At ambient temperatures, racemization is a slow reaction. As such, it can be used for dating biological objects and, moreover, for studying their thermal history. Let us take L-isoleucine (L-Ile) (\((2S,3S)\)-2-amino-3-methylpentanoic acid) as an example. It isomerizes on the \(\alpha\)-carbon and forms \((2R,3S)\)-2-amino-3-methylpentanoic acid, also known as D-allo-isoleucine. As the configuration changes on only one of the two stereogenic centres, this process is called epimerization rather than racemization.

2.1 Choose all true statements.

☐ D-allo-isoleucine and L-isoleucine have the same values of specific optical rotation but they have different melting points.

☐ D-allo-isoleucine has an identical absolute value of specific optical rotation as L-isoleucine but the sign is opposite. The melting point is the same for both isomers.

☐ D-allo-isoleucine and L-isoleucine have different values of specific optical rotation but they have the same melting points.

☐ D-allo-isoleucine and L-isoleucine have different values of specific optical rotation and different melting points.

☐ D-allo-isoleucine is not optically active.

2.2 Assign the absolute configurations for each stereoisomer of isoleucine.

☐ \(2S,3R\) (L-allo-isoleucine)

☐ \(2R,3S\) (D-allo-isoleucine)

☐ \(2S,3S\) (L-isoleucine)

☐ \(2R,3R\) (D-isoleucine)

2.3 The equilibrium constant \(K_{\mathrm{ep}}\) for L-isoleucine epimerization has the value of 1.38 (at 374 K). If we set molar Gibbs free energy of L-isoleucine \(G_{\mathrm m}^{\circ}=0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\) determine the Gibbs free energies for all structures A–D from question 2.2 at 374 K.

2.4 If we take into account stereoisomerism at all stereocentres, what is the maximum possible number of the stereoisomers of the tripeptide Ile-Ile-Ile?

At the start of the epimerization, we can neglect the reverse reaction. The epimerization then follows the first-order kinetics:

The value of the rate constant at 374 K is \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\) and that at 421 K is \(k_1(421\ \mathrm K)=1.18\times10^{-2}\ \mathrm{h^{-1}}\).

In the following calculation, shorten the concentration of L-isoleucine to \([\mathrm L]\) and of D-allo-isoleucine to \([\mathrm D]\).

We can define a quantity \(de\) (diastereomeric excess):

\[ de=\frac{[\mathrm L]-[\mathrm D]}{[\mathrm L]+[\mathrm D]}\times100(\%). \]

2.5 Let us boil L-isoleucine for 1 943 hours at 374 K. What is the value of \(de\) (with three significant figures) for L-isoleucine a) before boiling and b) after boiling?

2.6 How long does it take to convert 10% of L-isoleucine to D-allo-isoleucine at 298 K?

In fact, the reverse reaction cannot be neglected. The correct kinetic scheme is expressed as

Let us define the deviation of concentration from its equilibrium value \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)

\[ x=[\mathrm L]-[\mathrm L]_{\mathrm{eq}} \]

It is possible to derive that \(x\) evolves with time according to the following equation:

\[ x=x(0)\times e^{-(k_1+k_2)t}, \]

where \(x(0)\) is the deviation from equilibrium at \(t=0\ \mathrm h\).

2.7 Let us boil \(1.00\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}\) L-isoleucine solution for 1 943 hours at 374 K. The rate constant for the forward reaction is \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\), \(K_{\mathrm{ep}}\) for L-isoleucine epimerization has the value of 1.38 (at 374 K). In the following calculation, shorten the concentration of L-isoleucine to \([\mathrm L]\) and of D-allo-isoleucine to \([\mathrm D]\). Evaluate (with three significant figures)

a) \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\),

b) diastereomeric excess (\(de\)) after boiling.

Amino acids with a single chiral centre undergo racemization, e.g. L-arginine racemizes:

The time evolution of concentrations is governed by

\[ \ln\frac{1+\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} {1-\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} =2k_1t+C \]

Here \([\mathrm D]\) and \([\mathrm L]\) are concentrations of D- and L-arginine at time \(t\), \(k_1\) is the rate constant, and the term \(C\) is set according to the initial concentrations.

Holy Roman Emperor Lothar III passed away during his journey to Sicily in 1137. To facilitate the repatriation of the remains, his body was, immediately after his death, boiled in water (373 K) for a certain time. Let us try to estimate the boiling time with the help of chemical kinetics. We know that the rate constant \(k_1\) of arginine racemization within the protein at 373 K and \(\mathrm{pH}=7\) has the value of \(5.10\times10^{-3}\ \mathrm{h^{-1}}\).

In order to analyse the isomeric composition of arginine in Lothar’s bones, we need to start with transferring arginine into solution. Lothar’s bones were hydrolyzed in a highly acidic environment for 4 hours at 383 K. The ratio of the optical isomers was \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.090\). Lothar’s wife Richenza was not boiled after her death. Her bones were hydrolyzed using the same procedure and in this case the ratio was \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.059\). (Note that the racemization also takes place during the hydrolysis, with the rate constant \(k'_1\), different from \(k_1\)).

2.8 How long was the Holy Roman Emperor Lothar III boiled in water in 1137?

Note: The racemization of arginine is an extremely slow process at temperatures typically encountered in graves. As both bodies are only some 880 years old, we can neglect the natural racemization during this time.

Official English text of the problem.

Bei Umgebungstemperaturen ist die Racemisierung eine langsame Reaktion. Daher kann sie zur Datierung biologischer Objekte und darüber hinaus zur Untersuchung ihrer thermischen Vorgeschichte genutzt werden. Betrachten wir als Beispiel L-Isoleucin (L-Ile) (\((2S,3S)\)-2-Amino-3-methylpentansäure). Es isomerisiert am \(\alpha\)-Kohlenstoffatom und bildet \((2R,3S)\)-2-Amino-3-methylpentansäure, auch als D-allo-Isoleucin bekannt. Da sich die Konfiguration nur an einem der beiden stereogenen Zentren ändert, wird dieser Vorgang als Epimerisierung und nicht als Racemisierung bezeichnet.

2.1 Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus.

☐ D-allo-Isoleucin und L-Isoleucin haben die gleichen spezifischen Drehwerte, aber unterschiedliche Schmelzpunkte.

☐ D-allo-Isoleucin hat einen betragsmäßig gleichen spezifischen Drehwert wie L-Isoleucin, jedoch mit entgegengesetztem Vorzeichen. Der Schmelzpunkt ist für beide Isomere gleich.

☐ D-allo-Isoleucin und L-Isoleucin haben unterschiedliche spezifische Drehwerte, aber die gleichen Schmelzpunkte.

☐ D-allo-Isoleucin und L-Isoleucin haben unterschiedliche spezifische Drehwerte und unterschiedliche Schmelzpunkte.

☐ D-allo-Isoleucin ist nicht optisch aktiv.

2.2 Ordnen Sie jedem Stereoisomer von Isoleucin die absolute Konfiguration zu.

☐ \(2S,3R\) (L-allo-Isoleucin)

☐ \(2R,3S\) (D-allo-Isoleucin)

☐ \(2S,3S\) (L-Isoleucin)

☐ \(2R,3R\) (D-Isoleucin)

2.3 Die Gleichgewichtskonstante \(K_{\mathrm{ep}}\) für die Epimerisierung von L-Isoleucin hat den Wert 1.38 (bei 374 K). Wenn wir die molare Gibbs-Energie von L-Isoleucin auf \(G_{\mathrm m}^{\circ}=0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\) setzen, bestimmen Sie die Gibbs-Energien für alle Strukturen A–D aus Frage 2.2 bei 374 K.

2.4 Wie groß ist die maximal mögliche Anzahl der Stereoisomere des Tripeptids Ile-Ile-Ile, wenn wir die Stereoisomerie an allen Stereozentren berücksichtigen?

Zu Beginn der Epimerisierung können wir die Rückreaktion vernachlässigen. Die Epimerisierung folgt dann einer Kinetik erster Ordnung:

Der Wert der Geschwindigkeitskonstanten beträgt bei 374 K \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\) und bei 421 K \(k_1(421\ \mathrm K)=1.18\times10^{-2}\ \mathrm{h^{-1}}\).

Kürzen Sie in der folgenden Rechnung die Konzentration von L-Isoleucin mit \([\mathrm L]\) und die von D-allo-Isoleucin mit \([\mathrm D]\) ab.

Wir können eine Größe \(de\) (Diastereomerenüberschuss) definieren:

\[ de=\frac{[\mathrm L]-[\mathrm D]}{[\mathrm L]+[\mathrm D]}\times100(\%). \]

2.5 Wir kochen L-Isoleucin 1 943 Stunden lang bei 374 K. Welchen Wert hat \(de\) (mit drei signifikanten Stellen) für L-Isoleucin a) vor dem Kochen und b) nach dem Kochen?

2.6 Wie lange dauert es, bei 298 K 10% des L-Isoleucins in D-allo-Isoleucin umzuwandeln?

Tatsächlich kann die Rückreaktion nicht vernachlässigt werden. Das korrekte kinetische Schema lautet

Definieren wir die Abweichung der Konzentration von ihrem Gleichgewichtswert \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)

\[ x=[\mathrm L]-[\mathrm L]_{\mathrm{eq}} \]

Es lässt sich herleiten, dass sich \(x\) zeitlich gemäß der folgenden Gleichung entwickelt:

\[ x=x(0)\times e^{-(k_1+k_2)t}, \]

wobei \(x(0)\) die Abweichung vom Gleichgewicht bei \(t=0\ \mathrm h\) ist.

2.7 Wir kochen eine L-Isoleucinlösung mit einer Konzentration von \(1.00\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}\) 1 943 Stunden lang bei 374 K. Die Geschwindigkeitskonstante der Hinreaktion beträgt \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\), und \(K_{\mathrm{ep}}\) für die Epimerisierung von L-Isoleucin hat den Wert 1.38 (bei 374 K). Kürzen Sie in der folgenden Rechnung die Konzentration von L-Isoleucin mit \([\mathrm L]\) und die von D-allo-Isoleucin mit \([\mathrm D]\) ab. Berechnen Sie (mit drei signifikanten Stellen)

a) \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\),

b) den Diastereomerenüberschuss (\(de\)) nach dem Kochen.

Aminosäuren mit einem einzigen chiralen Zentrum unterliegen der Racemisierung; beispielsweise racemisiert L-Arginin:

Die zeitliche Entwicklung der Konzentrationen wird beschrieben durch

\[ \ln\frac{1+\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} {1-\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} =2k_1t+C \]

Hier sind \([\mathrm D]\) und \([\mathrm L]\) die Konzentrationen von D- und L-Arginin zum Zeitpunkt \(t\), \(k_1\) ist die Geschwindigkeitskonstante, und der Term \(C\) wird anhand der Anfangskonzentrationen festgelegt.

Lothar III., Kaiser des Heiligen Römischen Reiches, starb 1137 während seiner Reise nach Sizilien. Um die Überführung der sterblichen Überreste zu erleichtern, wurde sein Leichnam unmittelbar nach seinem Tod eine gewisse Zeit lang in Wasser (373 K) gekocht. Versuchen wir, die Kochdauer mithilfe der chemischen Kinetik abzuschätzen. Wir wissen, dass die Geschwindigkeitskonstante \(k_1\) der Racemisierung von Arginin innerhalb des Proteins bei 373 K und \(\mathrm{pH}=7\) den Wert \(5.10\times10^{-3}\ \mathrm{h^{-1}}\) hat.

Um die Isomerenzusammensetzung des Arginins in Lothars Knochen zu analysieren, müssen wir zunächst das Arginin in Lösung überführen. Lothars Knochen wurden 4 Stunden lang bei 383 K in stark saurem Milieu hydrolysiert. Das Verhältnis der optischen Isomere betrug \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.090\). Lothars Frau Richenza wurde nach ihrem Tod nicht gekocht. Ihre Knochen wurden nach demselben Verfahren hydrolysiert, und in diesem Fall betrug das Verhältnis \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.059\). (Beachten Sie, dass die Racemisierung auch während der Hydrolyse stattfindet, mit der Geschwindigkeitskonstanten \(k'_1\), die sich von \(k_1\) unterscheidet.)

2.8 Wie lange wurde Lothar III., Kaiser des Heiligen Römischen Reiches, im Jahr 1137 in Wasser gekocht?

Hinweis: Die Racemisierung von Arginin ist bei den typischerweise in Gräbern herrschenden Temperaturen ein äußerst langsamer Prozess. Da beide Leichname erst etwa 880 Jahre alt sind, können wir die natürliche Racemisierung während dieser Zeit vernachlässigen.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Ortam sıcaklıklarında rasemleşme yavaş bir tepkimedir. Bu nedenle biyolojik nesnelerin yaşının belirlenmesinde ve ayrıca ısıl geçmişlerinin incelenmesinde kullanılabilir. Örnek olarak L-izolösini (L-Ile) (\((2S,3S)\)-2-amino-3-metilpentanoik asit) ele alalım. Bu bileşik \(\alpha\)-karbonunda izomerleşerek D-allo-izolösin olarak da bilinen \((2R,3S)\)-2-amino-3-metilpentanoik asidi oluşturur. İki stereojenik merkezden yalnızca birinin konfigürasyonu değiştiği için bu süreç rasemleşme yerine epimerleşme olarak adlandırılır.

2.1 Doğru ifadelerin tümünü seçiniz.

☐ D-allo-izolösin ve L-izolösinin özgül optik çevirme değerleri aynıdır, ancak erime noktaları farklıdır.

☐ D-allo-izolösinin özgül optik çevirmesinin mutlak değeri L-izolösininkiyle aynıdır, ancak işareti zıttır. Her iki izomerin erime noktası aynıdır.

☐ D-allo-izolösin ve L-izolösinin özgül optik çevirme değerleri farklıdır, ancak erime noktaları aynıdır.

☐ D-allo-izolösin ve L-izolösinin özgül optik çevirme değerleri ve erime noktaları farklıdır.

☐ D-allo-izolösin optikçe aktif değildir.

2.2 İzolösinin her bir stereoizomerinin mutlak konfigürasyonunu belirleyiniz.

☐ \(2S,3R\) (L-allo-izolösin)

☐ \(2R,3S\) (D-allo-izolösin)

☐ \(2S,3S\) (L-izolösin)

☐ \(2R,3R\) (D-izolösin)

2.3 L-izolösinin epimerleşmesi için denge sabiti \(K_{\mathrm{ep}}\), 1.38 değerindedir (374 K'de). L-izolösinin molar Gibbs serbest enerjisini \(G_{\mathrm m}^{\circ}=0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\) olarak alırsak, 2.2 sorusundaki A–D yapılarının tümünün 374 K'deki Gibbs serbest enerjilerini belirleyiniz.

2.4 Tüm stereomerkezlerdeki stereoizomerliği dikkate alırsak, Ile-Ile-Ile tripeptidinin mümkün olan en fazla stereoizomer sayısı kaçtır?

Epimerleşmenin başlangıcında geri tepkimeyi ihmal edebiliriz. Bu durumda epimerleşme birinci dereceden kinetiğe uyar:

Hız sabitinin 374 K'deki değeri \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\), 421 K'deki değeri ise \(k_1(421\ \mathrm K)=1.18\times10^{-2}\ \mathrm{h^{-1}}\)'dir.

Aşağıdaki hesaplamada L-izolösinin derişimini \([\mathrm L]\), D-allo-izolösinin derişimini ise \([\mathrm D]\) olarak kısaltınız.

\(de\) (diastereomerik fazlalık) adlı bir büyüklük tanımlayabiliriz:

\[ de=\frac{[\mathrm L]-[\mathrm D]}{[\mathrm L]+[\mathrm D]}\times100(\%). \]

2.5 L-izolösini 374 K'de 1 943 saat kaynatalım. L-izolösin için \(de\) değeri (üç anlamlı rakamla) a) kaynatmadan önce ve b) kaynatmadan sonra kaçtır?

2.6 298 K'de L-izolösinin %10'unun D-allo-izolösine dönüşmesi ne kadar sürer?

Aslında geri tepkime ihmal edilemez. Doğru kinetik şema şu şekilde ifade edilir:

Derişimin denge değeri \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)'den sapmasını tanımlayalım:

\[ x=[\mathrm L]-[\mathrm L]_{\mathrm{eq}} \]

\(x\)'in zamanla aşağıdaki denkleme göre değiştiği türetilebilir:

\[ x=x(0)\times e^{-(k_1+k_2)t}, \]

burada \(x(0)\), \(t=0\ \mathrm h\) anındaki dengeden sapmadır.

2.7 \(1.00\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}\) L-izolösin çözeltisini 374 K'de 1 943 saat kaynatalım. İleri tepkimenin hız sabiti \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\), L-izolösinin epimerleşmesi için \(K_{\mathrm{ep}}\) değeri ise 1.38'dir (374 K'de). Aşağıdaki hesaplamada L-izolösinin derişimini \([\mathrm L]\), D-allo-izolösinin derişimini ise \([\mathrm D]\) olarak kısaltınız. Aşağıdakileri (üç anlamlı rakamla) hesaplayınız:

a) \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\),

b) kaynatmadan sonraki diastereomerik fazlalık (\(de\)).

Tek bir kiral merkeze sahip amino asitler rasemleşmeye uğrar; örneğin L-arjinin rasemleşir:

Derişimlerin zamanla değişimini şu denklem belirler:

\[ \ln\frac{1+\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} {1-\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} =2k_1t+C \]

Burada \([\mathrm D]\) ve \([\mathrm L]\), \(t\) anındaki D- ve L-arjinin derişimleri, \(k_1\) hız sabitidir; \(C\) terimi ise başlangıç derişimlerine göre belirlenir.

Kutsal Roma İmparatoru III. Lothar, 1137'de Sicilya'ya yaptığı yolculuk sırasında hayatını kaybetti. Cenazesinin ülkesine geri götürülmesini kolaylaştırmak için bedeni, ölümünün hemen ardından belirli bir süre suda (373 K) kaynatıldı. Kimyasal kinetik yardımıyla kaynatma süresini tahmin etmeye çalışalım. Protein içindeki arjininin 373 K ve \(\mathrm{pH}=7\)'deki rasemleşmesinin hız sabiti \(k_1\)'in \(5.10\times10^{-3}\ \mathrm{h^{-1}}\) değerinde olduğunu biliyoruz.

Lothar'ın kemiklerindeki arjininin izomer bileşimini analiz etmek için önce arjinini çözeltiye geçirmemiz gerekir. Lothar'ın kemikleri kuvvetli asidik bir ortamda 383 K'de 4 saat boyunca hidroliz edildi. Optik izomerlerin oranı \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.090\) idi. Lothar'ın eşi Richenza, ölümünden sonra kaynatılmamıştı. Onun kemikleri de aynı işlemle hidroliz edildi ve bu durumda oran \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.059\) idi. (Rasemleşmenin hidroliz sırasında da gerçekleştiğini ve bu süreçteki hız sabiti \(k'_1\)'in \(k_1\)'den farklı olduğunu unutmayınız.)

2.8 Kutsal Roma İmparatoru III. Lothar, 1137'de suda ne kadar süre kaynatılmıştır?

Not: Arjininin rasemleşmesi, mezarlarda tipik olarak karşılaşılan sıcaklıklarda son derece yavaş bir süreçtir. Her iki beden de yalnızca yaklaşık 880 yıllık olduğundan, bu süre boyunca gerçekleşen doğal rasemleşmeyi ihmal edebiliriz.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

A temperatura ambiente, la racemización es una reacción lenta. Por ello, puede utilizarse para datar materiales biológicos y, además, para estudiar su historia térmica. Tomemos como ejemplo la L-isoleucina (L-Ile) (ácido \((2S,3S)\)-2-amino-3-metilpentanoico). Se isomeriza en el carbono \(\alpha\) y forma ácido \((2R,3S)\)-2-amino-3-metilpentanoico, también conocido como D-alo-isoleucina. Como la configuración cambia en solo uno de los dos centros estereogénicos, este proceso se denomina epimerización en lugar de racemización.

2.1 Seleccione todas las afirmaciones verdaderas.

☐ La D-alo-isoleucina y la L-isoleucina tienen los mismos valores de rotación óptica específica, pero distintos puntos de fusión.

☐ La D-alo-isoleucina tiene un valor absoluto de rotación óptica específica idéntico al de la L-isoleucina, pero de signo opuesto. El punto de fusión es el mismo para ambos isómeros.

☐ La D-alo-isoleucina y la L-isoleucina tienen distintos valores de rotación óptica específica, pero los mismos puntos de fusión.

☐ La D-alo-isoleucina y la L-isoleucina tienen distintos valores de rotación óptica específica y distintos puntos de fusión.

☐ La D-alo-isoleucina no es ópticamente activa.

2.2 Asigne las configuraciones absolutas de cada estereoisómero de la isoleucina.

☐ \(2S,3R\) (L-alo-isoleucina)

☐ \(2R,3S\) (D-alo-isoleucina)

☐ \(2S,3S\) (L-isoleucina)

☐ \(2R,3R\) (D-isoleucina)

2.3 La constante de equilibrio \(K_{\mathrm{ep}}\) de la epimerización de la L-isoleucina tiene un valor de 1.38 (a 374 K). Si fijamos la energía libre de Gibbs molar de la L-isoleucina en \(G_{\mathrm m}^{\circ}=0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\), determine las energías libres de Gibbs de todas las estructuras A–D de la pregunta 2.2 a 374 K.

2.4 Si tenemos en cuenta la estereoisomería en todos los estereocentros, ¿cuál es el número máximo posible de estereoisómeros del tripéptido Ile-Ile-Ile?

Al comienzo de la epimerización, podemos despreciar la reacción inversa. La epimerización sigue entonces una cinética de primer orden:

El valor de la constante de velocidad a 374 K es \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\) y a 421 K es \(k_1(421\ \mathrm K)=1.18\times10^{-2}\ \mathrm{h^{-1}}\).

En el siguiente cálculo, abrevie la concentración de L-isoleucina como \([\mathrm L]\) y la de D-alo-isoleucina como \([\mathrm D]\).

Podemos definir una magnitud \(de\) (exceso diastereomérico):

\[ de=\frac{[\mathrm L]-[\mathrm D]}{[\mathrm L]+[\mathrm D]}\times100(\%). \]

2.5 Hagamos hervir L-isoleucina durante 1 943 horas a 374 K. ¿Cuál es el valor de \(de\) (con tres cifras significativas) de la L-isoleucina a) antes de hervir y b) después de hervir?

2.6 ¿Cuánto tiempo se necesita para convertir el 10% de la L-isoleucina en D-alo-isoleucina a 298 K?

En realidad, la reacción inversa no puede despreciarse. El esquema cinético correcto se expresa como

Definamos la desviación de la concentración respecto de su valor de equilibrio \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)

\[ x=[\mathrm L]-[\mathrm L]_{\mathrm{eq}} \]

Puede deducirse que \(x\) evoluciona con el tiempo según la siguiente ecuación:

\[ x=x(0)\times e^{-(k_1+k_2)t}, \]

donde \(x(0)\) es la desviación respecto del equilibrio en \(t=0\ \mathrm h\).

2.7 Hagamos hervir una disolución de L-isoleucina de \(1.00\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}\) durante 1 943 horas a 374 K. La constante de velocidad de la reacción directa es \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\), y \(K_{\mathrm{ep}}\) de la epimerización de la L-isoleucina tiene un valor de 1.38 (a 374 K). En el siguiente cálculo, abrevie la concentración de L-isoleucina como \([\mathrm L]\) y la de D-alo-isoleucina como \([\mathrm D]\). Calcule (con tres cifras significativas)

a) \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\),

b) el exceso diastereomérico (\(de\)) después de hervir.

Los aminoácidos con un único centro quiral experimentan racemización; por ejemplo, la L-arginina se racemiza:

La evolución temporal de las concentraciones se rige por

\[ \ln\frac{1+\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} {1-\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} =2k_1t+C \]

Aquí, \([\mathrm D]\) y \([\mathrm L]\) son las concentraciones de D- y L-arginina en el instante \(t\), \(k_1\) es la constante de velocidad y el término \(C\) se fija según las concentraciones iniciales.

El emperador del Sacro Imperio Romano Germánico Lotario III falleció durante su viaje a Sicilia en 1137. Para facilitar la repatriación de sus restos mortales, su cuerpo se hirvió en agua (373 K) durante cierto tiempo inmediatamente después de su muerte. Intentemos estimar el tiempo de ebullición con ayuda de la cinética química. Sabemos que la constante de velocidad \(k_1\) de la racemización de la arginina en la proteína a 373 K y \(\mathrm{pH}=7\) tiene un valor de \(5.10\times10^{-3}\ \mathrm{h^{-1}}\).

Para analizar la composición isomérica de la arginina en los huesos de Lotario, primero debemos transferir la arginina a una disolución. Los huesos de Lotario se hidrolizaron en un medio fuertemente ácido durante 4 horas a 383 K. La relación entre los isómeros ópticos fue \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.090\). El cuerpo de su esposa Richenza no se hirvió después de su muerte. Sus huesos se hidrolizaron siguiendo el mismo procedimiento y, en este caso, la relación fue \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.059\). (Tenga en cuenta que la racemización también se produce durante la hidrólisis, con una constante de velocidad \(k'_1\), distinta de \(k_1\)).

2.8 ¿Durante cuánto tiempo se hirvió en agua al emperador del Sacro Imperio Romano Germánico Lotario III en 1137?

Nota: La racemización de la arginina es un proceso extremadamente lento a las temperaturas habituales en las tumbas. Como ambos cuerpos tienen solo unos 880 años de antigüedad, podemos despreciar la racemización natural durante este tiempo.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

在环境温度下，外消旋化是一种缓慢的反应。因此，它可用于测定生物样品的年代，还可用于研究这些样品的热历史。以 L-异亮氨酸（L-Ile）（\((2S,3S)\)-2-氨基-3-甲基戊酸）为例。它在 \(\alpha\)-碳原子上发生异构化，生成 \((2R,3S)\)-2-氨基-3-甲基戊酸，又称 D-别-异亮氨酸。由于两个立体中心中只有一个的构型发生改变，这一过程称为差向异构化，而不是外消旋化。

2.1 选出所有正确的说法。

☐ D-别-异亮氨酸和 L-异亮氨酸的比旋光度相同，但熔点不同。

☐ D-别-异亮氨酸的比旋光度与 L-异亮氨酸的比旋光度绝对值相同，但符号相反。两种异构体的熔点相同。

☐ D-别-异亮氨酸和 L-异亮氨酸的比旋光度不同，但熔点相同。

☐ D-别-异亮氨酸和 L-异亮氨酸的比旋光度和熔点均不同。

☐ D-别-异亮氨酸不具有旋光性。

2.2 指定异亮氨酸各立体异构体的绝对构型。

☐ \(2S,3R\)（L-别-异亮氨酸）

☐ \(2R,3S\)（D-别-异亮氨酸）

☐ \(2S,3S\)（L-异亮氨酸）

☐ \(2R,3R\)（D-异亮氨酸）

2.3 L-异亮氨酸差向异构化的平衡常数 \(K_{\mathrm{ep}}\) 在 374 K 时为 1.38。若设 L-异亮氨酸的摩尔吉布斯自由能 \(G_{\mathrm m}^{\circ}=0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\)，求第 2.2 问中所有结构 A–D 在 374 K 时的吉布斯自由能。

2.4 若考虑所有立体中心的立体异构，三肽 Ile-Ile-Ile 最多可能有多少种立体异构体？

在差向异构化开始时，可以忽略逆反应。此时，差向异构化遵循一级反应动力学：

374 K 时的速率常数为 \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\)，421 K 时的速率常数为 \(k_1(421\ \mathrm K)=1.18\times10^{-2}\ \mathrm{h^{-1}}\)。

在以下计算中，将 L-异亮氨酸的浓度简记为 \([\mathrm L]\)，将 D-别-异亮氨酸的浓度简记为 \([\mathrm D]\)。

可以定义量 \(de\)（非对映异构体过量）：

\[ de=\frac{[\mathrm L]-[\mathrm D]}{[\mathrm L]+[\mathrm D]}\times100(\%). \]

2.5 将 L-异亮氨酸在 374 K 下煮沸 1 943 小时。L-异亮氨酸 a) 煮沸前和 b) 煮沸后的 \(de\) 值各是多少（保留三位有效数字）？

2.6 在 298 K 下，将 10% 的 L-异亮氨酸转化为 D-别-异亮氨酸需要多长时间？

实际上，逆反应不能忽略。正确的动力学反应示意如下：

定义浓度相对于其平衡值 \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\) 的偏差为

\[ x=[\mathrm L]-[\mathrm L]_{\mathrm{eq}} \]

可以推导出，\(x\) 随时间的变化遵循下式：

\[ x=x(0)\times e^{-(k_1+k_2)t}, \]

其中，\(x(0)\) 为 \(t=0\ \mathrm h\) 时相对于平衡的偏差。

2.7 将 \(1.00\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}\) 的 L-异亮氨酸溶液在 374 K 下煮沸 1 943 小时。正反应的速率常数为 \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\)，L-异亮氨酸差向异构化的 \(K_{\mathrm{ep}}\) 在 374 K 时为 1.38。在以下计算中，将 L-异亮氨酸的浓度简记为 \([\mathrm L]\)，将 D-别-异亮氨酸的浓度简记为 \([\mathrm D]\)。求下列各量（保留三位有效数字）：

a) \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)，

b) 煮沸后的非对映异构体过量（\(de\)）。

仅有一个手性中心的氨基酸会发生外消旋化，例如 L-精氨酸的外消旋化：

浓度随时间的变化遵循下式：

\[ \ln\frac{1+\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} {1-\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} =2k_1t+C \]

这里，\([\mathrm D]\) 和 \([\mathrm L]\) 分别为时刻 \(t\) 的 D-精氨酸和 L-精氨酸浓度，\(k_1\) 为速率常数，\(C\) 项由初始浓度确定。

神圣罗马帝国皇帝洛泰尔三世于 1137 年前往西西里的途中去世。为便于将遗骸运回故乡，他的遗体在去世后立即在水中（373 K）煮沸了一段时间。下面尝试借助化学动力学估算煮沸时间。已知蛋白质中精氨酸在 373 K、\(\mathrm{pH}=7\) 时的外消旋化速率常数 \(k_1\) 为 \(5.10\times10^{-3}\ \mathrm{h^{-1}}\)。

为了分析洛泰尔骨骼中精氨酸的异构体组成，首先需要将精氨酸转移到溶液中。将洛泰尔的骨骼置于强酸性环境中，在 383 K 下水解 4 小时。测得旋光异构体的比值为 \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.090\)。洛泰尔的妻子里亨莎去世后未经过煮沸。用相同的方法水解她的骨骼，此时测得的比值为 \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.059\)。（注意，水解过程中也会发生外消旋化，其速率常数为 \(k'_1\)，与 \(k_1\) 不同。）

2.8 神圣罗马帝国皇帝洛泰尔三世于 1137 年在水中被煮沸了多长时间？

注： 在墓穴通常的温度条件下，精氨酸的外消旋化是一个极其缓慢的过程。由于两具遗体都只有约 880 年的历史，因此可以忽略这段时间内的自然外消旋化。

题目译自官方英文原文。

При температуре окружающей среды рацемизация протекает медленно. Поэтому её можно использовать для датирования биологических объектов, а также для изучения их температурной истории. В качестве примера рассмотрим L-изолейцин (L-Ile) (\((2S,3S)\)-2-амино-3-метилпентановую кислоту). Он изомеризуется по \(\alpha\)-атому углерода с образованием \((2R,3S)\)-2-амино-3-метилпентановой кислоты, также известной как D-алло-изолейцин. Поскольку конфигурация изменяется только у одного из двух стереогенных центров, этот процесс называют эпимеризацией, а не рацемизацией.

2.1 Выберите все верные утверждения.

☐ D-алло-изолейцин и L-изолейцин имеют одинаковые значения удельного оптического вращения, но разные температуры плавления.

☐ Абсолютное значение удельного оптического вращения D-алло-изолейцина совпадает с таковым для L-изолейцина, но знак противоположен. Температура плавления обоих изомеров одинакова.

☐ D-алло-изолейцин и L-изолейцин имеют разные значения удельного оптического вращения, но одинаковые температуры плавления.

☐ D-алло-изолейцин и L-изолейцин имеют разные значения удельного оптического вращения и разные температуры плавления.

☐ D-алло-изолейцин не обладает оптической активностью.

2.2 Укажите абсолютные конфигурации каждого стереоизомера изолейцина.

☐ \(2S,3R\) (L-алло-изолейцин)

☐ \(2R,3S\) (D-алло-изолейцин)

☐ \(2S,3S\) (L-изолейцин)

☐ \(2R,3R\) (D-изолейцин)

2.3 Константа равновесия \(K_{\mathrm{ep}}\) эпимеризации L-изолейцина равна 1.38 (при 374 K). Приняв молярную энергию Гиббса L-изолейцина равной \(G_{\mathrm m}^{\circ}=0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\), определите энергии Гиббса всех структур A–D из вопроса 2.2 при 374 K.

2.4 Если учитывать стереоизомерию по всем стереоцентрам, каково максимально возможное число стереоизомеров трипептида Ile-Ile-Ile?

В начале эпимеризации обратной реакцией можно пренебречь. Тогда эпимеризация подчиняется кинетике первого порядка:

Значение константы скорости при 374 K составляет \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\), а при 421 K — \(k_1(421\ \mathrm K)=1.18\times10^{-2}\ \mathrm{h^{-1}}\).

В следующих расчётах обозначайте концентрацию L-изолейцина как \([\mathrm L]\), а D-алло-изолейцина — как \([\mathrm D]\).

Введём величину \(de\) (диастереомерный избыток):

\[ de=\frac{[\mathrm L]-[\mathrm D]}{[\mathrm L]+[\mathrm D]}\times100(\%). \]

2.5 Будем кипятить L-изолейцин в течение 1 943 часов при 374 K. Каково значение \(de\) (с тремя значащими цифрами) для L-изолейцина a) до кипячения и b) после кипячения?

2.6 Сколько времени требуется для превращения 10% L-изолейцина в D-алло-изолейцин при 298 K?

В действительности обратной реакцией пренебречь нельзя. Правильная кинетическая схема имеет вид

Определим отклонение концентрации от её равновесного значения \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)

\[ x=[\mathrm L]-[\mathrm L]_{\mathrm{eq}} \]

Можно показать, что величина \(x\) изменяется со временем согласно следующему уравнению:

\[ x=x(0)\times e^{-(k_1+k_2)t}, \]

где \(x(0)\) — отклонение от равновесия при \(t=0\ \mathrm h\).

2.7 Будем кипятить раствор L-изолейцина с концентрацией \(1.00\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}\) в течение 1 943 часов при 374 K. Константа скорости прямой реакции равна \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\), а \(K_{\mathrm{ep}}\) эпимеризации L-изолейцина равна 1.38 (при 374 K). В следующих расчётах обозначайте концентрацию L-изолейцина как \([\mathrm L]\), а D-алло-изолейцина — как \([\mathrm D]\). Вычислите (с тремя значащими цифрами)

a) \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\),

b) диастереомерный избыток (\(de\)) после кипячения.

Аминокислоты с единственным хиральным центром подвергаются рацемизации; например, L-аргинин рацемизуется:

Изменение концентраций со временем описывается уравнением

\[ \ln\frac{1+\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} {1-\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} =2k_1t+C \]

Здесь \([\mathrm D]\) и \([\mathrm L]\) — концентрации D- и L-аргинина в момент времени \(t\), \(k_1\) — константа скорости, а величина \(C\) определяется начальными концентрациями.

Император Священной Римской империи Лотарь III умер во время своего путешествия на Сицилию в 1137 году. Чтобы облегчить возвращение останков на родину, сразу после смерти его тело в течение некоторого времени кипятили в воде (373 K). Попробуем оценить продолжительность кипячения с помощью химической кинетики. Известно, что константа скорости \(k_1\) рацемизации аргинина в составе белка при 373 K и \(\mathrm{pH}=7\) равна \(5.10\times10^{-3}\ \mathrm{h^{-1}}\).

Для анализа изомерного состава аргинина в костях Лотаря необходимо сначала перевести аргинин в раствор. Кости Лотаря подвергли гидролизу в сильнокислой среде в течение 4 часов при 383 K. Отношение концентраций оптических изомеров составило \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.090\). Тело супруги Лотаря Рихензы после смерти не кипятили. Её кости подвергли гидролизу по той же методике, и в этом случае отношение составило \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.059\). (Обратите внимание, что рацемизация происходит и во время гидролиза, с константой скорости \(k'_1\), отличной от \(k_1\)).

2.8 Как долго тело императора Священной Римской империи Лотаря III кипятили в воде в 1137 году?

Примечание: Рацемизация аргинина — чрезвычайно медленный процесс при температурах, обычно характерных для захоронений. Поскольку возраст обоих останков составляет всего около 880 лет, естественной рацемизацией за это время можно пренебречь.

Условие переведено с официального английского текста.

عند درجات حرارة الوسط المحيط، تُعدّ الراسمة تفاعلًا بطيئًا. ولذلك، يمكن استخدامها لتأريخ العينات البيولوجية، وكذلك لدراسة تاريخها الحراري. لنأخذ L-أيزوليوسين (L-Ile) (حمض \((2S,3S)\)-2-أمينو-3-ميثيل البنتانويك) مثالًا. فهو يتماكب عند ذرة الكربون \(\alpha\)، ويكوّن حمض \((2R,3S)\)-2-أمينو-3-ميثيل البنتانويك، المعروف أيضًا باسم D-ألو-أيزوليوسين. وبما أن التكوين يتغير عند مركز واحد فقط من المركزين المولّدين للتصاوغ الفراغي، فإن هذه العملية تُسمّى الإبيمرة بدلًا من الراسمة.

2.1 اختر جميع العبارات الصحيحة.

☐ للمركبين D-ألو-أيزوليوسين وL-أيزوليوسين القيم نفسها للدوران الضوئي النوعي، لكن درجتي انصهارهما مختلفتان.

☐ للمركب D-ألو-أيزوليوسين القيمة المطلقة نفسها للدوران الضوئي النوعي للمركب L-أيزوليوسين، لكن الإشارة معاكسة. ودرجة الانصهار واحدة لكلا المتماكبين.

☐ للمركبين D-ألو-أيزوليوسين وL-أيزوليوسين قيم مختلفة للدوران الضوئي النوعي، لكن درجتي انصهارهما متساويتان.

☐ للمركبين D-ألو-أيزوليوسين وL-أيزوليوسين قيم مختلفة للدوران الضوئي النوعي ودرجتا انصهار مختلفتان.

☐ المركب D-ألو-أيزوليوسين غير نشط ضوئيًا.

2.2 عيّن التكوينات المطلقة لكل متماكب فراغي للأيزوليوسين.

☐ \(2S,3R\) (L-ألو-أيزوليوسين)

☐ \(2R,3S\) (D-ألو-أيزوليوسين)

☐ \(2S,3S\) (L-أيزوليوسين)

☐ \(2R,3R\) (D-أيزوليوسين)

2.3 تبلغ قيمة ثابت الاتزان \(K_{\mathrm{ep}}\) لإبيمرة L-أيزوليوسين 1.38 (عند 374 K). إذا وضعنا طاقة غيبس الحرة المولية للمركب L-أيزوليوسين مساويةً لـ \(G_{\mathrm m}^{\circ}=0\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\)، فحدّد طاقات غيبس الحرة لجميع البنى A–D الواردة في السؤال 2.2 عند 374 K.

2.4 إذا أخذنا في الحسبان التصاوغ الفراغي عند جميع المراكز الفراغية، فما أقصى عدد ممكن من المتماكبات الفراغية لثلاثي الببتيد Ile-Ile-Ile؟

في بداية الإبيمرة، يمكننا إهمال التفاعل العكسي. وعندئذ تتبع الإبيمرة حركية الرتبة الأولى:

تبلغ قيمة ثابت السرعة عند 374 K مقدار \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\)، وتبلغ عند 421 K مقدار \(k_1(421\ \mathrm K)=1.18\times10^{-2}\ \mathrm{h^{-1}}\).

في الحساب التالي، اختصر تركيز L-أيزوليوسين بالرمز \([\mathrm L]\)، وتركيز D-ألو-أيزوليوسين بالرمز \([\mathrm D]\).

يمكننا تعريف الكمية \(de\) (الفائض الدياستيريومري):

\[ de=\frac{[\mathrm L]-[\mathrm D]}{[\mathrm L]+[\mathrm D]}\times100(\%). \]

2.5 لنغلِ L-أيزوليوسين مدة 1 943 ساعة عند 374 K. ما قيمة \(de\) (بثلاثة أرقام معنوية) للمركب L-أيزوليوسين a) قبل الغلي وb) بعد الغلي؟

2.6 ما الزمن اللازم لتحويل 10% من L-أيزوليوسين إلى D-ألو-أيزوليوسين عند 298 K؟

في الواقع، لا يمكن إهمال التفاعل العكسي. ويُعبَّر عن المخطط الحركي الصحيح كما يلي:

لنعرّف انحراف التركيز عن قيمته عند الاتزان \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)

\[ x=[\mathrm L]-[\mathrm L]_{\mathrm{eq}} \]

يمكن اشتقاق أن \(x\) يتغير مع الزمن وفق المعادلة التالية:

\[ x=x(0)\times e^{-(k_1+k_2)t}, \]

حيث \(x(0)\) هو الانحراف عن الاتزان عند \(t=0\ \mathrm h\).

2.7 لنغلِ محلولًا من L-أيزوليوسين تركيزه \(1.00\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}\) مدة 1 943 ساعة عند 374 K. ثابت سرعة التفاعل الأمامي هو \(k_1(374\ \mathrm K)=9.02\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}}\)، وتبلغ قيمة \(K_{\mathrm{ep}}\) لإبيمرة L-أيزوليوسين 1.38 (عند 374 K). في الحساب التالي، اختصر تركيز L-أيزوليوسين بالرمز \([\mathrm L]\)، وتركيز D-ألو-أيزوليوسين بالرمز \([\mathrm D]\). احسب (بثلاثة أرقام معنوية)

a) \([\mathrm L]_{\mathrm{eq}}\)،

b) الفائض الدياستيريومري (\(de\)) بعد الغلي.

تخضع الأحماض الأمينية ذات المركز الكيرالي الواحد للراسمة؛ فمثلًا، يخضع L-أرجينين للراسمة:

يحكم تغير التراكيز مع الزمن التعبير التالي:

\[ \ln\frac{1+\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} {1-\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}} =2k_1t+C \]

هنا، يمثّل \([\mathrm D]\) و\([\mathrm L]\) تركيزي D-أرجينين وL-أرجينين عند الزمن \(t\)، و\(k_1\) ثابت السرعة، ويُحدَّد الحد \(C\) وفقًا للتراكيز الابتدائية.

توفي لوثار الثالث، إمبراطور الإمبراطورية الرومانية المقدسة، أثناء رحلته إلى صقلية عام 1137. ولتسهيل إعادة رفاته إلى الوطن، غُلي جسده في الماء (373 K) مدةً معينةً فور وفاته. لنحاول تقدير مدة الغلي بالاستعانة بالحركية الكيميائية. نعلم أن ثابت السرعة \(k_1\) لراسمة الأرجينين داخل البروتين عند 373 K و\(\mathrm{pH}=7\) تبلغ قيمته \(5.10\times10^{-3}\ \mathrm{h^{-1}}\).

لتحليل التركيب المتماكبي للأرجينين في عظام لوثار، نحتاج أولًا إلى نقل الأرجينين إلى المحلول. أُخضعت عظام لوثار للتحلل المائي في وسط شديد الحموضة مدة 4 ساعات عند 383 K. وكانت نسبة المتماكبين الضوئيين \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.090\). لم تُغلَ ريتشنزا، زوجة لوثار، بعد وفاتها. وأُخضعت عظامها للتحلل المائي بالطريقة نفسها، وكانت النسبة في هذه الحالة \(\dfrac{[\mathrm D]}{[\mathrm L]}=0.059\). (لاحظ أن الراسمة تحدث أيضًا أثناء التحلل المائي، بثابت سرعة \(k'_1\) يختلف عن \(k_1\)).

2.8 ما المدة التي غُلي خلالها لوثار الثالث، إمبراطور الإمبراطورية الرومانية المقدسة، في الماء عام 1137؟

ملاحظة: راسمة الأرجينين عملية بطيئة للغاية عند درجات الحرارة المعتادة في القبور. وبما أن عمر الجثمانين لا يتجاوز نحو 880 سنة، فيمكننا إهمال الراسمة الطبيعية خلال هذه المدة.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.