IChO 1973 · Theory problem 2
Combustion of a gaseous hydrocarbon in a closed vessel
A mixture of a gaseous hydrocarbon and oxygen is in a vessel of a volume of 1 dm³ at a temperature of 406.5 K and a pressure of 101 325 Pa. There is twice as much oxygen in the mixture as is needed for the reaction with the hydrocarbon. After combustion of the hydrocarbon the pressure in the vessel (at the same temperature) is increased by 5 %.
Problem:
2.1 What hydrocarbon was in the mixture when the mass of water formed by the combustion was 0.162 g.
Official English text of the problem.
Answers
- 2.1 The molecular formula is \(\ce{C3H6}\). The hydrocarbon can be propene
C=CCor cyclopropaneC1CC1; the given data cannot distinguish these two isomers.
Solution
2.1
Let the hydrocarbon be \(\ce{C_xH_y}\), with \(a\) moles initially present. Its complete combustion consumes oxygen O=O and produces carbon dioxide O=C=O and water O:
\[ \ce{C_xH_y + (x + y/4) O2 -> x CO2 + (y/2) H2O}. \]
At \(406.5\ \mathrm{K}\) and the stated pressures, the water formed remains gaseous. Treating the gases as ideal, pressure is proportional to total gas amount at fixed temperature and volume.
The initial total amount is
\[ n_i=\frac{pV}{RT} =\frac{(101325\ \mathrm{Pa})(1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{Pa\,m^3\,mol^{-1}\,K^{-1}})(406.5\ \mathrm{K})} \approx 3.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}. \]
The amount of water formed is
\[ n_{\mathrm{water}} =\frac{0.162\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} =9.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol} =\frac{ay}{2}. \]
Because the initial oxygen amount is twice the amount required for combustion,
\[ n_{\mathrm{oxygen},i}=2a\left(x+\frac y4\right). \]
Thus,
\[ n_i=a+2a\left(x+\frac y4\right) =a\left(1+2x+\frac y2\right). \]
After combustion, half the initial oxygen remains. Adding this excess oxygen to the carbon dioxide and water gives
\[ n_f=ax+\frac{ay}{2}+a\left(x+\frac y4\right) =a\left(2x+\frac{3y}{4}\right). \]
Consequently,
\[ n_f-n_i=a\left(\frac y4-1\right) =\frac{n_{\mathrm{water}}}{2}-a. \]
The pressure increase of \(5\%\) gives
\[ n_f-n_i=0.05n_i \approx1.50\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Therefore, the initial hydrocarbon amount was
\[ a=\frac{9.00\times10^{-3}}{2}-1.50\times10^{-3} =3.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
The hydrogen subscript follows from the water yield:
\[ y=\frac{2n_{\mathrm{water}}}{a} =\frac{2(9.00\times10^{-3})}{3.00\times10^{-3}} =6. \]
Using the initial total amount,
\[ 1+2x+\frac y2=\frac{n_i}{a}\approx10, \]
so
\[ 1+2x+3=10 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]
Hence the molecular formula is \(\boxed{\ce{C3H6}}\), and its balanced combustion equation is
\[ \boxed{\ce{2C3H6 + 9O2 -> 6CO2 + 6H2O}}. \]
As a check, per mole of hydrocarbon the initial mixture contains \(1+9=10\) moles of gas. After combustion it contains \(3+3+4.5=10.5\) moles, giving exactly the stated \(5\%\) pressure increase.
Both propene C=CC and cyclopropane C1CC1 have this formula and satisfy the conditions.
The solution was checked against the official solution.
IChO 1973 · Theorieaufgabe 2
Verbrennung eines gasförmigen Kohlenwasserstoffs in einem geschlossenen Gefäß
Ein Gemisch aus einem gasförmigen Kohlenwasserstoff und Sauerstoff befindet sich in einem Gefäß mit einem Volumen von 1 dm³ bei einer Temperatur von 406.5 K und einem Druck von 101 325 Pa. Das Gemisch enthält doppelt so viel Sauerstoff, wie für die Reaktion mit dem Kohlenwasserstoff benötigt wird. Nach der Verbrennung des Kohlenwasserstoffs ist der Druck im Gefäß (bei gleicher Temperatur) um 5 % gestiegen.
Aufgabe:
2.1 Welcher Kohlenwasserstoff befand sich im Gemisch, wenn die Masse des bei der Verbrennung gebildeten Wassers 0.162 g betrug?
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
- 2.1 Die Summenformel lautet \(\ce{C3H6}\). Bei dem Kohlenwasserstoff kann es sich um Propen
C=CCoder CyclopropanC1CC1handeln; anhand der gegebenen Daten lassen sich diese beiden Isomere nicht unterscheiden.
Lösung
2.1
Der Kohlenwasserstoff sei \(\ce{C_xH_y}\), und anfangs seien \(a\) Mol davon vorhanden. Bei seiner vollständigen Verbrennung wird Sauerstoff O=O verbraucht, und es entstehen Kohlenstoffdioxid O=C=O und Wasser O:
\[ \ce{C_xH_y + (x + y/4) O2 -> x CO2 + (y/2) H2O}. \]
Bei \(406.5\ \mathrm{K}\) und den angegebenen Drücken bleibt das gebildete Wasser gasförmig. Werden die Gase als ideal betrachtet, ist der Druck bei konstanter Temperatur und konstantem Volumen proportional zur gesamten Stoffmenge der Gase.
Die anfängliche Gesamtstoffmenge beträgt
\[ n_i=\frac{pV}{RT} =\frac{(101325\ \mathrm{Pa})(1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{Pa\,m^3\,mol^{-1}\,K^{-1}})(406.5\ \mathrm{K})} \approx 3.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}. \]
Die Stoffmenge des gebildeten Wassers beträgt
\[ n_{\mathrm{water}} =\frac{0.162\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} =9.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol} =\frac{ay}{2}. \]
Da die anfängliche Sauerstoffstoffmenge doppelt so groß ist wie die für die Verbrennung benötigte Stoffmenge, gilt
\[ n_{\mathrm{oxygen},i}=2a\left(x+\frac y4\right). \]
Somit gilt
\[ n_i=a+2a\left(x+\frac y4\right) =a\left(1+2x+\frac y2\right). \]
Nach der Verbrennung bleibt die Hälfte des anfänglich vorhandenen Sauerstoffs übrig. Addiert man die Stoffmenge dieses überschüssigen Sauerstoffs zu den Stoffmengen von Kohlenstoffdioxid und Wasser, ergibt sich
\[ n_f=ax+\frac{ay}{2}+a\left(x+\frac y4\right) =a\left(2x+\frac{3y}{4}\right). \]
Folglich gilt
\[ n_f-n_i=a\left(\frac y4-1\right) =\frac{n_{\mathrm{water}}}{2}-a. \]
Aus dem Druckanstieg um \(5\%\) folgt
\[ n_f-n_i=0.05n_i \approx1.50\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Die anfängliche Stoffmenge des Kohlenwasserstoffs betrug daher
\[ a=\frac{9.00\times10^{-3}}{2}-1.50\times10^{-3} =3.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Der Wasserstoffindex ergibt sich aus der gebildeten Wassermenge:
\[ y=\frac{2n_{\mathrm{water}}}{a} =\frac{2(9.00\times10^{-3})}{3.00\times10^{-3}} =6. \]
Mit der anfänglichen Gesamtstoffmenge erhält man
\[ 1+2x+\frac y2=\frac{n_i}{a}\approx10, \]
also
\[ 1+2x+3=10 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]
Die Summenformel lautet somit \(\boxed{\ce{C3H6}}\), und die ausgeglichene Verbrennungsgleichung lautet
\[ \boxed{\ce{2C3H6 + 9O2 -> 6CO2 + 6H2O}}. \]
Zur Kontrolle: Pro Mol Kohlenwasserstoff enthält das anfängliche Gemisch \(1+9=10\) Mol Gas. Nach der Verbrennung enthält es \(3+3+4.5=10.5\) Mol, was genau den angegebenen Druckanstieg um \(5\%\) ergibt.
Sowohl Propen C=CC als auch Cyclopropan C1CC1 besitzen diese Summenformel und erfüllen die Bedingungen.
Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.
IChO 1973 · Teori sorusu 2
Gaz hâlindeki bir hidrokarbonun kapalı bir kapta yanması
Gaz hâlindeki bir hidrokarbon ile oksijen karışımı, 406.5 K sıcaklıkta ve 101 325 Pa basınçta, hacmi 1 dm³ olan bir kapta bulunmaktadır. Karışımdaki oksijen miktarı, hidrokarbonla tepkimeye girmesi için gereken miktarın iki katıdır. Hidrokarbonun yanmasından sonra kaptaki basınç (aynı sıcaklıkta) %5 artmaktadır.
Soru:
2.1 Yanma sonucu oluşan suyun kütlesi 0.162 g olduğuna göre karışımda hangi hidrokarbon bulunuyordu?
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
- 2.1 Molekül formülü \(\ce{C3H6}\) şeklindedir. Hidrokarbon, propen
C=CCveya siklopropanC1CC1olabilir; verilen bilgiler bu iki izomeri ayırt etmeye yeterli değildir.
Çözüm
2.1
Hidrokarbonun formülü \(\ce{C_xH_y}\), başlangıçtaki miktarı ise \(a\) mol olsun. Tam yanması sırasında oksijen O=O tüketilir, karbondioksit O=C=O ve su O oluşur:
\[ \ce{C_xH_y + (x + y/4) O2 -> x CO2 + (y/2) H2O}. \]
\(406.5\ \mathrm{K}\) sıcaklıkta ve belirtilen basınçlarda oluşan su gaz hâlinde kalır. Gazlar ideal kabul edildiğinde, sabit sıcaklık ve hacimde basınç toplam gaz miktarıyla orantılıdır.
Başlangıçtaki toplam madde miktarı
\[ n_i=\frac{pV}{RT} =\frac{(101325\ \mathrm{Pa})(1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{Pa\,m^3\,mol^{-1}\,K^{-1}})(406.5\ \mathrm{K})} \approx 3.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}. \]
Oluşan suyun madde miktarı
\[ n_{\mathrm{water}} =\frac{0.162\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} =9.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol} =\frac{ay}{2}. \]
Başlangıçtaki oksijen miktarı, yanma için gereken miktarın iki katı olduğundan,
\[ n_{\mathrm{oxygen},i}=2a\left(x+\frac y4\right). \]
Böylece,
\[ n_i=a+2a\left(x+\frac y4\right) =a\left(1+2x+\frac y2\right). \]
Yanma sonrasında başlangıçtaki oksijenin yarısı kalır. Artan bu oksijenin miktarı ile karbondioksit ve su miktarları toplandığında
\[ n_f=ax+\frac{ay}{2}+a\left(x+\frac y4\right) =a\left(2x+\frac{3y}{4}\right). \]
Dolayısıyla,
\[ n_f-n_i=a\left(\frac y4-1\right) =\frac{n_{\mathrm{water}}}{2}-a. \]
Basıncın \(5\%\) artmasıyla
\[ n_f-n_i=0.05n_i \approx1.50\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Buna göre başlangıçtaki hidrokarbon miktarı
\[ a=\frac{9.00\times10^{-3}}{2}-1.50\times10^{-3} =3.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Hidrojenin alt indisi, oluşan su miktarından bulunur:
\[ y=\frac{2n_{\mathrm{water}}}{a} =\frac{2(9.00\times10^{-3})}{3.00\times10^{-3}} =6. \]
Başlangıçtaki toplam madde miktarı kullanıldığında,
\[ 1+2x+\frac y2=\frac{n_i}{a}\approx10, \]
buradan
\[ 1+2x+3=10 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]
Dolayısıyla molekül formülü \(\boxed{\ce{C3H6}}\) olup denkleştirilmiş yanma denklemi şöyledir:
\[ \boxed{\ce{2C3H6 + 9O2 -> 6CO2 + 6H2O}}. \]
Kontrol amacıyla, hidrokarbonun her bir molü için başlangıç karışımı \(1+9=10\) mol gaz içerir. Yanma sonrasında \(3+3+4.5=10.5\) mol gaz içerir; bu da tam olarak belirtilen \(5\%\) basınç artışını verir.
Hem propen C=CC hem de siklopropan C1CC1 bu formüle sahiptir ve koşulları sağlar.
Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IChO 1973 · Problema teórico 2
Combustión de un hidrocarburo gaseoso en un recipiente cerrado
Una mezcla de un hidrocarburo gaseoso y oxígeno se encuentra en un recipiente de 1 dm³ de volumen a una temperatura de 406.5 K y una presión de 101 325 Pa. La cantidad de oxígeno en la mezcla es el doble de la necesaria para reaccionar con el hidrocarburo. Tras la combustión del hidrocarburo, la presión en el recipiente (a la misma temperatura) aumenta un 5 %.
Problema:
2.1 ¿Qué hidrocarburo había en la mezcla si la masa de agua formada por la combustión fue de 0.162 g?
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
- 2.1 La fórmula molecular es \(\ce{C3H6}\). El hidrocarburo puede ser propeno
C=CCo ciclopropanoC1CC1; los datos proporcionados no permiten distinguir entre estos dos isómeros.
Solución
2.1
Sea \(\ce{C_xH_y}\) el hidrocarburo, con \(a\) moles presentes inicialmente. Su combustión completa consume oxígeno O=O y produce dióxido de carbono O=C=O y agua O:
\[ \ce{C_xH_y + (x + y/4) O2 -> x CO2 + (y/2) H2O}. \]
A \(406.5\ \mathrm{K}\) y a las presiones indicadas, el agua formada permanece en estado gaseoso. Considerando los gases como ideales, la presión es proporcional a la cantidad total de gas a temperatura y volumen constantes.
La cantidad total inicial es
\[ n_i=\frac{pV}{RT} =\frac{(101325\ \mathrm{Pa})(1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{Pa\,m^3\,mol^{-1}\,K^{-1}})(406.5\ \mathrm{K})} \approx 3.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}. \]
La cantidad de agua formada es
\[ n_{\mathrm{water}} =\frac{0.162\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} =9.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol} =\frac{ay}{2}. \]
Como la cantidad inicial de oxígeno es el doble de la necesaria para la combustión,
\[ n_{\mathrm{oxygen},i}=2a\left(x+\frac y4\right). \]
Por tanto,
\[ n_i=a+2a\left(x+\frac y4\right) =a\left(1+2x+\frac y2\right). \]
Tras la combustión, queda la mitad del oxígeno inicial. Al sumar este exceso de oxígeno al dióxido de carbono y al agua, se obtiene
\[ n_f=ax+\frac{ay}{2}+a\left(x+\frac y4\right) =a\left(2x+\frac{3y}{4}\right). \]
En consecuencia,
\[ n_f-n_i=a\left(\frac y4-1\right) =\frac{n_{\mathrm{water}}}{2}-a. \]
El aumento de presión del \(5\%\) da
\[ n_f-n_i=0.05n_i \approx1.50\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Por lo tanto, la cantidad inicial de hidrocarburo era
\[ a=\frac{9.00\times10^{-3}}{2}-1.50\times10^{-3} =3.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
El subíndice del hidrógeno se obtiene a partir de la cantidad de agua producida:
\[ y=\frac{2n_{\mathrm{water}}}{a} =\frac{2(9.00\times10^{-3})}{3.00\times10^{-3}} =6. \]
Utilizando la cantidad total inicial,
\[ 1+2x+\frac y2=\frac{n_i}{a}\approx10, \]
de modo que
\[ 1+2x+3=10 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]
Así pues, la fórmula molecular es \(\boxed{\ce{C3H6}}\), y su ecuación de combustión ajustada es
\[ \boxed{\ce{2C3H6 + 9O2 -> 6CO2 + 6H2O}}. \]
Como comprobación, por cada mol de hidrocarburo, la mezcla inicial contiene \(1+9=10\) moles de gas. Tras la combustión, contiene \(3+3+4.5=10.5\) moles, lo que da exactamente el aumento de presión indicado del \(5\%\).
Tanto el propeno C=CC como el ciclopropano C1CC1 tienen esta fórmula y cumplen las condiciones.
La solución se comprobó con la solución oficial.
IChO 1973 · 理论题 2
密闭容器中气态烃的燃烧
气态烃与氧气的混合物置于一个体积为 1 dm³ 的容器中，温度为 406.5 K，压强为 101 325 Pa。混合物中氧气的量是与该烃反应所需量的两倍。烃燃烧后，容器内的压强（在相同温度下）增加了 5 %。
问题：
2.1 若燃烧生成的水的质量为 0.162 g，混合物中的烃是什么？
题目译自官方英文原文。
答案
- 2.1 分子式为 \(\ce{C3H6}\)。该烃可以是丙烯
C=CC或环丙烷C1CC1；所给数据无法区分这两种同分异构体。
解答
2.1
设该烃为 \(\ce{C_xH_y}\)，初始物质的量为 \(a\) 摩尔。其完全燃烧消耗氧气 O=O，生成二氧化碳 O=C=O 和水 O：
\[ \ce{C_xH_y + (x + y/4) O2 -> x CO2 + (y/2) H2O}. \]
在 \(406.5\ \mathrm{K}\) 和题述压强下，生成的水保持气态。将这些气体视为理想气体，则在温度和体积一定时，压强与气体的总物质的量成正比。
初始总物质的量为
\[ n_i=\frac{pV}{RT} =\frac{(101325\ \mathrm{Pa})(1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{Pa\,m^3\,mol^{-1}\,K^{-1}})(406.5\ \mathrm{K})} \approx 3.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}. \]
生成的水的物质的量为
\[ n_{\mathrm{water}} =\frac{0.162\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} =9.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol} =\frac{ay}{2}. \]
由于初始氧气的物质的量是燃烧所需量的两倍，
\[ n_{\mathrm{oxygen},i}=2a\left(x+\frac y4\right). \]
因此，
\[ n_i=a+2a\left(x+\frac y4\right) =a\left(1+2x+\frac y2\right). \]
燃烧后，初始氧气剩余一半。将这部分过量氧气与二氧化碳和水的物质的量相加，得到
\[ n_f=ax+\frac{ay}{2}+a\left(x+\frac y4\right) =a\left(2x+\frac{3y}{4}\right). \]
由此，
\[ n_f-n_i=a\left(\frac y4-1\right) =\frac{n_{\mathrm{water}}}{2}-a. \]
压强增加 \(5\%\)，可得
\[ n_f-n_i=0.05n_i \approx1.50\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
因此，烃的初始物质的量为
\[ a=\frac{9.00\times10^{-3}}{2}-1.50\times10^{-3} =3.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
由水的生成量可求得氢的下标：
\[ y=\frac{2n_{\mathrm{water}}}{a} =\frac{2(9.00\times10^{-3})}{3.00\times10^{-3}} =6. \]
利用初始总物质的量，
\[ 1+2x+\frac y2=\frac{n_i}{a}\approx10, \]
所以
\[ 1+2x+3=10 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]
因此，分子式为 \(\boxed{\ce{C3H6}}\)，其配平后的燃烧方程式为
\[ \boxed{\ce{2C3H6 + 9O2 -> 6CO2 + 6H2O}}. \]
作为检验，每摩尔烃对应的初始混合物含有 \(1+9=10\) 摩尔气体。燃烧后含有 \(3+3+4.5=10.5\) 摩尔气体，恰好使压强增加题述的 \(5\%\)。
丙烯 C=CC 和环丙烷 C1CC1 均具有此分子式，且满足题目条件。
解答已与官方解答核对。
IChO 1973 · Теоретическая задача 2
Сгорание газообразного углеводорода в закрытом сосуде
Смесь газообразного углеводорода и кислорода находится в сосуде объёмом 1 дм³ при температуре 406.5 К и давлении 101 325 Па. Кислорода в смеси в два раза больше, чем необходимо для реакции с углеводородом. После сгорания углеводорода давление в сосуде (при той же температуре) увеличивается на 5 %.
Задание:
2.1 Какой углеводород находился в смеси, если масса воды, образовавшейся при сгорании, составила 0.162 г.
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
- 2.1 Молекулярная формула — \(\ce{C3H6}\). Углеводородом может быть пропен
C=CCили циклопропанC1CC1; приведённые данные не позволяют различить эти два изомера.
Решение
2.1
Пусть углеводород имеет формулу \(\ce{C_xH_y}\), а его исходное количество составляет \(a\) моль. При его полном сгорании расходуется кислород O=O и образуются диоксид углерода O=C=O и вода O:
\[ \ce{C_xH_y + (x + y/4) O2 -> x CO2 + (y/2) H2O}. \]
При \(406.5\ \mathrm{K}\) и указанных давлениях образовавшаяся вода остаётся в газообразном состоянии. Если считать газы идеальными, то при постоянных температуре и объёме давление пропорционально суммарному количеству газов.
Исходное суммарное количество газов равно
\[ n_i=\frac{pV}{RT} =\frac{(101325\ \mathrm{Pa})(1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{Pa\,m^3\,mol^{-1}\,K^{-1}})(406.5\ \mathrm{K})} \approx 3.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}. \]
Количество образовавшейся воды равно
\[ n_{\mathrm{water}} =\frac{0.162\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} =9.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol} =\frac{ay}{2}. \]
Поскольку исходное количество кислорода в два раза превышает количество, необходимое для сгорания,
\[ n_{\mathrm{oxygen},i}=2a\left(x+\frac y4\right). \]
Таким образом,
\[ n_i=a+2a\left(x+\frac y4\right) =a\left(1+2x+\frac y2\right). \]
После сгорания остаётся половина исходного количества кислорода. Складывая количество этого избыточного кислорода с количествами диоксида углерода и воды, получаем
\[ n_f=ax+\frac{ay}{2}+a\left(x+\frac y4\right) =a\left(2x+\frac{3y}{4}\right). \]
Следовательно,
\[ n_f-n_i=a\left(\frac y4-1\right) =\frac{n_{\mathrm{water}}}{2}-a. \]
Увеличение давления на \(5\%\) даёт
\[ n_f-n_i=0.05n_i \approx1.50\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Следовательно, исходное количество углеводорода составляло
\[ a=\frac{9.00\times10^{-3}}{2}-1.50\times10^{-3} =3.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
Индекс при водороде находим по количеству образовавшейся воды:
\[ y=\frac{2n_{\mathrm{water}}}{a} =\frac{2(9.00\times10^{-3})}{3.00\times10^{-3}} =6. \]
Используя исходное суммарное количество газов, получаем
\[ 1+2x+\frac y2=\frac{n_i}{a}\approx10, \]
откуда
\[ 1+2x+3=10 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]
Таким образом, молекулярная формула — \(\boxed{\ce{C3H6}}\), а уравнение сгорания с расставленными коэффициентами имеет вид
\[ \boxed{\ce{2C3H6 + 9O2 -> 6CO2 + 6H2O}}. \]
Для проверки заметим, что на один моль углеводорода исходная смесь содержит \(1+9=10\) моль газа. После сгорания она содержит \(3+3+4.5=10.5\) моль, что даёт в точности указанное увеличение давления на \(5\%\).
И пропен C=CC, и циклопропан C1CC1 имеют эту формулу и удовлетворяют условиям задачи.
Решение проверено по официальному решению.
IChO 1973 · مسألة نظرية 2
احتراق هيدروكربون غازي في وعاء مغلق
يوجد مزيج من هيدروكربون غازي والأكسجين في وعاء حجمه 1 dm³ عند درجة حرارة 406.5 K وضغط 101 325 Pa. تبلغ كمية الأكسجين في المزيج ضعف الكمية اللازمة للتفاعل مع الهيدروكربون. بعد احتراق الهيدروكربون، يزداد الضغط في الوعاء (عند درجة الحرارة نفسها) بنسبة 5 %.
المطلوب:
2.1 ما الهيدروكربون الذي كان موجودًا في المزيج إذا كانت كتلة الماء المتكوّن من الاحتراق 0.162 g؟
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
- 2.1 الصيغة الجزيئية هي \(\ce{C3H6}\). يمكن أن يكون الهيدروكربون البروبين
C=CCأو البروبان الحلقيC1CC1؛ ولا تتيح المعطيات التمييز بين هذين المتماكبين.
الحل
2.1
لنفرض أن الهيدروكربون هو \(\ce{C_xH_y}\)، وأن الموجود منه في البداية هو \(a\) مول. يستهلك احتراقه التام الأكسجين O=O وينتج ثاني أكسيد الكربون O=C=O والماء O:
\[ \ce{C_xH_y + (x + y/4) O2 -> x CO2 + (y/2) H2O}. \]
عند \(406.5\ \mathrm{K}\) والضغوط المذكورة، يبقى الماء المتكوّن في الحالة الغازية. وباعتبار الغازات مثالية، يتناسب الضغط طرديًا مع كمية المادة الكلية للغازات عند ثبات درجة الحرارة والحجم.
كمية المادة الكلية الابتدائية هي
\[ n_i=\frac{pV}{RT} =\frac{(101325\ \mathrm{Pa})(1.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3})} {(8.314\ \mathrm{Pa\,m^3\,mol^{-1}\,K^{-1}})(406.5\ \mathrm{K})} \approx 3.00\times10^{-2}\ \mathrm{mol}. \]
كمية مادة الماء المتكوّن هي
\[ n_{\mathrm{water}} =\frac{0.162\ \mathrm{g}}{18.0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} =9.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol} =\frac{ay}{2}. \]
بما أن كمية الأكسجين الابتدائية تساوي ضعف الكمية اللازمة للاحتراق، فإن
\[ n_{\mathrm{oxygen},i}=2a\left(x+\frac y4\right). \]
إذن،
\[ n_i=a+2a\left(x+\frac y4\right) =a\left(1+2x+\frac y2\right). \]
بعد الاحتراق، يتبقى نصف الأكسجين الابتدائي. وبإضافة كمية هذا الأكسجين الفائض إلى كميتي ثاني أكسيد الكربون والماء، نحصل على
\[ n_f=ax+\frac{ay}{2}+a\left(x+\frac y4\right) =a\left(2x+\frac{3y}{4}\right). \]
وبالتالي،
\[ n_f-n_i=a\left(\frac y4-1\right) =\frac{n_{\mathrm{water}}}{2}-a. \]
من زيادة الضغط بنسبة \(5\%\) نحصل على
\[ n_f-n_i=0.05n_i \approx1.50\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
وعليه، كانت كمية مادة الهيدروكربون الابتدائية
\[ a=\frac{9.00\times10^{-3}}{2}-1.50\times10^{-3} =3.00\times10^{-3}\ \mathrm{mol}. \]
نستنتج العدد السفلي للهيدروجين في الصيغة من كمية الماء الناتجة:
\[ y=\frac{2n_{\mathrm{water}}}{a} =\frac{2(9.00\times10^{-3})}{3.00\times10^{-3}} =6. \]
باستخدام كمية المادة الكلية الابتدائية،
\[ 1+2x+\frac y2=\frac{n_i}{a}\approx10, \]
ومن ثم
\[ 1+2x+3=10 \quad\Longrightarrow\quad x=3. \]
إذن الصيغة الجزيئية هي \(\boxed{\ce{C3H6}}\)، ومعادلة احتراقه الموزونة هي
\[ \boxed{\ce{2C3H6 + 9O2 -> 6CO2 + 6H2O}}. \]
للتحقق، يحتوي المزيج الابتدائي على \(1+9=10\) مول من الغاز لكل مول من الهيدروكربون. وبعد الاحتراق يحتوي على \(3+3+4.5=10.5\) مول، مما يعطي زيادة في الضغط قدرها \(5\%\) تمامًا كما ورد في المعطيات.
لكل من البروبين C=CC والبروبان الحلقي C1CC1 هذه الصيغة، وكلاهما يستوفي الشروط.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.