IMO 2000 · Problem 2
\(A, B, C\) are positive reals with product 1. Prove that \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
Since \(ABC=1\), we can write \[ A=\frac{x}{y},\qquad B=\frac{y}{z},\qquad C=\frac{z}{x} \] for positive \(x,y,z\); for example, take \(x=A,\ y=1,\ z=1/B\). The required inequality becomes \[ (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\le xyz. \]
If one variable is at least the sum of the other two, say \(x\ge y+z\), then \[ y+z-x\le0,\qquad x+z-y>0,\qquad x+y-z>0. \] Thus the left-hand side is nonpositive, and the inequality holds. The other two cases follow by symmetry.
Otherwise, all three quantities \[ u=y+z-x,\qquad v=z+x-y,\qquad w=x+y-z \] are positive. We have \[ x=\frac{v+w}{2},\qquad y=\frac{w+u}{2},\qquad z=\frac{u+v}{2}. \] By the arithmetic–geometric mean inequality, \[ xyz =\frac{(v+w)(w+u)(u+v)}8 \ge \frac{(2\sqrt{vw})(2\sqrt{wu})(2\sqrt{uv})}{8} =uvw. \] This is precisely the desired inequality.
Equality holds exactly when \(u=v=w\), equivalently \(x=y=z\), hence exactly when \(A=B=C=1\).
The solution was checked against Evan Chen's published IMO solution notes.
IMO 2000 · Aufgabe 2
\(A, B, C\) sind positive reelle Zahlen mit dem Produkt 1. Man beweise, dass \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Wegen \(ABC=1\) können wir \[ A=\frac{x}{y},\qquad B=\frac{y}{z},\qquad C=\frac{z}{x} \] mit positiven \(x,y,z\) schreiben; beispielsweise wählen wir \(x=A,\ y=1,\ z=1/B\). Die zu beweisende Ungleichung wird damit zu \[ (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\le xyz. \]
Ist eine der Variablen mindestens so groß wie die Summe der beiden anderen, etwa \(x\ge y+z\), so gilt \[ y+z-x\le0,\qquad x+z-y>0,\qquad x+y-z>0. \] Somit ist die linke Seite nichtpositiv, und die Ungleichung gilt. Die beiden anderen Fälle folgen aus Symmetriegründen.
Andernfalls sind alle drei Größen \[ u=y+z-x,\qquad v=z+x-y,\qquad w=x+y-z \] positiv. Es gilt \[ x=\frac{v+w}{2},\qquad y=\frac{w+u}{2},\qquad z=\frac{u+v}{2}. \] Nach der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel gilt \[ xyz =\frac{(v+w)(w+u)(u+v)}8 \ge \frac{(2\sqrt{vw})(2\sqrt{wu})(2\sqrt{uv})}{8} =uvw. \] Dies ist genau die gewünschte Ungleichung.
Gleichheit gilt genau dann, wenn \(u=v=w\), äquivalent dazu \(x=y=z\), also genau dann, wenn \(A=B=C=1\).
Die Lösung wurde mit den veröffentlichten IMO-Lösungsnotizen von Evan Chen abgeglichen.
IMO 2000 · Soru 2
\(A, B, C\), çarpımları 1 olan pozitif gerçel sayılardır. \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1 \] eşitsizliğini kanıtlayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
\(ABC=1\) olduğundan, pozitif \(x,y,z\) için \[ A=\frac{x}{y},\qquad B=\frac{y}{z},\qquad C=\frac{z}{x} \] yazabiliriz; örneğin \(x=A,\ y=1,\ z=1/B\) alınabilir. Kanıtlanması gereken eşitsizlik \[ (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\le xyz \] biçimini alır.
Değişkenlerden biri diğer ikisinin toplamından küçük değilse, örneğin \(x\ge y+z\) ise, \[ y+z-x\le0,\qquad x+z-y>0,\qquad x+y-z>0 \] olur. Böylece sol taraf pozitif değildir ve eşitsizlik sağlanır. Diğer iki durum da simetriden elde edilir.
Aksi hâlde, \[ u=y+z-x,\qquad v=z+x-y,\qquad w=x+y-z \] niceliklerinin üçü de pozitiftir. \[ x=\frac{v+w}{2},\qquad y=\frac{w+u}{2},\qquad z=\frac{u+v}{2} \] eşitlikleri geçerlidir. Aritmetik ortalama–geometrik ortalama eşitsizliğine göre, \[ xyz =\frac{(v+w)(w+u)(u+v)}8 \ge \frac{(2\sqrt{vw})(2\sqrt{wu})(2\sqrt{uv})}{8} =uvw. \] Bu, tam olarak istenen eşitsizliktir.
Eşitlik ancak ve ancak \(u=v=w\), eş değer olarak \(x=y=z\), dolayısıyla ancak ve ancak \(A=B=C=1\) olduğunda sağlanır.
Çözüm, Evan Chen'in yayımlanmış IMO çözüm notlarıyla karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 2000 · Problema 2
\(A, B, C\) son números reales positivos cuyo producto es 1. Demostrar que \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Como \(ABC=1\), podemos escribir \[ A=\frac{x}{y},\qquad B=\frac{y}{z},\qquad C=\frac{z}{x} \] con \(x,y,z\) positivos; por ejemplo, tomemos \(x=A,\ y=1,\ z=1/B\). La desigualdad que debemos demostrar se convierte en \[ (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\le xyz. \]
Si una variable es mayor o igual que la suma de las otras dos, por ejemplo \(x\ge y+z\), entonces \[ y+z-x\le0,\qquad x+z-y>0,\qquad x+y-z>0. \] Por tanto, el miembro izquierdo es no positivo y se cumple la desigualdad. Los otros dos casos se deducen por simetría.
En caso contrario, las tres cantidades \[ u=y+z-x,\qquad v=z+x-y,\qquad w=x+y-z \] son positivas. Tenemos \[ x=\frac{v+w}{2},\qquad y=\frac{w+u}{2},\qquad z=\frac{u+v}{2}. \] Por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, \[ xyz =\frac{(v+w)(w+u)(u+v)}8 \ge \frac{(2\sqrt{vw})(2\sqrt{wu})(2\sqrt{uv})}{8} =uvw. \] Esta es precisamente la desigualdad deseada.
La igualdad se cumple exactamente cuando \(u=v=w\), lo que equivale a \(x=y=z\), y por tanto exactamente cuando \(A=B=C=1\).
La solución se comprobó con las notas de soluciones de la IMO publicadas por Evan Chen.
IMO 2000 · 问题 2
\(A, B, C\) 是乘积为 1 的正实数。证明： \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
由于 \(ABC=1\)，可将它们表示为 \[ A=\frac{x}{y},\qquad B=\frac{y}{z},\qquad C=\frac{z}{x} \] 其中 \(x,y,z\) 为正数；例如，可取 \(x=A,\ y=1,\ z=1/B\)。所需证明的不等式化为 \[ (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\le xyz. \]
若某个变量不小于另外两个变量之和，不妨设 \(x\ge y+z\)，则 \[ y+z-x\le0,\qquad x+z-y>0,\qquad x+y-z>0. \] 因此，左端非正，不等式成立。由对称性，其余两种情况同理可得。
否则，以下三个量 \[ u=y+z-x,\qquad v=z+x-y,\qquad w=x+y-z \] 均为正数。我们有 \[ x=\frac{v+w}{2},\qquad y=\frac{w+u}{2},\qquad z=\frac{u+v}{2}. \] 由算术—几何平均值不等式， \[ xyz =\frac{(v+w)(w+u)(u+v)}8 \ge \frac{(2\sqrt{vw})(2\sqrt{wu})(2\sqrt{uv})}{8} =uvw. \] 这正是所需证明的不等式。
等号成立当且仅当 \(u=v=w\)，等价地，\(x=y=z\)，因此恰好在 \(A=B=C=1\) 时等号成立。
解答已与 Evan Chen 发布的 IMO 解答笔记核对。
IMO 2000 · Задача 2
\(A, B, C\) — положительные действительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Поскольку \(ABC=1\), можно записать \[ A=\frac{x}{y},\qquad B=\frac{y}{z},\qquad C=\frac{z}{x} \] для положительных \(x,y,z\); например, можно взять \(x=A,\ y=1,\ z=1/B\). Требуемое неравенство принимает вид \[ (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\le xyz. \]
Если одна из переменных не меньше суммы двух других, например \(x\ge y+z\), то \[ y+z-x\le0,\qquad x+z-y>0,\qquad x+y-z>0. \] Следовательно, левая часть неположительна и неравенство выполнено. Два других случая разбираются аналогично в силу симметрии.
В противном случае все три величины \[ u=y+z-x,\qquad v=z+x-y,\qquad w=x+y-z \] положительны. Имеем \[ x=\frac{v+w}{2},\qquad y=\frac{w+u}{2},\qquad z=\frac{u+v}{2}. \] По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим \[ xyz =\frac{(v+w)(w+u)(u+v)}8 \ge \frac{(2\sqrt{vw})(2\sqrt{wu})(2\sqrt{uv})}{8} =uvw. \] Это и есть требуемое неравенство.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда \(u=v=w\), что равносильно \(x=y=z\), а значит, тогда и только тогда, когда \(A=B=C=1\).
Решение проверено по опубликованным заметкам Эвана Чена с решениями IMO.
IMO 2000 · المسألة 2
الأعداد \(A, B, C\) حقيقية موجبة حاصل ضربها 1. أثبت أن \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
بما أن \(ABC=1\)، يمكننا أن نكتب \[ A=\frac{x}{y},\qquad B=\frac{y}{z},\qquad C=\frac{z}{x} \] حيث \(x,y,z\) موجبة؛ فمثلًا، نأخذ \(x=A,\ y=1,\ z=1/B\). تصبح المتباينة المطلوبة \[ (x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)\le xyz. \]
إذا كان أحد المتغيرات لا يقل عن مجموع المتغيرين الآخرين، ولنفترض أن \(x\ge y+z\)، فإن \[ y+z-x\le0,\qquad x+z-y>0,\qquad x+y-z>0. \] إذن الطرف الأيسر غير موجب، وتتحقق المتباينة. وتنتج الحالتان الأخريان بالتماثل.
وفي غير ذلك، تكون المقادير الثلاثة \[ u=y+z-x,\qquad v=z+x-y,\qquad w=x+y-z \] كلها موجبة. ولدينا \[ x=\frac{v+w}{2},\qquad y=\frac{w+u}{2},\qquad z=\frac{u+v}{2}. \] بمتباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي، \[ xyz =\frac{(v+w)(w+u)(u+v)}8 \ge \frac{(2\sqrt{vw})(2\sqrt{wu})(2\sqrt{uv})}{8} =uvw. \] وهذه هي المتباينة المطلوبة بالضبط.
تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان \(u=v=w\)، وهو ما يكافئ \(x=y=z\)، أي إذا وفقط إذا كان \(A=B=C=1\).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بملاحظات حلول IMO المنشورة لإيفان تشين.