IChO 2003 · Theory problem 15
Statements about Beer's law
Regarding Beer's law, are the following statements correct (Y) or not (N)?
(a) The absorbance is proportional to the concentration of the absorbing compound. (Y) (N)
(b) The absorbance is linearly related to the wavelength of the incident light. (Y) (N)
(c) The logarithm of transmittance is proportional to the concentration of the absorbing compound. (Y) (N)
(d) The transmittance is inversely proportional to the logarithm of absorbance. (Y) (N)
(e) The transmittance is inversely proportional to the concentration of the absorbing compound. (Y) (N)
Official English text of the problem.
Answers
- (a) Y
- (b) N
- (c) Y
- (d) N
- (e) N
Solution
The Beer–Lambert law is \[ A=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)=\varepsilon(\lambda)\ell c, \] where \(I_0\) and \(I\) are the incident and transmitted light intensities, \(\varepsilon(\lambda)\) is the molar absorption coefficient at wavelength \(\lambda\), \(\ell\) is the optical path length, and \(c\) is the concentration.
Transmittance is defined as \(T=I/I_0\), so \[ A=-\log_{10}T, \qquad T=10^{-A}=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Both \(A\) and \(T\) are dimensionless. For example, with \(\ell\) in \(\mathrm{cm}\) and \(c\) in \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\), \(\varepsilon\) has units of \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\).
(a) Correct (Y). At fixed wavelength and optical path length, within the conditions where Beer's law applies, \[ A=\bigl[\varepsilon(\lambda)\ell\bigr]c. \] Thus absorbance is proportional to concentration.
(b) Incorrect (N). The wavelength dependence of absorbance comes through \(\varepsilon(\lambda)\), which varies according to the absorption spectrum. Beer's law does not imply a linear relationship between absorbance and wavelength.
(c) Correct (Y). Rearranging the law gives \[ \log_{10}T=-\varepsilon(\lambda)\ell c. \] Thus the logarithm of transmittance is proportional to concentration, with a negative proportionality constant. Choosing another logarithm base only changes that constant.
(d) Incorrect (N). The actual relationship is \[ T=10^{-A}, \] rather than \(T\propto 1/\log A\).
(e) Incorrect (N). At fixed wavelength and optical path length, \[ T=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Transmittance decreases exponentially with concentration; it is not inversely proportional to concentration.
The answers were checked against the official answers published by the organisers.
IChO 2003 · Theorieaufgabe 15
Aussagen zum Beer'schen Gesetz
Sind die folgenden Aussagen zum Beer'schen Gesetz richtig (Y) oder falsch (N)?
(a) Die Extinktion ist proportional zur Konzentration der absorbierenden Verbindung. (Y) (N)
(b) Die Extinktion steht in einem linearen Zusammenhang mit der Wellenlänge des einfallenden Lichts. (Y) (N)
(c) Der Logarithmus des Transmissionsgrades ist proportional zur Konzentration der absorbierenden Verbindung. (Y) (N)
(d) Der Transmissionsgrad ist umgekehrt proportional zum Logarithmus der Extinktion. (Y) (N)
(e) Der Transmissionsgrad ist umgekehrt proportional zur Konzentration der absorbierenden Verbindung. (Y) (N)
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
- (a) Y
- (b) N
- (c) Y
- (d) N
- (e) N
Lösung
Das Lambert-Beer'sche Gesetz lautet \[ A=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)=\varepsilon(\lambda)\ell c, \] wobei \(I_0\) und \(I\) die Intensitäten des einfallenden bzw. durchgelassenen Lichts sind, \(\varepsilon(\lambda)\) der molare Extinktionskoeffizient bei der Wellenlänge \(\lambda\), \(\ell\) die optische Weglänge und \(c\) die Konzentration ist.
Der Transmissionsgrad ist definiert als \(T=I/I_0\), sodass \[ A=-\log_{10}T, \qquad T=10^{-A}=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Sowohl \(A\) als auch \(T\) sind dimensionslos. Wird beispielsweise \(\ell\) in \(\mathrm{cm}\) und \(c\) in \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) angegeben, so hat \(\varepsilon\) die Einheit \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\).
(a) Richtig (Y). Bei fester Wellenlänge und optischer Weglänge gilt unter den Bedingungen, unter denen das Beer'sche Gesetz anwendbar ist, \[ A=\bigl[\varepsilon(\lambda)\ell\bigr]c. \] Somit ist die Extinktion proportional zur Konzentration.
(b) Falsch (N). Die Wellenlängenabhängigkeit der Extinktion ergibt sich aus \(\varepsilon(\lambda)\), das sich entsprechend dem Absorptionsspektrum ändert. Aus dem Beer'schen Gesetz folgt kein linearer Zusammenhang zwischen Extinktion und Wellenlänge.
(c) Richtig (Y). Durch Umstellen des Gesetzes erhält man \[ \log_{10}T=-\varepsilon(\lambda)\ell c. \] Somit ist der Logarithmus des Transmissionsgrades proportional zur Konzentration, wobei die Proportionalitätskonstante negativ ist. Die Wahl einer anderen Logarithmusbasis ändert lediglich diese Konstante.
(d) Falsch (N). Der tatsächliche Zusammenhang lautet \[ T=10^{-A}, \] und nicht \(T\propto 1/\log A\).
(e) Falsch (N). Bei fester Wellenlänge und optischer Weglänge gilt \[ T=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Der Transmissionsgrad nimmt mit zunehmender Konzentration exponentiell ab; er ist nicht umgekehrt proportional zur Konzentration.
Die Ergebnisse wurden mit den von den Veranstaltern veröffentlichten offiziellen Ergebnissen abgeglichen.
IChO 2003 · Teori sorusu 15
Beer yasası hakkındaki ifadeler
Beer yasasıyla ilgili aşağıdaki ifadeler doğru (Y) mu, yanlış (N) mı?
(a) Absorbans, ışığı soğuran bileşiğin derişimiyle doğru orantılıdır. (Y) (N)
(b) Absorbans, gelen ışığın dalga boyuyla doğrusal olarak ilişkilidir. (Y) (N)
(c) Geçirgenliğin logaritması, ışığı soğuran bileşiğin derişimiyle doğru orantılıdır. (Y) (N)
(d) Geçirgenlik, absorbansın logaritmasıyla ters orantılıdır. (Y) (N)
(e) Geçirgenlik, ışığı soğuran bileşiğin derişimiyle ters orantılıdır. (Y) (N)
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
- (a) Y
- (b) N
- (c) Y
- (d) N
- (e) N
Çözüm
Beer–Lambert yasası \[ A=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)=\varepsilon(\lambda)\ell c, \] şeklindedir; burada \(I_0\) ve \(I\) sırasıyla gelen ve geçen ışığın şiddetleri, \(\varepsilon(\lambda)\), \(\lambda\) dalga boyundaki molar soğurma katsayısı, \(\ell\) optik yol uzunluğu ve \(c\) derişimdir.
Geçirgenlik \(T=I/I_0\) olarak tanımlanır; dolayısıyla \[ A=-\log_{10}T, \qquad T=10^{-A}=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Hem \(A\) hem de \(T\) boyutsuzdur. Örneğin, \(\ell\) için \(\mathrm{cm}\) ve \(c\) için \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) birimleri kullanıldığında, \(\varepsilon\) birimi \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\) olur.
(a) Doğru (Y). Dalga boyu ve optik yol uzunluğu sabit tutulduğunda, Beer yasasının geçerli olduğu koşullarda, \[ A=\bigl[\varepsilon(\lambda)\ell\bigr]c. \] Dolayısıyla absorbans, derişimle doğru orantılıdır.
(b) Yanlış (N). Absorbansın dalga boyuna bağımlılığı, soğurma spektrumuna göre değişen \(\varepsilon(\lambda)\) üzerinden ortaya çıkar. Beer yasası, absorbans ile dalga boyu arasında doğrusal bir ilişki olduğu anlamına gelmez.
(c) Doğru (Y). Yasa yeniden düzenlendiğinde \[ \log_{10}T=-\varepsilon(\lambda)\ell c. \] elde edilir. Dolayısıyla geçirgenliğin logaritması, negatif bir orantı sabitiyle derişimle doğru orantılıdır. Başka bir logaritma tabanının seçilmesi yalnızca bu sabiti değiştirir.
(d) Yanlış (N). Gerçek ilişki \[ T=10^{-A}, \] şeklindedir; \(T\propto 1/\log A\) şeklinde değildir.
(e) Yanlış (N). Dalga boyu ve optik yol uzunluğu sabit tutulduğunda, \[ T=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Geçirgenlik, derişim arttıkça üstel olarak azalır; derişimle ters orantılı değildir.
Sonuçlar, düzenleyicilerin yayımladığı resmi sonuçlarla karşılaştırılarak kontrol edildi.
IChO 2003 · Problema teórico 15
Afirmaciones sobre la ley de Beer
En relación con la ley de Beer, ¿son correctas (Y) o no (N) las siguientes afirmaciones?
(a) La absorbancia es proporcional a la concentración del compuesto absorbente. (Y) (N)
(b) La absorbancia está relacionada linealmente con la longitud de onda de la luz incidente. (Y) (N)
(c) El logaritmo de la transmitancia es proporcional a la concentración del compuesto absorbente. (Y) (N)
(d) La transmitancia es inversamente proporcional al logaritmo de la absorbancia. (Y) (N)
(e) La transmitancia es inversamente proporcional a la concentración del compuesto absorbente. (Y) (N)
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
- (a) Y
- (b) N
- (c) Y
- (d) N
- (e) N
Solución
La ley de Beer–Lambert es \[ A=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)=\varepsilon(\lambda)\ell c, \] donde \(I_0\) e \(I\) son las intensidades de la luz incidente y transmitida, \(\varepsilon(\lambda)\) es el coeficiente de absorción molar a la longitud de onda \(\lambda\), \(\ell\) es la longitud del trayecto óptico y \(c\) es la concentración.
La transmitancia se define como \(T=I/I_0\), por lo que \[ A=-\log_{10}T, \qquad T=10^{-A}=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Tanto \(A\) como \(T\) son adimensionales. Por ejemplo, con \(\ell\) en \(\mathrm{cm}\) y \(c\) en \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\), \(\varepsilon\) tiene unidades de \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\).
(a) Correcta (Y). A una longitud de onda y una longitud del trayecto óptico fijas, dentro de las condiciones en las que se cumple la ley de Beer, \[ A=\bigl[\varepsilon(\lambda)\ell\bigr]c. \] Por tanto, la absorbancia es proporcional a la concentración.
(b) Incorrecta (N). La dependencia de la absorbancia respecto de la longitud de onda se debe a \(\varepsilon(\lambda)\), que varía según el espectro de absorción. La ley de Beer no implica una relación lineal entre la absorbancia y la longitud de onda.
(c) Correcta (Y). Al reordenar la ley se obtiene \[ \log_{10}T=-\varepsilon(\lambda)\ell c. \] Por tanto, el logaritmo de la transmitancia es proporcional a la concentración, con una constante de proporcionalidad negativa. Elegir otra base del logaritmo solo cambia esa constante.
(d) Incorrecta (N). La relación real es \[ T=10^{-A}, \] en lugar de \(T\propto 1/\log A\).
(e) Incorrecta (N). A una longitud de onda y una longitud del trayecto óptico fijas, \[ T=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] La transmitancia disminuye exponencialmente con la concentración; no es inversamente proporcional a la concentración.
Los resultados se comprobaron con los resultados oficiales publicados por los organizadores.
IChO 2003 · 理论题 15
关于比尔定律的陈述
关于比尔定律，下列陈述正确（Y）还是错误（N）？
(a) 吸光度与吸光化合物的浓度成正比。(Y) (N)
(b) 吸光度与入射光的波长呈线性关系。(Y) (N)
(c) 透射比的对数与吸光化合物的浓度成正比。(Y) (N)
(d) 透射比与吸光度的对数成反比。(Y) (N)
(e) 透射比与吸光化合物的浓度成反比。(Y) (N)
题目译自官方英文原文。
答案
- (a) Y
- (b) N
- (c) Y
- (d) N
- (e) N
解答
朗伯–比尔定律为 \[ A=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)=\varepsilon(\lambda)\ell c, \] 其中，\(I_0\) 和 \(I\) 分别为入射光强和透射光强，\(\varepsilon(\lambda)\) 为波长 \(\lambda\) 处的摩尔吸光系数，\(\ell\) 为光程长度，\(c\) 为浓度。
透射比定义为 \(T=I/I_0\)，因此 \[ A=-\log_{10}T, \qquad T=10^{-A}=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] \(A\) 和 \(T\) 均为无量纲量。例如，若 \(\ell\) 的单位为 \(\mathrm{cm}\)，\(c\) 的单位为 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)，则 \(\varepsilon\) 的单位为 \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\)。
(a) 正确（Y）。 在波长和光程长度固定时，在比尔定律适用的条件下， \[ A=\bigl[\varepsilon(\lambda)\ell\bigr]c. \] 因此，吸光度与浓度成正比。
(b) 错误（N）。 吸光度对波长的依赖性通过 \(\varepsilon(\lambda)\) 体现，其随波长的变化由吸收光谱决定。比尔定律并不意味着吸光度与波长之间存在线性关系。
(c) 正确（Y）。 将该定律的表达式变形可得 \[ \log_{10}T=-\varepsilon(\lambda)\ell c. \] 因此，透射比的对数与浓度成正比，且比例常数为负值。选用其他对数底数只会改变该常数。
(d) 错误（N）。 实际关系为 \[ T=10^{-A}, \] 而不是 \(T\propto 1/\log A\)。
(e) 错误（N）。 在波长和光程长度固定时， \[ T=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] 透射比随浓度的增加呈指数下降；它与浓度并不成反比。
结果已与主办方公布的官方答案核对。
IChO 2003 · Теоретическая задача 15
Утверждения о законе Бера
Верны ли следующие утверждения о законе Бера (Y — да, N — нет)?
(a) Оптическая плотность пропорциональна концентрации поглощающего соединения. (Y) (N)
(b) Оптическая плотность линейно зависит от длины волны падающего света. (Y) (N)
(c) Логарифм коэффициента пропускания пропорционален концентрации поглощающего соединения. (Y) (N)
(d) Коэффициент пропускания обратно пропорционален логарифму оптической плотности. (Y) (N)
(e) Коэффициент пропускания обратно пропорционален концентрации поглощающего соединения. (Y) (N)
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
- (a) Y
- (b) N
- (c) Y
- (d) N
- (e) N
Решение
Закон Бугера–Ламберта–Бера имеет вид \[ A=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)=\varepsilon(\lambda)\ell c, \] где \(I_0\) и \(I\) — интенсивности падающего и прошедшего света, \(\varepsilon(\lambda)\) — молярный коэффициент поглощения при длине волны \(\lambda\), \(\ell\) — длина оптического пути, а \(c\) — концентрация.
Коэффициент пропускания определяется как \(T=I/I_0\), поэтому \[ A=-\log_{10}T, \qquad T=10^{-A}=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Обе величины, \(A\) и \(T\), безразмерны. Например, если \(\ell\) выражена в \(\mathrm{cm}\), а \(c\) — в \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\), то \(\varepsilon\) имеет единицы измерения \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\).
(a) Верно (Y). При постоянных длине волны и длине оптического пути, в условиях применимости закона Бера, \[ A=\bigl[\varepsilon(\lambda)\ell\bigr]c. \] Таким образом, оптическая плотность пропорциональна концентрации.
(b) Неверно (N). Зависимость оптической плотности от длины волны определяется величиной \(\varepsilon(\lambda)\), которая изменяется в соответствии со спектром поглощения. Из закона Бера не следует линейная зависимость оптической плотности от длины волны.
(c) Верно (Y). Преобразуя выражение закона, получаем \[ \log_{10}T=-\varepsilon(\lambda)\ell c. \] Таким образом, логарифм коэффициента пропускания пропорционален концентрации с отрицательным коэффициентом пропорциональности. Выбор другого основания логарифма изменяет только этот коэффициент.
(d) Неверно (N). В действительности зависимость имеет вид \[ T=10^{-A}, \] а не \(T\propto 1/\log A\).
(e) Неверно (N). При постоянных длине волны и длине оптического пути \[ T=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] Коэффициент пропускания экспоненциально убывает с ростом концентрации; он не является обратно пропорциональным концентрации.
Ответы проверены по официальным ответам, опубликованным организаторами.
IChO 2003 · مسألة نظرية 15
عبارات حول قانون بير
فيما يتعلق بقانون بير، هل العبارات التالية صحيحة (Y) أم غير صحيحة (N)؟
(a) تتناسب الامتصاصية طرديًا مع تركيز المركب الماص. (Y) (N)
(b) ترتبط الامتصاصية بعلاقة خطية مع الطول الموجي للضوء الساقط. (Y) (N)
(c) يتناسب لوغاريتم النفاذية طرديًا مع تركيز المركب الماص. (Y) (N)
(d) تتناسب النفاذية عكسيًا مع لوغاريتم الامتصاصية. (Y) (N)
(e) تتناسب النفاذية عكسيًا مع تركيز المركب الماص. (Y) (N)
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
- (a) Y
- (b) N
- (c) Y
- (d) N
- (e) N
الحل
يُعطى قانون بير–لامبرت بالعلاقة \[ A=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)=\varepsilon(\lambda)\ell c, \] حيث يمثّل كل من \(I_0\) و\(I\) شدة الضوء الساقط وشدة الضوء النافذ، على الترتيب، و\(\varepsilon(\lambda)\) هو معامل الامتصاص المولي عند الطول الموجي \(\lambda\)، و\(\ell\) هو طول المسار الضوئي، و\(c\) هو التركيز.
تُعرَّف النفاذية بأنها \(T=I/I_0\)، ومن ثم \[ A=-\log_{10}T, \qquad T=10^{-A}=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] كلٌّ من \(A\) و\(T\) كمية بلا أبعاد. فعلى سبيل المثال، إذا كان \(\ell\) بوحدة \(\mathrm{cm}\) و\(c\) بوحدة \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)، فإن وحدة \(\varepsilon\) هي \(\mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}\).
(a) صحيحة (Y). عند ثبات الطول الموجي وطول المسار الضوئي، وفي ظل الشروط التي ينطبق فيها قانون بير، \[ A=\bigl[\varepsilon(\lambda)\ell\bigr]c. \] إذن، تتناسب الامتصاصية طرديًا مع التركيز.
(b) غير صحيحة (N). ينشأ اعتماد الامتصاصية على الطول الموجي من \(\varepsilon(\lambda)\)، الذي يتغير وفقًا لطيف الامتصاص. ولا يقتضي قانون بير وجود علاقة خطية بين الامتصاصية والطول الموجي.
(c) صحيحة (Y). بإعادة ترتيب القانون نحصل على \[ \log_{10}T=-\varepsilon(\lambda)\ell c. \] إذن، يتناسب لوغاريتم النفاذية طرديًا مع التركيز، بثابت تناسب سالب. ولا يؤدي اختيار أساس آخر للوغاريتم إلا إلى تغيير ذلك الثابت.
(d) غير صحيحة (N). العلاقة الفعلية هي \[ T=10^{-A}, \] وليست \(T\propto 1/\log A\).
(e) غير صحيحة (N). عند ثبات الطول الموجي وطول المسار الضوئي، \[ T=10^{-\varepsilon(\lambda)\ell c}. \] تتناقص النفاذية أُسِّيًا مع التركيز؛ فهي لا تتناسب عكسيًا مع التركيز.
تمت مراجعة النتائج بمقارنتها بالنتائج الرسمية التي نشرها المنظمون.