IChO 2003 · Theory problem 30
Gas velocity
The experiment described here gives a simple way to determine the mean velocity \(u\) of the molecules in the gas phase of a volatile liquid. A wide shallow container (a Petri dish) half filled with ethanol is placed on an electronic balance with its lid next to it and the balance is zeroed at time \(t = 0\). Balance readings are recorded as shown on the diagram.
At \(t = 5\) min the lid is placed over the dish. The liquid no longer evaporates, but the trapped molecules push against the lid, hence lowering the measurement of the balance by \(\delta m\). Therefore, the force exerted on the lid is \(f = \delta m\,g\). The force is also equal to the rate of change of the momentum of the evaporating molecules, i.e., \(f = \tfrac12 u\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t\). Using the data provided determine the mean velocity of ethanol molecules at 290 K. Assume \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).
Official English text of the problem.
Answers
- 30. The mean molecular speed of ethanol at \(290\ \mathrm K\) is approximately \(\boxed{u = 3.4\times10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\).
Solution
30. Ethanol, \(\ce{CH3CH2OH}\), has SMILES CCO.
The graph’s straight-line slope before the lid is placed gives the evaporation rate. The balance reading falls from \(0.000\ \mathrm g\) to approximately \(-0.175\ \mathrm g\) over \(5.0\ \mathrm{min}\). Taking the positive magnitude of the mass-loss rate,
\[ \dot m_{\mathrm{evap}} =\frac{0.175\ \mathrm g}{5.0\ \mathrm{min}} =0.035\ \mathrm{g\,min^{-1}} =\frac{0.035\times10^{-3}}{60}\ \mathrm{kg\,s^{-1}} =5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}. \]
At lid closure, the reading drops from approximately \(-0.175\ \mathrm g\) to \(-0.185\ \mathrm g\). Thus,
\[ \delta m=(-0.175)-(-0.185) =0.010\ \mathrm g =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}. \]
Using the force relation supplied in the problem,
\[ f=\delta m\,g =(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}) (9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}) =9.8\times10^{-5}\ \mathrm N. \]
Equating this to the stated rate of momentum transfer,
\[ \delta m\,g=\frac12 u\,\dot m_{\mathrm{evap}}, \]
so
\[ u=\frac{2\delta m\,g}{\dot m_{\mathrm{evap}}} =\frac{2(9.8\times10^{-5}\ \mathrm N)} {5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}} =3.36\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
To sensible precision for the graphical data, the mean molecular speed at \(290\ \mathrm K\) is
\[ \boxed{u\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \]
The solution was checked against the official solution.
IChO 2003 · Theorieaufgabe 30
Gasgeschwindigkeit
Das hier beschriebene Experiment bietet eine einfache Möglichkeit, die mittlere Geschwindigkeit \(u\) der Moleküle in der Gasphase einer flüchtigen Flüssigkeit zu bestimmen. Ein breites, flaches Gefäß (eine Petrischale), das zur Hälfte mit Ethanol gefüllt ist, wird zusammen mit dem danebenliegenden Deckel auf eine elektronische Waage gestellt, und die Waage wird zum Zeitpunkt \(t = 0\) auf null gestellt. Die Waagenanzeigen werden wie im Diagramm dargestellt aufgezeichnet.
Bei \(t = 5\) min wird der Deckel auf die Schale gelegt. Die Flüssigkeit verdunstet nun nicht mehr, aber die eingeschlossenen Moleküle drücken gegen den Deckel, wodurch die Waagenanzeige um \(\delta m\) verringert wird. Die auf den Deckel ausgeübte Kraft beträgt daher \(f = \delta m\,g\). Diese Kraft ist auch gleich der zeitlichen Änderungsrate des Impulses der verdunstenden Moleküle, d. h. \(f = \tfrac12 u\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t\). Bestimmen Sie anhand der angegebenen Daten die mittlere Geschwindigkeit der Ethanolmoleküle bei 290 K. Nehmen Sie \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) an.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
- 30. Die mittlere Molekülgeschwindigkeit von Ethanol bei \(290\ \mathrm K\) beträgt ungefähr \(\boxed{u = 3.4\times10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\).
Lösung
30. Ethanol, \(\ce{CH3CH2OH}\), hat den SMILES-Code CCO.
Die Steigung des geradlinigen Abschnitts im Diagramm vor dem Auflegen des Deckels liefert die Verdunstungsrate. Die Waagenanzeige fällt innerhalb von \(5.0\ \mathrm{min}\) von \(0.000\ \mathrm g\) auf ungefähr \(-0.175\ \mathrm g\). Für den positiven Betrag der Massenverlustrate ergibt sich:
\[ \dot m_{\mathrm{evap}} =\frac{0.175\ \mathrm g}{5.0\ \mathrm{min}} =0.035\ \mathrm{g\,min^{-1}} =\frac{0.035\times10^{-3}}{60}\ \mathrm{kg\,s^{-1}} =5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}. \]
Beim Schließen des Deckels fällt die Anzeige von ungefähr \(-0.175\ \mathrm g\) auf \(-0.185\ \mathrm g\). Somit gilt:
\[ \delta m=(-0.175)-(-0.185) =0.010\ \mathrm g =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}. \]
Mit der in der Aufgabe angegebenen Beziehung für die Kraft ergibt sich:
\[ f=\delta m\,g =(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}) (9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}) =9.8\times10^{-5}\ \mathrm N. \]
Durch Gleichsetzen mit der angegebenen Impulsübertragungsrate erhält man:
\[ \delta m\,g=\frac12 u\,\dot m_{\mathrm{evap}}, \]
also
\[ u=\frac{2\delta m\,g}{\dot m_{\mathrm{evap}}} =\frac{2(9.8\times10^{-5}\ \mathrm N)} {5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}} =3.36\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
Mit einer den grafischen Daten angemessenen Genauigkeit beträgt die mittlere Molekülgeschwindigkeit bei \(290\ \mathrm K\)
\[ \boxed{u\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \]
Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.
IChO 2003 · Teori sorusu 30
Gaz hızı
Burada açıklanan deney, uçucu bir sıvının gaz fazındaki moleküllerinin ortalama hızını \(u\) belirlemek için basit bir yöntem sunar. Yarısına kadar etanol doldurulmuş geniş ve sığ bir kap (Petri kabı), kapağı yanına konularak elektronik bir teraziye yerleştirilir ve terazi \(t = 0\) anında sıfırlanır. Terazinin gösterdiği değerler grafikte gösterildiği gibi kaydedilir.
\(t = 5\) min anında kapak kabın üzerine kapatılır. Sıvı artık buharlaşmaz, ancak içeride hapsolan moleküller kapağa kuvvet uygulayarak terazinin gösterdiği değeri \(\delta m\) kadar azaltır. Dolayısıyla kapağa uygulanan kuvvet \(f = \delta m\,g\) olur. Bu kuvvet aynı zamanda buharlaşan moleküllerin momentumunun değişim hızına eşittir; yani \(f = \tfrac12 u\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t\). Verilen verileri kullanarak etanol moleküllerinin 290 K'deki ortalama hızını belirleyiniz. \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) olduğunu varsayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
- 30. Etanolün \(290\ \mathrm K\)'deki ortalama moleküler sürati yaklaşık olarak \(\boxed{u = 3.4\times10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\) olur.
Çözüm
30. Etanolün, \(\ce{CH3CH2OH}\), SMILES gösterimi CCO şeklindedir.
Grafiğin kapak kapatılmadan önceki doğrusal bölümünün eğimi buharlaşma hızını verir. Terazinin gösterdiği değer, \(5.0\ \mathrm{min}\) içinde \(0.000\ \mathrm g\)'dan yaklaşık \(-0.175\ \mathrm g\)'a düşer. Kütle kaybı hızının pozitif büyüklüğü alındığında,
\[ \dot m_{\mathrm{evap}} =\frac{0.175\ \mathrm g}{5.0\ \mathrm{min}} =0.035\ \mathrm{g\,min^{-1}} =\frac{0.035\times10^{-3}}{60}\ \mathrm{kg\,s^{-1}} =5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}. \]
Kapak kapatıldığında, terazinin gösterdiği değer yaklaşık \(-0.175\ \mathrm g\)'dan \(-0.185\ \mathrm g\)'a düşer. Dolayısıyla,
\[ \delta m=(-0.175)-(-0.185) =0.010\ \mathrm g =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}. \]
Soruda verilen kuvvet bağıntısı kullanıldığında,
\[ f=\delta m\,g =(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}) (9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}) =9.8\times10^{-5}\ \mathrm N. \]
Bu kuvvet, belirtilen momentum aktarım hızına eşitlendiğinde,
\[ \delta m\,g=\frac12 u\,\dot m_{\mathrm{evap}}, \]
böylece
\[ u=\frac{2\delta m\,g}{\dot m_{\mathrm{evap}}} =\frac{2(9.8\times10^{-5}\ \mathrm N)} {5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}} =3.36\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
Grafikten elde edilen verilere uygun bir hassasiyetle, \(290\ \mathrm K\)'deki ortalama moleküler sürat şöyledir:
\[ \boxed{u\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \]
Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IChO 2003 · Problema teórico 30
Velocidad de un gas
El experimento descrito aquí proporciona una forma sencilla de determinar la velocidad media \(u\) de las moléculas en la fase gaseosa de un líquido volátil. Se coloca un recipiente ancho y poco profundo (una placa de Petri), lleno hasta la mitad con etanol, sobre una balanza electrónica, con su tapa al lado, y se pone a cero la balanza en el instante \(t = 0\). Se registran las lecturas de la balanza tal como se muestra en el diagrama.
En \(t = 5\) min se coloca la tapa sobre la placa. El líquido deja de evaporarse, pero las moléculas atrapadas ejercen presión contra la tapa, lo que reduce la lectura de la balanza en \(\delta m\). Por lo tanto, la fuerza ejercida sobre la tapa es \(f = \delta m\,g\). La fuerza también es igual a la tasa de variación de la cantidad de movimiento de las moléculas que se evaporan, es decir, \(f = \tfrac12 u\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t\). Utilizando los datos proporcionados, determine la velocidad media de las moléculas de etanol a 290 K. Suponga que \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
- 30. La rapidez molecular media del etanol a \(290\ \mathrm K\) es aproximadamente \(\boxed{u = 3.4\times10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\).
Solución
30. El etanol, \(\ce{CH3CH2OH}\), tiene la representación SMILES CCO.
La pendiente del tramo rectilíneo de la gráfica antes de colocar la tapa proporciona la tasa de evaporación. La lectura de la balanza disminuye de \(0.000\ \mathrm g\) a aproximadamente \(-0.175\ \mathrm g\) en \(5.0\ \mathrm{min}\). Tomando el valor absoluto de la tasa de pérdida de masa,
\[ \dot m_{\mathrm{evap}} =\frac{0.175\ \mathrm g}{5.0\ \mathrm{min}} =0.035\ \mathrm{g\,min^{-1}} =\frac{0.035\times10^{-3}}{60}\ \mathrm{kg\,s^{-1}} =5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}. \]
Al cerrar la tapa, la lectura disminuye de aproximadamente \(-0.175\ \mathrm g\) a \(-0.185\ \mathrm g\). Por tanto,
\[ \delta m=(-0.175)-(-0.185) =0.010\ \mathrm g =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}. \]
Utilizando la relación para la fuerza proporcionada en el enunciado,
\[ f=\delta m\,g =(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}) (9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}) =9.8\times10^{-5}\ \mathrm N. \]
Igualando esta expresión a la tasa de transferencia de cantidad de movimiento indicada,
\[ \delta m\,g=\frac12 u\,\dot m_{\mathrm{evap}}, \]
se obtiene
\[ u=\frac{2\delta m\,g}{\dot m_{\mathrm{evap}}} =\frac{2(9.8\times10^{-5}\ \mathrm N)} {5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}} =3.36\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
Con una precisión adecuada para los datos de la gráfica, la rapidez molecular media a \(290\ \mathrm K\) es
\[ \boxed{u\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \]
La solución se comprobó con la solución oficial.
IChO 2003 · 理论题 30
气体速率
这里描述的实验提供了一种测定挥发性液体气相中分子平均速率 \(u\) 的简便方法。将一个盛有半皿乙醇的宽而浅的容器（培养皿）放在电子天平上，皿盖放在培养皿旁边，并在 \(t = 0\) 时将天平调零。记录天平读数，如图所示。
在 \(t = 5\) min 时，将皿盖盖在培养皿上。液体不再蒸发，但被封闭在皿内的分子对皿盖施加推力，从而使天平的测量值减小 \(\delta m\)。因此，作用在皿盖上的力为 \(f = \delta m\,g\)。该力也等于蒸发分子的动量变化率，即 \(f = \tfrac12 u\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t\)。利用所给数据，求 290 K 时乙醇分子的平均速率。设 \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。
题目译自官方英文原文。
答案
- 30. 乙醇在 \(290\ \mathrm K\) 时的分子平均速率约为 \(\boxed{u = 3.4\times10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\)。
解答
30. 乙醇的化学式为 \(\ce{CH3CH2OH}\)，其 SMILES 为 CCO。
盖上皿盖之前，图中直线的斜率给出了蒸发速率。天平读数在 \(5.0\ \mathrm{min}\) 内从 \(0.000\ \mathrm g\) 降至约 \(-0.175\ \mathrm g\)。取质量损失速率的正值大小，得
\[ \dot m_{\mathrm{evap}} =\frac{0.175\ \mathrm g}{5.0\ \mathrm{min}} =0.035\ \mathrm{g\,min^{-1}} =\frac{0.035\times10^{-3}}{60}\ \mathrm{kg\,s^{-1}} =5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}. \]
盖上皿盖时，读数从约 \(-0.175\ \mathrm g\) 降至 \(-0.185\ \mathrm g\)。因此，
\[ \delta m=(-0.175)-(-0.185) =0.010\ \mathrm g =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}. \]
利用题目给出的力的关系式，
\[ f=\delta m\,g =(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}) (9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}) =9.8\times10^{-5}\ \mathrm N. \]
将此力与题目所述的动量传递速率相等，得
\[ \delta m\,g=\frac12 u\,\dot m_{\mathrm{evap}}, \]
所以
\[ u=\frac{2\delta m\,g}{\dot m_{\mathrm{evap}}} =\frac{2(9.8\times10^{-5}\ \mathrm N)} {5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}} =3.36\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
按图示数据所能支持的合理精度，\(290\ \mathrm K\) 时的分子平均速率为
\[ \boxed{u\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \]
解答已与官方解答核对。
IChO 2003 · Теоретическая задача 30
Скорость молекул газа
Описанный здесь эксперимент позволяет простым способом определить среднюю скорость \(u\) молекул в газовой фазе летучей жидкости. Широкий неглубокий сосуд (чашку Петри), наполовину заполненный этанолом, помещают на электронные весы, рядом с ним кладут крышку и в момент времени \(t = 0\) обнуляют показания весов. Показания весов регистрируют, как показано на графике.
В момент \(t = 5\) мин чашку накрывают крышкой. Жидкость больше не испаряется, однако молекулы, оказавшиеся под крышкой, давят на неё, вследствие чего показания весов уменьшаются на \(\delta m\). Следовательно, сила, действующая на крышку, равна \(f = \delta m\,g\). Эта сила также равна скорости изменения импульса испаряющихся молекул, т. е. \(f = \tfrac12 u\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t\). Используя приведённые данные, определите среднюю скорость молекул этанола при 290 K. Примите \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
- 30. Средняя скорость молекул этанола при \(290\ \mathrm K\) составляет приблизительно \(\boxed{u = 3.4\times10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\).
Решение
30. Этанол, \(\ce{CH3CH2OH}\), имеет SMILES CCO.
Наклон прямолинейного участка графика до закрытия чашки крышкой позволяет определить скорость испарения. Показания весов уменьшаются с \(0.000\ \mathrm g\) до приблизительно \(-0.175\ \mathrm g\) за \(5.0\ \mathrm{min}\). Принимая скорость потери массы положительной, получаем
\[ \dot m_{\mathrm{evap}} =\frac{0.175\ \mathrm g}{5.0\ \mathrm{min}} =0.035\ \mathrm{g\,min^{-1}} =\frac{0.035\times10^{-3}}{60}\ \mathrm{kg\,s^{-1}} =5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}. \]
При закрытии чашки крышкой показания весов падают с приблизительно \(-0.175\ \mathrm g\) до \(-0.185\ \mathrm g\). Таким образом,
\[ \delta m=(-0.175)-(-0.185) =0.010\ \mathrm g =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}. \]
Используя приведённое в условии соотношение для силы, получаем
\[ f=\delta m\,g =(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}) (9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}) =9.8\times10^{-5}\ \mathrm N. \]
Приравнивая эту силу к указанной скорости передачи импульса, получаем
\[ \delta m\,g=\frac12 u\,\dot m_{\mathrm{evap}}, \]
откуда
\[ u=\frac{2\delta m\,g}{\dot m_{\mathrm{evap}}} =\frac{2(9.8\times10^{-5}\ \mathrm N)} {5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}} =3.36\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
С точностью, соответствующей данным, полученным из графика, средняя скорость молекул при \(290\ \mathrm K\) составляет
\[ \boxed{u\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \]
Решение проверено по официальному решению.
IChO 2003 · مسألة نظرية 30
سرعة الغاز
تتيح التجربة الموصوفة هنا طريقة بسيطة لتحديد متوسط سرعة الجزيئات \(u\) في الطور الغازي لسائل متطاير. يُوضَع وعاء عريض قليل العمق (طبق بتري) مملوء إلى نصفه بالإيثانول على ميزان إلكتروني، ويُوضَع غطاؤه بجانبه، ثم يُصفَّر الميزان عند الزمن \(t = 0\). تُسجَّل قراءات الميزان كما هو موضح في الرسم البياني.
عند \(t = 5\) min يُوضَع الغطاء على الطبق. يتوقف السائل عن التبخر، لكن الجزيئات المحبوسة تضغط على الغطاء، مما يخفض قراءة الميزان بمقدار \(\delta m\). ومن ثم، فإن القوة المؤثرة في الغطاء هي \(f = \delta m\,g\). وتساوي هذه القوة أيضًا معدل تغير كمية حركة الجزيئات المتبخرة، أي \(f = \tfrac12 u\,\mathrm{d}m/\mathrm{d}t\). باستخدام البيانات المعطاة، حدِّد متوسط سرعة جزيئات الإيثانول عند 290 K. افترض أن \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
- 30. متوسط سرعة جزيئات الإيثانول عند \(290\ \mathrm K\) يساوي تقريبًا \(\boxed{u = 3.4\times10^{2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\).
الحل
30. الإيثانول، \(\ce{CH3CH2OH}\)، له تمثيل SMILES CCO.
يعطي ميل الخط المستقيم في الرسم البياني قبل وضع الغطاء معدل التبخر. تنخفض قراءة الميزان من \(0.000\ \mathrm g\) إلى نحو \(-0.175\ \mathrm g\) خلال \(5.0\ \mathrm{min}\). وبأخذ المقدار الموجب لمعدل فقد الكتلة،
\[ \dot m_{\mathrm{evap}} =\frac{0.175\ \mathrm g}{5.0\ \mathrm{min}} =0.035\ \mathrm{g\,min^{-1}} =\frac{0.035\times10^{-3}}{60}\ \mathrm{kg\,s^{-1}} =5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}. \]
عند إغلاق الغطاء، تنخفض القراءة من نحو \(-0.175\ \mathrm g\) إلى \(-0.185\ \mathrm g\). وبالتالي،
\[ \delta m=(-0.175)-(-0.185) =0.010\ \mathrm g =1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}. \]
باستخدام علاقة القوة المعطاة في المسألة،
\[ f=\delta m\,g =(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{kg}) (9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}) =9.8\times10^{-5}\ \mathrm N. \]
وبمساواة هذه القوة بالمعدل المذكور لانتقال كمية الحركة،
\[ \delta m\,g=\frac12 u\,\dot m_{\mathrm{evap}}, \]
إذن
\[ u=\frac{2\delta m\,g}{\dot m_{\mathrm{evap}}} =\frac{2(9.8\times10^{-5}\ \mathrm N)} {5.83\times10^{-7}\ \mathrm{kg\,s^{-1}}} =3.36\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
وبدقة مناسبة للبيانات المستخلصة من الرسم البياني، يكون متوسط سرعة الجزيئات عند \(290\ \mathrm K\) هو
\[ \boxed{u\approx3.4\times10^2\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \]
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.