IChO 2003 · Theory problem 2
Exact hydrogen ion concentration of hydrochloric acid
Which one of the following equations must be used for the exact calculation of \([\ce{H+}]\) of an aqueous \(\ce{HCl}\) solution at any concentration \(c_{\ce{HCl}}\)? \((K_w = 1\times10^{-14})\).
(a) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}}\) ( )
(b) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w/[\ce{H+}]\) ( )
(c) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w\) ( )
(d) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} - K_w/[\ce{H+}]\) ( )
Official English text of the problem.
Answers
- 2: (b). Mark only the box beside \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}. \]
Solution
2. In the model assumed by the problem, hydrogen chloride Cl dissociates completely into hydrogen ions (protons) [H+] and chloride ions [Cl-]. Using the problem’s aqueous \(\ce{H+}\) notation,
\[
\ce{HCl -> H+ + Cl-},
\qquad
[\ce{Cl-}]=c_{\ce{HCl}}.
\]
Water O also undergoes autoionization, producing hydrogen ions and hydroxide ions [OH-]:
\[
\ce{H2O <=> H+ + OH-}.
\]
Thus,
\[
K_w=[\ce{H+}][\ce{OH-}],
\qquad
[\ce{OH-}]=\frac{K_w}{[\ce{H+}]}.
\]
Electrical neutrality requires the total positive and negative charge concentrations to be equal: \[ [\ce{H+}]=[\ce{Cl-}]+[\ce{OH-}]. \] Substitution gives \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}, \] which is option (b).
Equivalently, setting \(h=[\ce{H+}]\), \[ h^2-c_{\ce{HCl}}h-K_w=0. \] The physically admissible, positive root is \[ \boxed{ [\ce{H+}] =\frac{c_{\ce{HCl}}+\sqrt{c_{\ce{HCl}}^2+4K_w}}{2} }. \]
With concentrations expressed in \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\), the given concentration product is \(K_w=1\times10^{-14}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}\). As \(c_{\ce{HCl}}\to0\), this expression correctly approaches \[ [\ce{H+}]\to\sqrt{K_w} =1\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. \]
Option (a) neglects water’s contribution and is only an approximation when \(c_{\ce{HCl}}\gg\sqrt{K_w}\). Option (c) adds \(K_w\) instead of the hydroxide concentration; option (d) has the wrong sign in the charge balance. The stated exactness is within the problem’s complete-dissociation, concentration-based equilibrium model.
The answers were checked against the official answers published by the organisers.
IChO 2003 · Theorieaufgabe 2
Exakte Wasserstoffionenkonzentration von Salzsäure
Welche der folgenden Gleichungen muss zur exakten Berechnung von \([\ce{H+}]\) einer wässrigen \(\ce{HCl}\)-Lösung bei einer beliebigen Konzentration \(c_{\ce{HCl}}\) verwendet werden? \((K_w = 1\times10^{-14})\).
(a) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}}\) ( )
(b) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w/[\ce{H+}]\) ( )
(c) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w\) ( )
(d) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} - K_w/[\ce{H+}]\) ( )
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
- 2: (b). Kreuzen Sie nur das Kästchen neben der folgenden Gleichung an: \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}. \]
Lösung
2. In dem der Aufgabe zugrunde liegenden Modell dissoziiert Chlorwasserstoff Cl vollständig in Wasserstoffionen (Protonen) [H+] und Chloridionen [Cl-]. Mit der in der Aufgabe verwendeten Schreibweise \(\ce{H+}\) für wässrige Lösungen gilt:
\[
\ce{HCl -> H+ + Cl-},
\qquad
[\ce{Cl-}]=c_{\ce{HCl}}.
\]
Auch Wasser O unterliegt der Autoprotolyse, wobei Wasserstoffionen und Hydroxidionen [OH-] entstehen:
\[
\ce{H2O <=> H+ + OH-}.
\]
Somit gilt:
\[
K_w=[\ce{H+}][\ce{OH-}],
\qquad
[\ce{OH-}]=\frac{K_w}{[\ce{H+}]}.
\]
Die Elektroneutralität erfordert, dass die Gesamtkonzentrationen der positiven und negativen Ladungen gleich sind: \[ [\ce{H+}]=[\ce{Cl-}]+[\ce{OH-}]. \] Durch Einsetzen erhält man \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}, \] was Antwortmöglichkeit (b) entspricht.
Setzt man \(h=[\ce{H+}]\), ergibt sich äquivalent: \[ h^2-c_{\ce{HCl}}h-K_w=0. \] Die physikalisch zulässige, positive Wurzel ist \[ \boxed{ [\ce{H+}] =\frac{c_{\ce{HCl}}+\sqrt{c_{\ce{HCl}}^2+4K_w}}{2} }. \]
Werden die Konzentrationen in \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) angegeben, beträgt das gegebene Konzentrationsprodukt \(K_w=1\times10^{-14}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}\). Für \(c_{\ce{HCl}}\to0\) nähert sich dieser Ausdruck wie erwartet dem Grenzwert \[ [\ce{H+}]\to\sqrt{K_w} =1\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. \]
Antwortmöglichkeit (a) vernachlässigt den Beitrag des Wassers und ist nur für \(c_{\ce{HCl}}\gg\sqrt{K_w}\) eine Näherung. Antwortmöglichkeit (c) addiert \(K_w\) anstelle der Hydroxidionenkonzentration; Antwortmöglichkeit (d) hat das falsche Vorzeichen in der Ladungsbilanz. Die angegebene Exaktheit gilt innerhalb des konzentrationsbasierten Gleichgewichtsmodells der Aufgabe, das eine vollständige Dissoziation voraussetzt.
Die Ergebnisse wurden mit den von den Veranstaltern veröffentlichten offiziellen Ergebnissen abgeglichen.
IChO 2003 · Teori sorusu 2
Hidroklorik asidin kesin hidrojen iyonu derişimi
Herhangi bir \(c_{\ce{HCl}}\) derişimindeki sulu bir \(\ce{HCl}\) çözeltisinin \([\ce{H+}]\) değerinin kesin olarak hesaplanması için aşağıdaki denklemlerden hangisi kullanılmalıdır? \((K_w = 1\times10^{-14})\).
(a) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}}\) ( )
(b) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w/[\ce{H+}]\) ( )
(c) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w\) ( )
(d) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} - K_w/[\ce{H+}]\) ( )
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
- 2: (b). Yalnızca aşağıdaki denklemin yanındaki kutuyu işaretleyin: \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}. \]
Çözüm
2. Soruda varsayılan modelde, hidrojen klorür Cl tamamen hidrojen iyonlarına (protonlara) [H+] ve klorür iyonlarına [Cl-] ayrışır. Soruda sulu çözeltideki hidrojen iyonları için kullanılan \(\ce{H+}\) gösterimiyle,
\[
\ce{HCl -> H+ + Cl-},
\qquad
[\ce{Cl-}]=c_{\ce{HCl}}.
\]
Su O da otoiyonlaşmaya uğrayarak hidrojen iyonları ve hidroksit iyonları [OH-] oluşturur:
\[
\ce{H2O <=> H+ + OH-}.
\]
Dolayısıyla,
\[
K_w=[\ce{H+}][\ce{OH-}],
\qquad
[\ce{OH-}]=\frac{K_w}{[\ce{H+}]}.
\]
Elektriksel nötrlük, toplam pozitif ve negatif yük derişimlerinin eşit olmasını gerektirir: \[ [\ce{H+}]=[\ce{Cl-}]+[\ce{OH-}]. \] Yerine koyma işlemiyle \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}, \] elde edilir; bu da (b) seçeneğidir.
Eşdeğer olarak, \(h=[\ce{H+}]\) alınırsa, \[ h^2-c_{\ce{HCl}}h-K_w=0. \] Fiziksel olarak kabul edilebilir pozitif kök şudur: \[ \boxed{ [\ce{H+}] =\frac{c_{\ce{HCl}}+\sqrt{c_{\ce{HCl}}^2+4K_w}}{2} }. \]
Derişimler \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) cinsinden ifade edildiğinde, verilen derişim çarpımı \(K_w=1\times10^{-14}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}\) olur. \(c_{\ce{HCl}}\to0\) iken bu ifade, olması gerektiği gibi, aşağıdaki değere yaklaşır: \[ [\ce{H+}]\to\sqrt{K_w} =1\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. \]
(a) seçeneği suyun katkısını ihmal eder ve yalnızca \(c_{\ce{HCl}}\gg\sqrt{K_w}\) olduğunda bir yaklaşımdır. (c) seçeneği hidroksit derişimi yerine \(K_w\) ekler; (d) seçeneğinde ise yük dengesindeki işaret yanlıştır. Belirtilen kesinlik, sorunun tam ayrışma ve derişime dayalı denge modeli çerçevesinde geçerlidir.
Sonuçlar, düzenleyicilerin yayımladığı resmi sonuçlarla karşılaştırılarak kontrol edildi.
IChO 2003 · Problema teórico 2
Concentración exacta de iones hidrógeno en el ácido clorhídrico
¿Cuál de las siguientes ecuaciones debe utilizarse para calcular exactamente \([\ce{H+}]\) en una disolución acuosa de \(\ce{HCl}\) a cualquier concentración \(c_{\ce{HCl}}\)? \((K_w = 1\times10^{-14})\).
(a) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}}\) ( )
(b) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w/[\ce{H+}]\) ( )
(c) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w\) ( )
(d) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} - K_w/[\ce{H+}]\) ( )
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
- 2: (b). Marque únicamente la casilla junto a \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}. \]
Solución
2. En el modelo supuesto en el problema, el cloruro de hidrógeno Cl se disocia completamente en iones hidrógeno (protones) [H+] e iones cloruro [Cl-]. Utilizando la notación \(\ce{H+}\) del problema para los iones hidrógeno en disolución acuosa,
\[
\ce{HCl -> H+ + Cl-},
\qquad
[\ce{Cl-}]=c_{\ce{HCl}}.
\]
El agua O también experimenta autoionización y produce iones hidrógeno e iones hidróxido [OH-]:
\[
\ce{H2O <=> H+ + OH-}.
\]
Por tanto,
\[
K_w=[\ce{H+}][\ce{OH-}],
\qquad
[\ce{OH-}]=\frac{K_w}{[\ce{H+}]}.
\]
La electroneutralidad exige que las concentraciones totales de carga positiva y negativa sean iguales: \[ [\ce{H+}]=[\ce{Cl-}]+[\ce{OH-}]. \] Al sustituir se obtiene \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}, \] que corresponde a la opción (b).
De forma equivalente, definiendo \(h=[\ce{H+}]\), \[ h^2-c_{\ce{HCl}}h-K_w=0. \] La raíz positiva, físicamente admisible, es \[ \boxed{ [\ce{H+}] =\frac{c_{\ce{HCl}}+\sqrt{c_{\ce{HCl}}^2+4K_w}}{2} }. \]
Con las concentraciones expresadas en \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\), el producto de concentraciones dado es \(K_w=1\times10^{-14}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}\). Cuando \(c_{\ce{HCl}}\to0\), esta expresión tiende correctamente a \[ [\ce{H+}]\to\sqrt{K_w} =1\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. \]
La opción (a) desprecia la contribución del agua y solo es una aproximación cuando \(c_{\ce{HCl}}\gg\sqrt{K_w}\). La opción (c) suma \(K_w\) en lugar de la concentración de hidróxido; la opción (d) tiene el signo incorrecto en el balance de cargas. La exactitud indicada se circunscribe al modelo de equilibrio del problema, basado en concentraciones y en la disociación completa.
Los resultados se comprobaron con los resultados oficiales publicados por los organizadores.
IChO 2003 · 理论题 2
盐酸中氢离子的精确浓度
对于任意浓度 \(c_{\ce{HCl}}\) 的 \(\ce{HCl}\) 水溶液，要精确计算其 \([\ce{H+}]\)，必须使用下列哪一个方程？\((K_w = 1\times10^{-14})\)。
(a) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}}\) ( )
(b) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w/[\ce{H+}]\) ( )
(c) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w\) ( )
(d) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} - K_w/[\ce{H+}]\) ( )
题目译自官方英文原文。
答案
- 2: (b)。 仅在下式旁的方框中作标记 \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}. \]
解答
2. 在本题所假定的模型中，氯化氢 Cl 完全电离为氢离子（质子）[H+] 和氯离子 [Cl-]。沿用题目中表示水溶液中氢离子的 \(\ce{H+}\) 记号，
\[
\ce{HCl -> H+ + Cl-},
\qquad
[\ce{Cl-}]=c_{\ce{HCl}}.
\]
水 O 也会发生自电离，生成氢离子和氢氧根离子 [OH-]：
\[
\ce{H2O <=> H+ + OH-}.
\]
因此，
\[
K_w=[\ce{H+}][\ce{OH-}],
\qquad
[\ce{OH-}]=\frac{K_w}{[\ce{H+}]}.
\]
电中性要求正、负电荷的总浓度相等： \[ [\ce{H+}]=[\ce{Cl-}]+[\ce{OH-}]. \] 代入可得 \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}, \] 即为选项 (b)。
等价地，令 \(h=[\ce{H+}]\)， \[ h^2-c_{\ce{HCl}}h-K_w=0. \] 具有物理意义的正根为 \[ \boxed{ [\ce{H+}] =\frac{c_{\ce{HCl}}+\sqrt{c_{\ce{HCl}}^2+4K_w}}{2} }. \]
当浓度以 \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\) 为单位表示时，给定的浓度积为 \(K_w=1\times10^{-14}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}\)。当 \(c_{\ce{HCl}}\to0\) 时，该表达式正确地趋于 \[ [\ce{H+}]\to\sqrt{K_w} =1\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. \]
选项 (a) 忽略了水的贡献，仅在 \(c_{\ce{HCl}}\gg\sqrt{K_w}\) 时可作为近似。选项 (c) 所加的是 \(K_w\)，而非氢氧根离子的浓度；选项 (d) 的电荷平衡式中符号有误。这里所称的精确性，是在本题所采用的完全电离、以浓度表示平衡关系的模型范围内而言的。
结果已与主办方公布的官方答案核对。
IChO 2003 · Теоретическая задача 2
Точная концентрация ионов водорода в соляной кислоте
Какое из следующих уравнений необходимо использовать для точного расчёта \([\ce{H+}]\) в водном растворе \(\ce{HCl}\) при любой концентрации \(c_{\ce{HCl}}\)? \((K_w = 1\times10^{-14})\).
(a) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}}\) ( )
(b) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w/[\ce{H+}]\) ( )
(c) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w\) ( )
(d) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} - K_w/[\ce{H+}]\) ( )
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
- 2: (b). Отметьте только поле рядом с уравнением \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}. \]
Решение
2. В рамках модели, принятой в задаче, хлороводород Cl полностью диссоциирует на ионы водорода (протоны) [H+] и хлорид-ионы [Cl-]. Используя принятое в задаче обозначение \(\ce{H+}\) для ионов водорода в водном растворе, получаем
\[
\ce{HCl -> H+ + Cl-},
\qquad
[\ce{Cl-}]=c_{\ce{HCl}}.
\]
Вода O также подвергается автоионизации с образованием ионов водорода и гидроксид-ионов [OH-]:
\[
\ce{H2O <=> H+ + OH-}.
\]
Таким образом,
\[
K_w=[\ce{H+}][\ce{OH-}],
\qquad
[\ce{OH-}]=\frac{K_w}{[\ce{H+}]}.
\]
Условие электронейтральности требует равенства суммарных концентраций положительных и отрицательных зарядов: \[ [\ce{H+}]=[\ce{Cl-}]+[\ce{OH-}]. \] Подстановка даёт \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}, \] что соответствует варианту (b).
Эквивалентно, полагая \(h=[\ce{H+}]\), получаем \[ h^2-c_{\ce{HCl}}h-K_w=0. \] Физически допустимый положительный корень равен \[ \boxed{ [\ce{H+}] =\frac{c_{\ce{HCl}}+\sqrt{c_{\ce{HCl}}^2+4K_w}}{2} }. \]
Если концентрации выражены в \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\), заданное произведение концентраций равно \(K_w=1\times10^{-14}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}\). При \(c_{\ce{HCl}}\to0\) это выражение даёт правильное предельное значение: \[ [\ce{H+}]\to\sqrt{K_w} =1\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. \]
Вариант (a) пренебрегает вкладом воды и является лишь приближением при \(c_{\ce{HCl}}\gg\sqrt{K_w}\). В варианте (c) вместо концентрации гидроксид-ионов прибавляется \(K_w\); в варианте (d) указан неверный знак в уравнении баланса зарядов. Заявленная точность справедлива в рамках принятой в задаче модели равновесия, основанной на концентрациях и предполагающей полную диссоциацию.
Ответы проверены по официальным ответам, опубликованным организаторами.
IChO 2003 · مسألة نظرية 2
التركيز الدقيق لأيونات الهيدروجين في حمض الهيدروكلوريك
أيٌّ من المعادلات الآتية يجب استخدامها لحساب \([\ce{H+}]\) بدقة في محلول مائي من \(\ce{HCl}\) عند أي تركيز \(c_{\ce{HCl}}\)؟ \((K_w = 1\times10^{-14})\).
(a) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}}\) ( )
(b) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w/[\ce{H+}]\) ( )
(c) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} + K_w\) ( )
(d) \([\ce{H+}] = c_{\ce{HCl}} - K_w/[\ce{H+}]\) ( )
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
- 2: (b). ضع علامة في الخانة المجاورة للمعادلة الآتية فقط \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}. \]
الحل
2. في النموذج الذي تفترضه المسألة، يتفكك كلوريد الهيدروجين Cl تفككًا تامًّا إلى أيونات الهيدروجين (البروتونات) [H+] وأيونات الكلوريد [Cl-]. وباستخدام الرمز \(\ce{H+}\) الذي تعتمده المسألة لأيونات الهيدروجين في المحلول المائي،
\[
\ce{HCl -> H+ + Cl-},
\qquad
[\ce{Cl-}]=c_{\ce{HCl}}.
\]
يخضع الماء O أيضًا للتأين الذاتي، مولِّدًا أيونات الهيدروجين وأيونات الهيدروكسيد [OH-]:
\[
\ce{H2O <=> H+ + OH-}.
\]
وعليه،
\[
K_w=[\ce{H+}][\ce{OH-}],
\qquad
[\ce{OH-}]=\frac{K_w}{[\ce{H+}]}.
\]
يقتضي التعادل الكهربائي تساوي التركيز الكلي للشحنات الموجبة والتركيز الكلي للشحنات السالبة: \[ [\ce{H+}]=[\ce{Cl-}]+[\ce{OH-}]. \] بالتعويض نحصل على \[ \boxed{[\ce{H+}]=c_{\ce{HCl}}+\frac{K_w}{[\ce{H+}]}}, \] وهي المعادلة الواردة في الخيار (b).
وبصورة مكافئة، بوضع \(h=[\ce{H+}]\)، \[ h^2-c_{\ce{HCl}}h-K_w=0. \] يكون الجذر الموجب المقبول فيزيائيًّا هو \[ \boxed{ [\ce{H+}] =\frac{c_{\ce{HCl}}+\sqrt{c_{\ce{HCl}}^2+4K_w}}{2} }. \]
عند التعبير عن التراكيز بوحدة \(\mathrm{mol\,L^{-1}}\)، يكون حاصل ضرب التراكيز المعطى هو \(K_w=1\times10^{-14}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}\). وعندما \(c_{\ce{HCl}}\to0\)، يؤول هذا التعبير، على نحو صحيح، إلى \[ [\ce{H+}]\to\sqrt{K_w} =1\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. \]
يهمل الخيار (a) مساهمة الماء، ولا يمثّل إلا تقريبًا عندما \(c_{\ce{HCl}}\gg\sqrt{K_w}\). ويضيف الخيار (c) المقدار \(K_w\) بدلًا من تركيز الهيدروكسيد؛ أما الخيار (d) فيتضمن إشارة خاطئة في موازنة الشحنة. وتتحقق الدقة المذكورة ضمن نموذج الاتزان القائم على التراكيز والتفكك التام الذي تفترضه المسألة.
تمت مراجعة النتائج بمقارنتها بالنتائج الرسمية التي نشرها المنظمون.