las dimensiones de la caja en el modelo 2D. Son números positivos.

5.1 La molécula de β-caroteno es de color naranja porque:

i) Absorbe en la región visible del espectro electromagnético.

ii) La transición HOMO → LUMO se produce por absorción de un fotón IR.

iii) La separación entre los niveles de energía \(22^{\mathrm{nd}}\) y \(23^{\mathrm{rd}}\) es igual a la energía del fotón IR a la longitud de onda del naranja.

iv) Absorbe luz verde/azul y transmite los colores rojo/amarillo.

v) Absorbe en la región UV-VIS porque la molécula no tiene momento dipolar neto.

¿Qué par de las afirmaciones anteriores es correcto?

Los pares de afirmaciones son los siguientes:

Aunque es muy poco realista, supongamos que el segmento conjugado de la molécula es lineal y se describe mediante el modelo de la partícula en una caja unidimensional, como se muestra en la figura 2. En este caso, la longitud de la caja puede aproximarse como \(L=1.40\times n_{\mathrm C}\) (en Å), donde \(n_{\mathrm C}\) es el número de átomos de carbono del segmento conjugado.

Utilice esta información para responder a las preguntas 5.2–5.6.

Figura 2. Representación esquemática del segmento lineal conjugado formado por átomos de carbono del β-caroteno en una caja unidimensional de longitud L.

5.2 Calcule las energías (en J) de los dos niveles de energía más bajos.

5.3 Dibuje las funciones de onda de los dos niveles de energía más bajos, rotulando adecuadamente el eje x.

5.4 Esboce el diagrama de niveles de energía hasta \(n=4\), mostrando la separación relativa.

5.5 ¿Cuál es la energía \(\pi\) total (en J) de la molécula?

5.6 Calcule la longitud de onda (en nm) a la que se produce la transición entre el nivel de energía ocupado más alto y el nivel de energía desocupado más bajo.

Utilice el modelo de la partícula en una caja bidimensional para responder a las preguntas 5.7 – 5.8.

Figura 3. Representación esquemática de los átomos de carbono conjugados del β-caroteno en una caja bidimensional.

Suponga que el segmento conjugado está formado por enlaces conjugados dispuestos todos en configuración trans entre sí. El movimiento de los electrones π se estudia en una caja rectangular bidimensional con dimensiones \(L_x=26.0\) Å, \(L_y=3.0\) Å (Figura 3).

5.7 Calcule las energías (en J) del nivel de energía ocupado más alto y del nivel de energía desocupado más bajo, así como la longitud de onda (en nm) a la que se produce la transición entre estos niveles de energía.

5.8 ¿Cuál debería ser el valor de \(L_x\) (en Å) para que la molécula absorbiera luz a la \(\lambda_{\max}=455\) nm experimental si \(L_y\) se mantiene constante en 3.0 Å? (Suponga que los números cuánticos del HOMO y del LUMO son los mismos que en la pregunta 5.7.)

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Mevlana（Rumi）是一位伟大的神秘主义者和苏菲派诗人，他于 \(13^{\mathrm{th}}\) 世纪在科尼亚度过了余生。科尼亚与化学的间接联系在于，该市的胡萝卜产量占全国的 65%，而胡萝卜是获取一种必需维生素（维生素 A）的来源。

胡萝卜是 β-胡萝卜素的重要来源，后者赋予这种蔬菜橙色。这种分子是一种天然存在于植物和水果中的橙红色色素，也是一种具有维生素 A 原活性的类胡萝卜素。它可转化为维生素 A，维生素 A 对正常生长发育、免疫系统和视觉功能至关重要。

图 1. β-胡萝卜素结构的球棍模型。灰色球和白色球分别表示碳原子和氢原子。带编号的碳原子属于该分子的线性共轭 π 链段。

β-胡萝卜素具有一条由 22 个碳原子组成的延伸多烯链。它是一个单键和双键交替排列的共轭 \(\pi\) 体系。其实验测得的最大吸收波长（\(\lambda_{\max}\)）为 455 nm。我们假设 \(C_1\) 与 \(C_{22}\) 之间的所有键均参与共轭。该分子中共有 22 个 \(\pi\) 电子（图 1）。

作为一种粗略近似，假设处于垂直于分子平面的 \(\ce{C}\text{-}2p_z\) 轨道中的电子能够沿整个分子运动，且彼此之间没有相互作用。它们就像被限制在分子中、沿 x 轴作一维运动的独立粒子。π 电子的这些特征使我们可以用最简单的模型，即一维箱中粒子模型来处理它们。

电子在势垒无限高的一维箱中运动时，其波函数及量子化能级的能量如下：

\[ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

其中，\(n\) 为量子数，\(n=1,2,3,4,\ldots\infty\)，\(L\) 为箱长。

\[ E_n=\frac{n^2h^2}{8m_eL^2} \]

对于二维体系，在独立粒子近似下，波函数表示为一维波函数的乘积，能量表示为一维能量之和。二维矩形箱的能级如下：

\[ E_{n_xn_y} = \left[\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right] \left\{\frac{h^2}{8m_e}\right\} \]

其中，\(n_x,n_y\) 为量子数，均为正整数。\(L_x,L_y\) 为二维模型中箱的尺寸，均为正数。

5.1 β-胡萝卜素分子呈橙色的原因是：

i) 它在电磁波谱的可见光区域有吸收。

ii) 吸收红外光子时发生 HOMO → LUMO 跃迁。

iii) 第 \(22^{\mathrm{nd}}\) 与第 \(23^{\mathrm{rd}}\) 能级之间的能量间隔等于橙色波长处红外光子的能量。

iv) 它吸收绿光/蓝光，并透过红光/黄光。

v) 由于分子没有净偶极矩，因此它在紫外–可见光区域有吸收。

请选择上述说法中正确的一对。

各组说法如下：

尽管这与实际情况相差很大，我们仍假设分子的共轭链段呈直线形，并用图 2 所示的一维箱中粒子模型处理。在这种情况下，箱长可近似为 \(L=1.40\times n_{\mathrm C}\)（单位为 Å），其中 \(n_{\mathrm C}\) 为共轭链段中的碳原子数。

利用这些信息回答问题 5.2–5.6。

图 2. β-胡萝卜素的碳原子所构成的共轭直线链段在长度为 L 的一维箱中的示意图。

5.2 计算最低两个能级的能量（单位为 J）。

5.3 画出最低两个能级的波函数，并正确标注 x 轴。

5.4 画出直至 \(n=4\) 的能级示意图，体现各能级的相对间隔。

5.5 该分子的总 \(\pi\) 电子能量（单位为 J）是多少？

5.6 计算最高占据能级与最低未占据能级之间跃迁所对应的波长（单位为 nm）。

利用二维箱中粒子模型回答问题 5.7 – 5.8。

图 3. β-胡萝卜素的共轭碳原子在二维箱中的示意图。

假设共轭链段由彼此呈全反式排列的共轭键组成。在尺寸为 \(L_x=26.0\) Å、\(L_y=3.0\) Å 的二维矩形箱中研究 π 电子的运动（图 3）。

5.7 计算最高占据能级和最低未占据能级的能量（单位为 J），以及这两个能级之间跃迁所对应的波长（单位为 nm）。

5.8 若 \(L_y\) 保持为 3.0 Å，为使分子在实验测得的 \(\lambda_{\max}=455\) nm 处吸收光，\(L_x\) 的值（单位为 Å）应为多少？（假设 homo 和 lumo 的量子数与问题 5.7 中相同。）

题目译自官方英文原文。

Мевляна (Руми) был великим мистиком и суфийским поэтом, прожившим последние годы своей жизни в Конье в \(13^{\mathrm{th}}\) веке. Косвенная связь Коньи с химией состоит в том, что на этот город приходится 65% производства моркови в стране, из которой получают один из жизненно необходимых витаминов — витамин A.

Морковь — важный источник β-каротина, придающего этому овощу оранжевую окраску. Это вещество представляет собой красно-оранжевый пигмент, встречающийся в природе в растениях и плодах, и относится к каротиноидам — провитаминам A. Он превращается в витамин A, необходимый для нормального роста и развития, работы иммунной системы и зрения.

Рисунок 1. Шаростержневая модель структуры β-каротина. Серые и белые сферы обозначают соответственно атомы углерода и водорода. Пронумерованные атомы углерода принадлежат линейному сопряжённому π-фрагменту молекулы.

β-Каротин имеет протяжённую полиеновую цепь из 22 атомов углерода. Это сопряжённая \(\pi\)-система с чередующимися одинарными и двойными связями. Экспериментально определённая длина волны максимума поглощения (\(\lambda_{\max}\)) составляет 455 нм. Будем считать, что все связи между \(C_1\) и \(C_{22}\) являются сопряжёнными. В молекуле имеется 22 \(\pi\)-электрона (рисунок 1).

В грубом приближении предполагается, что электроны на орбиталях \(\ce{C}\text{-}2p_z\), перпендикулярных плоскости молекулы, движутся вдоль всей молекулы, не взаимодействуя друг с другом. Они подобны независимым частицам, ограниченным пределами молекулы и движущимся вдоль оси x в одном измерении. Эти особенности π-электронов позволяют описывать их с помощью простейшей модели, называемой моделью частицы в одномерном ящике.

Волновая функция и энергии квантованных уровней электрона, движущегося в одномерном ящике с бесконечно высокими потенциальными стенками, задаются следующим образом:

\[ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

здесь \(n\) — квантовое число, \(n=1,2,3,4,\ldots\infty\), а \(L\) — длина ящика.

\[ E_n=\frac{n^2h^2}{8m_eL^2} \]

Для двумерной системы в рамках приближения независимых частиц волновая функция выражается как произведение одномерных волновых функций, а энергия — как сумма одномерных энергий. Энергетические уровни двумерного прямоугольного ящика задаются следующим образом:

\[ E_{n_xn_y} = \left[\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right] \left\{\frac{h^2}{8m_e}\right\} \]

где \(n_x,n_y\) — квантовые числа, принимающие положительные целые значения. \(L_x,L_y\) — размеры ящика в двумерной модели. Это положительные числа.

5.1 Молекула β-каротина имеет оранжевую окраску, потому что:

i) Она поглощает в видимой области электромагнитного спектра.

ii) Переход HOMO → LUMO происходит при поглощении ИК-фотона.

iii) Разность энергий \(22^{\mathrm{nd}}\) и \(23^{\mathrm{rd}}\) энергетических уровней равна энергии ИК-фотона с длиной волны, соответствующей оранжевому цвету.

iv) Она поглощает зелёный/синий свет и пропускает красный/жёлтый свет.

v) Она поглощает в УФ-видимой области, поскольку молекула не имеет суммарного дипольного момента.

Выберите пару верных утверждений из приведённых выше.

Предлагаются следующие пары утверждений:

Хотя это крайне нереалистично, предположим, что сопряжённый фрагмент молекулы является прямолинейным и описывается моделью частицы в одномерном ящике, как показано на рисунке 2. В этом случае длину ящика можно приближённо принять равной \(L=1.40\times n_{\mathrm C}\) (в Å), где \(n_{\mathrm C}\) — число атомов углерода в сопряжённом фрагменте.

Используйте эту информацию для ответа на вопросы 5.2–5.6.

Рисунок 2. Схематическое изображение прямолинейного сопряжённого фрагмента, образованного атомами углерода β-каротина, в одномерном ящике длиной L.

5.2 Рассчитайте энергии (в Дж) двух самых низких энергетических уровней.

5.3 Изобразите волновые функции двух самых низких энергетических уровней, правильно обозначив ось x.

5.4 Схематически изобразите диаграмму энергетических уровней до \(n=4\), показав относительные расстояния между ними.

5.5 Чему равна полная \(\pi\)-энергия (в Дж) молекулы?

5.6 Рассчитайте длину волны (в нм), при которой происходит переход между высшим занятым и низшим свободным энергетическими уровнями.

Для ответа на вопросы 5.7 – 5.8 используйте модель частицы в двумерном ящике.

Рисунок 3. Схематическое изображение атомов углерода сопряжённого фрагмента β-каротина в двумерном ящике.

Предположим, что сопряжённый фрагмент состоит из сопряжённых связей, находящихся во взаимном полностью транс-расположении. Движение π-электронов рассматривается в двумерном прямоугольном ящике с размерами \(L_x=26.0\) Å, \(L_y=3.0\) Å (рисунок 3).

5.7 Рассчитайте энергии (в Дж) высшего занятого и низшего свободного энергетических уровней и длину волны (в нм), при которой происходит переход между этими энергетическими уровнями.

5.8 Каким должно быть значение \(L_x\) (в Å), чтобы молекула поглощала свет при экспериментальном значении \(\lambda_{\max}=455\) нм, если \(L_y\) остаётся постоянным и равным 3.0 Å? (Предположите, что квантовые числа для homo и lumo такие же, как в вопросе 5.7.)

Условие переведено с официального английского текста.

كان مولانا (الرومي) متصوفًا وشاعرًا صوفيًا عظيمًا عاش في قونية حتى نهاية حياته في القرن \(13^{\mathrm{th}}\). وتتمثل الصلة غير المباشرة بين قونية والكيمياء في أن المدينة توفر 65% من إنتاج البلاد من الجزر، الذي يُستخلص منه أحد الفيتامينات الأساسية (فيتامين A).

يُعدّ الجزر مصدرًا مهمًا لبيتا-كاروتين، الذي يمنح هذه الخضراوات لونها البرتقالي. وهذا الجزيء صبغة حمراء برتقالية توجد طبيعيًا في النباتات والثمار، وهو كاروتينويد طليعة لفيتامين A. ويتحول إلى فيتامين A الضروري للنمو والتطور الطبيعيين، وللجهاز المناعي، ولوظيفة الإبصار.

الشكل 1. تمثيل بنية بيتا-كاروتين بنموذج الكرات والعصي. تمثل الكرات الرمادية والبيضاء ذرات الكربون والهيدروجين، على الترتيب. وتنتمي ذرات الكربون المرقّمة إلى الجزء الخطي المترافق π من الجزيء.

يحتوي بيتا-كاروتين على سلسلة ممتدة متعددة الروابط المزدوجة تتألف من 22 ذرة كربون. وهي نظام \(\pi\) مترافق تتناوب فيه الروابط الأحادية والمزدوجة. ويبلغ الطول الموجي لأقصى امتصاص له تجريبيًا (\(\lambda_{\max}\)) 455 nm. نفترض أن جميع الروابط بين \(C_1\) و\(C_{22}\) روابط مترافقة. ويوجد في الجزيء 22 إلكترونًا من إلكترونات \(\pi\) (الشكل 1).

في تقريب أولي مبسّط، يُفترض أن الإلكترونات الموجودة في مدارات \(\ce{C}\text{-}2p_z\)، العمودية على مستوى الجزيء، تتحرك على امتداد الجزيء كله دون أن تتفاعل بعضها مع بعض. وهي تشبه جسيمات مستقلة محصورة في جزيء، تتحرك على طول المحور x في بُعد واحد. وتتيح هذه الخصائص لإلكترونات π معالجتها بأبسط نموذج يُسمى نموذج الجسيم في صندوق أحادي البُعد.

تُعطى الدالة الموجية وطاقات المستويات المكمّاة لإلكترون يتحرك في صندوق أحادي البُعد ذي جدران ذات جهد لا نهائي كما يأتي:

\[ \Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

حيث \(n\) هو العدد الكمّي، و\(n=1,2,3,4,\ldots\infty\)، و\(L\) هو طول الصندوق.

\[ E_n=\frac{n^2h^2}{8m_eL^2} \]

في نظام ثنائي البُعد، وفي إطار تقريب الجسيمات المستقلة، تُعبَّر الدالة الموجية بحاصل ضرب دوال موجية أحادية البُعد، وتُعبَّر الطاقة بمجموع الطاقات أحادية البُعد. وتُعطى مستويات الطاقة في الصندوق المستطيل ثنائي البُعد كما يأتي:

\[ E_{n_xn_y} = \left[\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right] \left\{\frac{h^2}{8m_e}\right\} \]

حيث \(n_x,n_y\) هما العددان الكمّيان، وهما عددان صحيحان موجبان. و\(L_x,L_y\) هما بُعدا الصندوق في النموذج ثنائي البُعد، وهما عددان موجبان.

5.1 يكون جزيء بيتا-كاروتين برتقالي اللون لأنه:

i) يمتص في المنطقة المرئية من الطيف الكهرومغناطيسي.

ii) يحدث الانتقال HOMO → LUMO بامتصاص فوتون من الأشعة تحت الحمراء.

iii) يساوي الفرق بين مستويَي الطاقة \(22^{\mathrm{nd}}\) و\(23^{\mathrm{rd}}\) طاقة فوتون الأشعة تحت الحمراء عند الطول الموجي للون البرتقالي.

iv) يمتص الضوء الأخضر/الأزرق ويسمح بنفاذ اللون الأحمر/الأصفر.

v) يمتص في منطقة الأشعة فوق البنفسجية والمرئية لأن الجزيء ليس له عزم ثنائي قطب صافٍ.

اختر زوج العبارات الصحيحة من العبارات السابقة.

أزواج العبارات هي كما يأتي:

على الرغم من أن هذا الافتراض بعيد جدًا عن الواقع، لنفترض أن الجزء المترافق من الجزيء خطي، وأنه يُعالَج بنموذج الجسيم في صندوق أحادي البُعد، كما هو موضح في الشكل 2. في هذه الحالة، يمكن تقريب طول الصندوق بالعلاقة \(L=1.40\times n_{\mathrm C}\) (بوحدة Å)، حيث \(n_{\mathrm C}\) هو عدد ذرات الكربون في الجزء المترافق.

استخدم هذه المعلومات للإجابة عن الأسئلة 5.2–5.6.

الشكل 2. تمثيل تخطيطي للجزء الخطي المترافق المكوَّن من ذرات الكربون في بيتا-كاروتين داخل صندوق أحادي البُعد طوله L.

5.2 احسب طاقتي أدنى مستويين للطاقة (بوحدة J).

5.3 ارسم الدالتين الموجيتين لأدنى مستويين للطاقة، مع وضع العلامات المناسبة على المحور x.

5.4 ارسم مخططًا لمستويات الطاقة حتى \(n=4\)، موضحًا التباعد النسبي بينها.

5.5 ما طاقة \(\pi\) الكلية للجزيء (بوحدة J)؟

5.6 احسب الطول الموجي (بوحدة nm) الذي يحدث عنده الانتقال بين أعلى مستويات الطاقة المشغولة وأدنى مستويات الطاقة غير المشغولة.

استخدم نموذج الجسيم في صندوق ثنائي البُعد للإجابة عن السؤالين 5.7 – 5.8.

الشكل 3. تمثيل تخطيطي لذرات الكربون المترافقة في بيتا-كاروتين داخل صندوق ثنائي البُعد.

افترض أن الجزء المترافق يتكون من روابط مترافقة جميعها في الوضعية المتقابلة (ترانس) بعضها بالنسبة إلى بعض. تُدرس حركة إلكترونات π في الصندوق المستطيل ثنائي البُعد الذي أبعاده \(L_x=26.0\) Å و\(L_y=3.0\) Å (الشكل 3).

5.7 احسب طاقتي أعلى مستويات الطاقة المشغولة وأدنى مستويات الطاقة غير المشغولة (بوحدة J)، والطول الموجي (بوحدة nm) الذي يحدث عنده الانتقال بين هذين المستويين.

5.8 ما قيمة \(L_x\) المطلوبة (بوحدة Å) لكي يمتص الجزيء الضوء عند القيمة التجريبية \(\lambda_{\max}=455\) nm إذا أُبقي \(L_y\) ثابتًا عند 3.0 Å؟ (افترض أن الأعداد الكمّية لكلٍّ من homo وlumo هي نفسها في السؤال 5.7.)

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.