R = a1 b1 a1^-1 b1^-1 a2 b2 a2^-1 b2^-1
(1) search: 52 substitutions of the triangular forms map R to a conjugate of R^{+-1}
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2, b2->b2 a2
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2, b2->b2 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2, b2->b2 a2 a2
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2, b2->b2 a2^-1 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1, b1->b1 a1, a2->a2, b2->b2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1, a2->a2, b2->b2 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1, a2->a2, b2->b2 a2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1, a2->a2, b2->b2 a2^-1 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2^-1 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1 a1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1, b1->b1 a1 a1, a2->a2, b2->b2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1 a1, a2->a2, b2->b2 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1 a1, a2->a2, b2->b2 a2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1 a1, a2->a2, b2->b2 a2^-1 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1 a1^-1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2^-1
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2 a2
    R    a1->a1, b1->b1 a1^-1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 a2^-1 a2^-1
    R    a1->a1, b1->a1^-1 a2^-1 b1, a2->a2, b2->a2^-1 a1^-1 b2   [mixes the handles]
    R    a1->a1, b1->a2 a1 b1, a2->a2, b2->a1 a2 b2   [mixes the handles]
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2 b2, b2->b2
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2 b2 b2, b2->b2
    R    a1->a1, b1->b1, a2->a2 b2^-1 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1, b1->b1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1 b1, b1->b1, a2->a2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1, b1->b1, a2->a2 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1, b1->b1, a2->a2 b2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1, b1->b1, a2->a2 b2^-1 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1, b1->b1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2^-1 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1 b1, b1->b1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1 b1 b1, b1->b1, a2->a2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1 b1, b1->b1, a2->a2 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1 b1, b1->b1, a2->a2 b2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1 b1, b1->b1, a2->a2 b2^-1 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1 b1^-1, b1->b1, a2->a2, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2^-1, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2 b2, b2->b2
    R    a1->a1 b1^-1 b1^-1, b1->b1, a2->a2 b2^-1 b2^-1, b2->b2
    R    a1->b1^-1 b2^-1 a1, b1->b1, a2->b2^-1 b1^-1 a2, b2->b2   [mixes the handles]
    R    a1->b2 b1 a1, b1->b1, a2->b1 b2 a2, b2->b2   [mixes the handles]
(2) generating set of this run
    M1: a1->a1, b1->b1 a1^-1, a2->a2, b2->b2 ; image of R = a1 b1 a1^-1 b1^-1 a2 b2 a2^-1 b2^-1 ; conjugate of R: yes
        inverse: a1->a1, b1->b1 a1, a2->a2, b2->b2
    M2: a1->a1 b1, b1->b1, a2->a2, b2->b2 ; image of R = a1 b1 a1^-1 b1^-1 a2 b2 a2^-1 b2^-1 ; conjugate of R: yes
        inverse: a1->a1 b1^-1, b1->b1, a2->a2, b2->b2
    M3: a1->a1, b1->a1^-1 a2^-1 b1, a2->a2, b2->a2^-1 a1^-1 b2 ; image of R = a2^-1 b1 a1^-1 b1^-1 a2 b2 a2^-1 b2^-1 a1 a2 ; conjugate of R: yes
        inverse: a1->a1, b1->a2 a1 b1, a2->a2, b2->a1 a2 b2
    M4: a1->a1, b1->b1, a2->a2 b2, b2->b2 ; image of R = a1 b1 a1^-1 b1^-1 a2 b2 a2^-1 b2^-1 ; conjugate of R: yes
        inverse: a1->a1, b1->b1, a2->a2 b2^-1, b2->b2
    M5: a1->a1, b1->b1, a2->a2, b2->b2 a2^-1 ; image of R = a1 b1 a1^-1 b1^-1 a2 b2 a2^-1 b2^-1 ; conjugate of R: yes
        inverse: a1->a1, b1->b1, a2->a2, b2->b2 a2
    M1 on H_1: [[1, -1, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]  det=1  M^T Omega M == Omega: True
    M2 on H_1: [[1, 0, 0, 0], [1, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]  det=1  M^T Omega M == Omega: True
    M3 on H_1: [[1, -1, 0, -1], [0, 1, 0, 0], [0, -1, 1, -1], [0, 0, 0, 1]]  det=1  M^T Omega M == Omega: True
    M4 on H_1: [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 1]]  det=1  M^T Omega M == Omega: True
    M5 on H_1: [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, -1], [0, 0, 0, 1]]  det=1  M^T Omega M == Omega: True
    order of the group generated on H_1(S_2;Z/2): 720 (|Sp(4,2)| = 720)
    order of the group generated on H_1(S_2;Z/3): 51840 (|Sp(4,3)| = 51840)
(3) relations in Out(pi_1(S_2)) (Dehn's algorithm; conjugator searched among words of length <= 4)
    braid  M1 M2 M1 = M2 M1 M2 : yes (conjugator 1)
           (and M1, M2 do not commute: confirmed)
    commute M1 M3 = M3 M1 : yes (conjugator 1)
    commute M1 M4 = M4 M1 : yes (conjugator 1)
    commute M1 M5 = M5 M1 : yes (conjugator 1)
    braid  M2 M3 M2 = M3 M2 M3 : yes (conjugator 1)
           (and M2, M3 do not commute: confirmed)
    commute M2 M4 = M4 M2 : yes (conjugator 1)
    commute M2 M5 = M5 M2 : yes (conjugator 1)
    braid  M3 M4 M3 = M4 M3 M4 : yes (conjugator 1)
           (and M3, M4 do not commute: confirmed)
    commute M3 M5 = M5 M3 : yes (conjugator 1)
    braid  M4 M5 M4 = M5 M4 M5 : yes (conjugator 1)
           (and M4, M5 do not commute: confirmed)
    all chain relations hold: True
(4) the ten substitutions printed in the note
    A1: conjugate of R: yes ; equals R: True
    B1: conjugate of R: yes ; equals R: True
    C: conjugate of R: yes ; equals a1 a2 R (a1 a2)^-1: True
    B2: conjugate of R: yes ; equals R: True
    A2: conjugate of R: yes ; equals R: True
    G1: conjugate of R: yes ; equals R: True
    G2: conjugate of R: yes ; equals R: True
    G3: conjugate of R: yes ; equals b2 b1 R (b2 b1)^-1: True
    G4: conjugate of R: yes ; equals R: True
    G5: conjugate of R: yes ; equals R: True
    A1,B1,C,B2,A2: orders on H_1 mod 2 and mod 3: 720, 51840
    G1,G2,G3,G4,G5: orders on H_1 mod 2 and mod 3: 720, 51840
