IMO 2000
6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)
Problem 1
\(AB\) is tangent to the circles \(CAMN\) and \(NMBD\). \(M\) lies between \(C\) and \(D\) on the line \(CD\), and \(CD\) is parallel to \(AB\). The chords \(NA\) and \(CM\) meet at \(P\); the chords \(NB\) and \(MD\) meet at \(Q\). The rays \(CA\) and \(DB\) meet at \(E\). Prove that \(PE = QE\).
Problem 2
\(A, B, C\) are positive reals with product 1. Prove that \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Problem 3
\(k\) is a positive real. \(N\) is an integer greater than 1. \(N\) points are placed on a line, not all coincident. A move is carried out as follows. Pick any two points \(A\) and \(B\) which are not coincident. Suppose that \(A\) lies to the right of \(B\). Replace \(B\) by another point \(B'\) to the right of \(A\) such that \(AB' = kBA\). For what values of \(k\) can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves?
Problem 4
100 cards are numbered 1 to 100 (each card different) and placed in 3 boxes (at least one card in each box). How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each, then the knowledge of their sum alone is always sufficient to identify the third box?
Problem 5
Can we find \(N\) divisible by just 2000 different primes, so that \(N\) divides \(2^N+1\)? [\(N\) may be divisible by a prime power.]
Problem 6
\(A_1A_2A_3\) is an acute-angled triangle. The foot of the altitude from \(A_i\) is \(K_i\) and the incircle touches the side opposite \(A_i\) at \(L_i\). The line \(K_1K_2\) is reflected in the line \(L_1L_2\). Similarly, the line \(K_2K_3\) is reflected in \(L_2L_3\) and \(K_3K_1\) is reflected in \(L_3L_1\). Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle.
IMO 2000
6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Aufgabe 1
\(AB\) ist Tangente an die Kreise \(CAMN\) und \(NMBD\). \(M\) liegt auf der Geraden \(CD\) zwischen \(C\) und \(D\), und \(CD\) ist parallel zu \(AB\). Die Sehnen \(NA\) und \(CM\) schneiden sich in \(P\); die Sehnen \(NB\) und \(MD\) schneiden sich in \(Q\). Die Strahlen \(CA\) und \(DB\) schneiden sich in \(E\). Man beweise, dass \(PE = QE\).
Aufgabe 2
\(A, B, C\) sind positive reelle Zahlen mit dem Produkt 1. Man beweise, dass \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Aufgabe 3
\(k\) ist eine positive reelle Zahl. \(N\) ist eine ganze Zahl größer als 1. Auf einer Geraden liegen \(N\) Punkte, die nicht alle zusammenfallen. Ein Zug wird folgendermaßen ausgeführt. Man wählt zwei beliebige Punkte \(A\) und \(B\), die nicht zusammenfallen. Dabei liege \(A\) rechts von \(B\). Man ersetzt \(B\) durch einen anderen Punkt \(B'\) rechts von \(A\), sodass \(AB' = kBA\). Für welche Werte von \(k\) können wir die Punkte durch wiederholte Züge beliebig weit nach rechts bewegen?
Aufgabe 4
100 Karten sind mit den Zahlen 1 bis 100 nummeriert (jede Karte trägt eine andere Zahl) und werden auf 3 Schachteln verteilt (mindestens eine Karte in jeder Schachtel). Auf wie viele Arten ist dies so möglich, dass bei der Auswahl zweier Schachteln und der Entnahme je einer Karte daraus die Kenntnis ihrer Summe allein stets ausreicht, um die dritte Schachtel zu bestimmen?
Aufgabe 5
Gibt es eine Zahl \(N\), die durch genau 2000 verschiedene Primzahlen teilbar ist, sodass \(N\) die Zahl \(2^N+1\) teilt? [\(N\) darf durch eine Primzahlpotenz teilbar sein.]
Aufgabe 6
\(A_1A_2A_3\) ist ein spitzwinkliges Dreieck. Der Fußpunkt der Höhe von \(A_i\) ist \(K_i\), und der Inkreis berührt die \(A_i\) gegenüberliegende Seite in \(L_i\). Die Gerade \(K_1K_2\) wird an der Geraden \(L_1L_2\) gespiegelt. Ebenso wird die Gerade \(K_2K_3\) an \(L_2L_3\) und \(K_3K_1\) an \(L_3L_1\) gespiegelt. Man zeige, dass die drei neuen Geraden ein Dreieck bilden, dessen Eckpunkte auf dem Inkreis liegen.
IMO 2000
6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)
Soru 1
\(AB\) doğrusu, \(CAMN\) ve \(NMBD\) çemberlerine teğettir. \(M\), \(CD\) doğrusu üzerinde \(C\) ile \(D\) arasında yer almaktadır ve \(CD\), \(AB\)'ye paraleldir. \(NA\) ve \(CM\) kirişleri \(P\)'de; \(NB\) ve \(MD\) kirişleri \(Q\)'da kesişmektedir. \(CA\) ve \(DB\) ışınları \(E\)'de kesişmektedir. \(PE = QE\) olduğunu kanıtlayınız.
Soru 2
\(A, B, C\), çarpımları 1 olan pozitif gerçel sayılardır. \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1 \] eşitsizliğini kanıtlayınız.
Soru 3
\(k\) pozitif bir gerçel sayıdır. \(N\), 1'den büyük bir tam sayıdır. Bir doğru üzerine, hepsi birden çakışmayan \(N\) nokta yerleştirilmiştir. Bir hamle şu şekilde yapılır. Çakışmayan herhangi iki \(A\) ve \(B\) noktası seçilir. \(A\)'nın \(B\)'nin sağında bulunduğunu varsayalım. \(B\) yerine, \(A\)'nın sağında ve \(AB' = kBA\) koşulunu sağlayan başka bir \(B'\) noktası konur. \(k\)'nın hangi değerleri için, hamleleri tekrarlayarak noktaları sağa doğru istenildiği kadar uzağa taşıyabiliriz?
Soru 4
100 kart, 1'den 100'e kadar numaralandırılmıştır (her kart farklıdır) ve 3 kutuya yerleştirilecektir (her kutuda en az bir kart bulunacaktır). İki kutu seçilip her birinden bir kart alındığında, yalnızca bu kartların numaralarının toplamını bilmek üçüncü kutuyu belirlemek için her zaman yeterli olacak şekilde bu işlem kaç farklı yolla yapılabilir?
Soru 5
Tam olarak 2000 farklı asal sayıya bölünen ve \(2^N+1\)'i bölen bir \(N\) bulabilir miyiz? [\(N\), bir asal sayının kuvvetine bölünebilir.]
Soru 6
\(A_1A_2A_3\) dar açılı bir üçgendir. \(A_i\)'den indirilen yüksekliğin ayağı \(K_i\)'dir ve iç teğet çemberi, \(A_i\)'nin karşısındaki kenara \(L_i\)'de teğettir. \(K_1K_2\) doğrusu \(L_1L_2\) doğrusuna göre yansıtılıyor. Benzer şekilde, \(K_2K_3\) doğrusu \(L_2L_3\)'e ve \(K_3K_1\) doğrusu \(L_3L_1\)'e göre yansıtılıyor. Elde edilen üç doğrunun, köşeleri iç teğet çemberi üzerinde bulunan bir üçgen oluşturduğunu gösteriniz.
IMO 2000
6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)
Problema 1
\(AB\) es tangente a las circunferencias \(CAMN\) y \(NMBD\). \(M\) está entre \(C\) y \(D\) en la recta \(CD\), y \(CD\) es paralela a \(AB\). Las cuerdas \(NA\) y \(CM\) se cortan en \(P\); las cuerdas \(NB\) y \(MD\) se cortan en \(Q\). Las semirrectas \(CA\) y \(DB\) se cortan en \(E\). Demostrar que \(PE = QE\).
Problema 2
\(A, B, C\) son números reales positivos cuyo producto es 1. Demostrar que \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Problema 3
\(k\) es un número real positivo. \(N\) es un entero mayor que 1. Se sitúan \(N\) puntos en una recta, no todos coincidentes. Un movimiento se realiza de la siguiente manera. Se eligen dos puntos cualesquiera \(A\) y \(B\) que no coincidan. Supongamos que \(A\) está a la derecha de \(B\). Se sustituye \(B\) por otro punto \(B'\) a la derecha de \(A\) tal que \(AB' = kBA\). ¿Para qué valores de \(k\) podemos desplazar los puntos arbitrariamente lejos hacia la derecha mediante movimientos sucesivos?
Problema 4
Se numeran 100 tarjetas del 1 al 100 (todas distintas) y se colocan en 3 cajas (con al menos una tarjeta en cada caja). ¿De cuántas maneras puede hacerse esto de modo que, si se eligen dos cajas y se toma una tarjeta de cada una, el conocimiento de su suma baste siempre para identificar la tercera caja?
Problema 5
¿Podemos encontrar un \(N\) divisible por exactamente 2000 primos distintos, de modo que \(N\) divida a \(2^N+1\)? [\(N\) puede ser divisible por una potencia de un primo.]
Problema 6
\(A_1A_2A_3\) es un triángulo acutángulo. El pie de la altura trazada desde \(A_i\) es \(K_i\) y la circunferencia inscrita toca el lado opuesto a \(A_i\) en \(L_i\). La recta \(K_1K_2\) se refleja respecto de la recta \(L_1L_2\). Análogamente, la recta \(K_2K_3\) se refleja respecto de \(L_2L_3\) y \(K_3K_1\) se refleja respecto de \(L_3L_1\). Demostrar que las tres nuevas rectas forman un triángulo cuyos vértices están en la circunferencia inscrita.
IMO 2000
6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)
问题 1
\(AB\) 与圆 \(CAMN\) 和圆 \(NMBD\) 相切。\(M\) 在线段 \(CD\) 上，位于 \(C\) 与 \(D\) 之间，且 \(CD\) 平行于 \(AB\)。弦 \(NA\) 与弦 \(CM\) 交于 \(P\)；弦 \(NB\) 与弦 \(MD\) 交于 \(Q\)。射线 \(CA\) 与射线 \(DB\) 交于 \(E\)。证明：\(PE = QE\)。
问题 2
\(A, B, C\) 是乘积为 1 的正实数。证明： \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
问题 3
\(k\) 是一个正实数。\(N\) 是大于 1 的整数。在一条直线上放置 \(N\) 个点，它们不全重合。一次移动按如下方式进行：任取两个不重合的点 \(A\) 和 \(B\)。假设 \(A\) 位于 \(B\) 的右侧。将 \(B\) 替换为位于 \(A\) 右侧的另一个点 \(B'\)，使得 \(AB' = kBA\)。对于哪些 \(k\) 值，我们可以通过反复移动，将这些点向右移至任意远处？
问题 4
将 100 张分别编号为 1 到 100 的卡片（每张卡片各不相同）放入 3 个盒子中（每个盒子中至少有一张卡片）。有多少种放法满足下述条件：任意选取两个盒子，并从每个盒子中各取一张卡片，仅知道这两张卡片上的数之和，就总能确定第三个盒子？
问题 5
能否找到一个恰有 2000 个不同素因子的 \(N\)，使得 \(N\) 整除 \(2^N+1\)？[\(N\) 可以被某个素数的幂整除。]
问题 6
\(A_1A_2A_3\) 是一个锐角三角形。从 \(A_i\) 引出的高的垂足为 \(K_i\)，内切圆与 \(A_i\) 的对边相切于 \(L_i\)。将直线 \(K_1K_2\) 关于直线 \(L_1L_2\) 作轴对称。同样地，将直线 \(K_2K_3\) 关于 \(L_2L_3\) 作轴对称，将直线 \(K_3K_1\) 关于 \(L_3L_1\) 作轴对称。证明：所得的三条新直线构成一个三角形，其顶点均在内切圆上。
IMO 2000
6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)
Задача 1
Прямая \(AB\) касается окружностей \(CAMN\) и \(NMBD\). Точка \(M\) лежит между \(C\) и \(D\) на прямой \(CD\), причём \(CD\) параллельна \(AB\). Хорды \(NA\) и \(CM\) пересекаются в точке \(P\); хорды \(NB\) и \(MD\) пересекаются в точке \(Q\). Лучи \(CA\) и \(DB\) пересекаются в точке \(E\). Докажите, что \(PE = QE\).
Задача 2
\(A, B, C\) — положительные действительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
Задача 3
\(k\) — положительное действительное число. \(N\) — целое число, большее 1. На прямой расположены \(N\) точек, не все из которых совпадают. Ход выполняется следующим образом. Выбираются любые две несовпадающие точки \(A\) и \(B\). Пусть \(A\) лежит правее \(B\). Точка \(B\) заменяется другой точкой \(B'\), лежащей правее \(A\), так, что \(AB' = kBA\). При каких значениях \(k\) можно, повторяя такие ходы, переместить точки сколь угодно далеко вправо?
Задача 4
100 карточек пронумерованы числами от 1 до 100 (все карточки различны) и разложены по 3 коробкам (в каждой коробке есть хотя бы одна карточка). Сколькими способами можно это сделать так, чтобы при выборе двух коробок и извлечении по одной карточке из каждой знание только суммы их номеров всегда позволяло определить третью коробку?
Задача 5
Можно ли найти число \(N\), имеющее ровно 2000 различных простых делителей, такое, что \(N\) делит \(2^N+1\)? [\(N\) может делиться на степень простого числа.]
Задача 6
\(A_1A_2A_3\) — остроугольный треугольник. Основание высоты, проведённой из \(A_i\), обозначено через \(K_i\), а вписанная окружность касается стороны, противоположной \(A_i\), в точке \(L_i\). Прямую \(K_1K_2\) отражают относительно прямой \(L_1L_2\). Аналогично прямую \(K_2K_3\) отражают относительно \(L_2L_3\), а \(K_3K_1\) — относительно \(L_3L_1\). Докажите, что три полученные прямые образуют треугольник, вершины которого лежат на вписанной окружности.
IMO 2000
6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)
المسألة 1
المستقيم \(AB\) مماس للدائرتين \(CAMN\) و\(NMBD\). تقع \(M\) بين \(C\) و\(D\) على المستقيم \(CD\)، والمستقيم \(CD\) موازٍ للمستقيم \(AB\). يتقاطع الوتران \(NA\) و\(CM\) عند \(P\)؛ ويتقاطع الوتران \(NB\) و\(MD\) عند \(Q\). يتقاطع الشعاعان \(CA\) و\(DB\) عند \(E\). أثبت أن \(PE = QE\).
المسألة 2
الأعداد \(A, B, C\) حقيقية موجبة حاصل ضربها 1. أثبت أن \[ \left(A-1+\frac1B\right)\left(B-1+\frac1C\right)\left(C-1+\frac1A\right)\le 1. \]
المسألة 3
العدد \(k\) حقيقي موجب. والعدد \(N\) صحيح أكبر من 1. وُضعت \(N\) نقطة على مستقيم، وليست كلها منطبقة. تُجرى نقلة على النحو الآتي. نختار أي نقطتين \(A\) و\(B\) غير منطبقتين. لنفترض أن \(A\) تقع إلى يمين \(B\). نستبدل بالنقطة \(B\) نقطة أخرى \(B'\) تقع إلى يمين \(A\) بحيث \(AB' = kBA\). ما قيم \(k\) التي يمكن عندها نقل النقاط إلى اليمين إلى أبعد من أي حد نختاره، بتكرار النقلات؟
المسألة 4
رُقّمت 100 بطاقة بالأعداد من 1 إلى 100 (برقم مختلف لكل بطاقة)، ووُضعت في 3 صناديق (في كل صندوق بطاقة واحدة على الأقل). بكم طريقة يمكن فعل ذلك بحيث إذا اختير صندوقان وأُخذت بطاقة من كل منهما، كانت معرفة مجموع رقميهما وحده كافية دائمًا لتحديد الصندوق الثالث؟
المسألة 5
هل يمكن إيجاد عدد \(N\) يقبل القسمة على 2000 عدد أولي مختلف بالضبط، بحيث يقسم \(N\) العدد \(2^N+1\)؟ [يجوز أن يقبل \(N\) القسمة على قوة لعدد أولي.]
المسألة 6
المثلث \(A_1A_2A_3\) حاد الزوايا. قدم الارتفاع النازل من \(A_i\) هي \(K_i\)، وتمس الدائرة الداخلية الضلع المقابل للرأس \(A_i\) عند \(L_i\). يُعكس المستقيم \(K_1K_2\) حول المستقيم \(L_1L_2\). وبالمثل، يُعكس المستقيم \(K_2K_3\) حول \(L_2L_3\)، والمستقيم \(K_3K_1\) حول \(L_3L_1\). أثبت أن المستقيمات الثلاثة الجديدة تشكّل مثلثًا تقع رؤوسه على الدائرة الداخلية.