=== mu = (3,)
  tau=(3,)           r=3 : x=(1 2 3) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2)  | even-conjugator gadget: NONE
  tau=(2, 1)         r=3 : x=(1 2) c=(1 2 3) y=xc=(2 3)
  tau=(1, 1, 1)      r=3 : no gadget
  tau=(4,)           r=4 : x=(1 2 3 4) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2 4)
  tau=(3, 1)         r=4 : x=(1 2 3) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2)  | even-conjugator gadget: NONE
  tau=(2, 2)         r=4 : no gadget
  tau=(2, 1, 1)      r=4 : x=(1 2) c=(1 2 3) y=xc=(2 3)
  tau=(1, 1, 1, 1)   r=4 : no gadget
  tau=(5,)           r=5 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2 4 5)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 4) y=(1 3 4 2 5)
  tau=(4, 1)         r=5 : x=(1 2 3 4) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2 4)
  tau=(3, 2)         r=5 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2)(4 5)
  tau=(3, 1, 1)      r=5 : x=(1 2 3) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2)
  tau=(2, 2, 1)      r=5 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 5) y=xc=(2 5)(3 4)
  tau=(2, 1, 1, 1)   r=5 : x=(1 2) c=(1 2 3) y=xc=(2 3)
  tau=(1, 1, 1, 1, 1) r=5 : no gadget
  tau=(6,)           r=6 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2 4 5 6)
  tau=(5, 1)         r=6 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2 4 5)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 4) y=(1 3 4 2 5)
  tau=(4, 2)         r=6 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2 4)(5 6)
  tau=(4, 1, 1)      r=6 : x=(1 2 3 4) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2 4)
  tau=(3, 3)         r=6 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2)(4 5 6)
  tau=(3, 2, 1)      r=6 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2)(4 5)
  tau=(3, 1, 1, 1)   r=6 : x=(1 2 3) c=(1 2 3) y=xc=(1 3 2)
  tau=(2, 2, 2)      r=6 : no gadget
  tau=(2, 2, 1, 1)   r=6 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 5) y=xc=(2 5)(3 4)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1) r=6 : x=(1 2) c=(1 2 3) y=xc=(2 3)
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1) r=6 : no gadget
=== mu = (2, 2)
  tau=(4,)           r=4 : x=(1 2 3 4) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4 3 2)
  tau=(3, 1)         r=4 : x=(1 2 3) c=(1 2)(3 4) y=xc=(1 3 4)  | even-conjugator gadget: c=(1 2)(3 4) y=(1 3 4)
  tau=(2, 2)         r=4 : x=(1 2)(3 4) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4)(2 3)
  tau=(2, 1, 1)      r=4 : x=(1 2) c=(1 2)(3 4) y=xc=(3 4)
  tau=(1, 1, 1, 1)   r=4 : no gadget
  tau=(5,)           r=5 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4 3 2 5)  | even-conjugator gadget: NONE
  tau=(4, 1)         r=5 : x=(1 2 3 4) c=(1 2)(3 5) y=xc=(1 3 5 4)
  tau=(3, 2)         r=5 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 4)(2 5) y=xc=(1 5 3)(2 4)
  tau=(3, 1, 1)      r=5 : x=(1 2 3) c=(1 2)(3 4) y=xc=(1 3 4)
  tau=(2, 2, 1)      r=5 : x=(1 2)(3 4) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4)(2 3)
  tau=(2, 1, 1, 1)   r=5 : x=(1 2) c=(1 2)(3 4) y=xc=(3 4)
  tau=(1, 1, 1, 1, 1) r=5 : no gadget
  tau=(6,)           r=6 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4 3 2 5 6)
  tau=(5, 1)         r=6 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2)(3 6) y=xc=(1 3 6 4 5)  | even-conjugator gadget: c=(1 2)(3 6) y=(1 3 6 4 5)
  tau=(4, 2)         r=6 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4 3 2)(5 6)
  tau=(4, 1, 1)      r=6 : x=(1 2 3 4) c=(1 2)(3 5) y=xc=(1 3 5 4)
  tau=(3, 3)         r=6 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 4)(2 5) y=xc=(1 5 3)(2 6 4)
  tau=(3, 2, 1)      r=6 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2)(3 6) y=xc=(1 3 6)(4 5)
  tau=(3, 1, 1, 1)   r=6 : x=(1 2 3) c=(1 2)(3 4) y=xc=(1 3 4)
  tau=(2, 2, 2)      r=6 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4)(2 3)(5 6)
  tau=(2, 2, 1, 1)   r=6 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2)(5 6) y=xc=(3 4)(5 6)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1) r=6 : x=(1 2) c=(1 2)(3 4) y=xc=(3 4)
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1) r=6 : no gadget
  tau=(7,)           r=7 : x=(1 2 3 4 5 6 7) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4 3 2 5 6 7)  | even-conjugator gadget: c=(1 4)(2 6) y=(1 5 6 3 4 2 7)
  tau=(6, 1)         r=7 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2)(3 7) y=xc=(1 3 7 4 5 6)
  tau=(5, 2)         r=7 : x=(1 2 3 4 5)(6 7) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4 3 2 5)(6 7)
  tau=(5, 1, 1)      r=7 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2)(3 6) y=xc=(1 3 6 4 5)
  tau=(4, 3)         r=7 : x=(1 2 3 4)(5 6 7) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4 3 2)(5 6 7)
  tau=(4, 2, 1)      r=7 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2)(3 7) y=xc=(1 3 7 4)(5 6)
  tau=(4, 1, 1, 1)   r=7 : x=(1 2 3 4) c=(1 2)(3 5) y=xc=(1 3 5 4)
  tau=(3, 3, 1)      r=7 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2)(3 7) y=xc=(1 3 7)(4 5 6)
  tau=(3, 2, 2)      r=7 : x=(1 2 3)(4 5)(6 7) c=(1 4)(2 5) y=xc=(1 5 3)(2 4)(6 7)
  tau=(3, 2, 1, 1)   r=7 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2)(3 6) y=xc=(1 3 6)(4 5)
  tau=(3, 1, 1, 1, 1) r=7 : x=(1 2 3) c=(1 2)(3 4) y=xc=(1 3 4)
  tau=(2, 2, 2, 1)   r=7 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 3)(2 4) y=xc=(1 4)(2 3)(5 6)
  tau=(2, 2, 1, 1, 1) r=7 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2)(5 6) y=xc=(3 4)(5 6)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1, 1) r=7 : x=(1 2) c=(1 2)(3 4) y=xc=(3 4)
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=7 : no gadget
=== mu = (5,)
  tau=(5,)           r=5 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 4 5 3) y=(1 3 2 5 4)
  tau=(4, 1)         r=5 : x=(1 2 3 4) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 5 2)
  tau=(3, 2)         r=5 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 4)(2 5)
  tau=(3, 1, 1)      r=5 : x=(1 2 3) c=(1 3 2 4 5) y=xc=(2 4 5)
  tau=(2, 2, 1)      r=5 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 3 5 4) y=xc=(2 4)(3 5)
  tau=(2, 1, 1, 1)   r=5 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1) r=5 : no gadget
  tau=(6,)           r=6 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4 6)
  tau=(5, 1)         r=6 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 4 5 3) y=(1 3 2 5 4)
  tau=(4, 2)         r=6 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3)(2 4 6 5)
  tau=(4, 1, 1)      r=6 : x=(1 2 3 4) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 5 2)
  tau=(3, 3)         r=6 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 4 3 6) y=xc=(1 3 4)(2 5 6)
  tau=(3, 2, 1)      r=6 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 4)(2 5)
  tau=(3, 1, 1, 1)   r=6 : x=(1 2 3) c=(1 3 2 4 5) y=xc=(2 4 5)
  tau=(2, 2, 2)      r=6 : no gadget
  tau=(2, 2, 1, 1)   r=6 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 3 5 4) y=xc=(2 4)(3 5)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1) r=6 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1) r=6 : no gadget
  tau=(7,)           r=7 : x=(1 2 3 4 5 6 7) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4 6 7)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3 5 6) y=(1 3 6 2 4 5 7)
  tau=(6, 1)         r=7 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4 6)
  tau=(5, 2)         r=7 : x=(1 2 3 4 5)(6 7) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4)(6 7)
  tau=(5, 1, 1)      r=7 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4)
  tau=(4, 3)         r=7 : x=(1 2 3 4)(5 6 7) c=(1 2 4 5 3) y=xc=(1 3 2)(4 6 7 5)
  tau=(4, 2, 1)      r=7 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3)(2 4 6 5)
  tau=(4, 1, 1, 1)   r=7 : x=(1 2 3 4) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 5 2)
  tau=(3, 3, 1)      r=7 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 4 3 6) y=xc=(1 3 4)(2 5 6)
  tau=(3, 2, 2)      r=7 : x=(1 2 3)(4 5)(6 7) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 4)(2 5)(6 7)
  tau=(3, 2, 1, 1)   r=7 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 4)(2 5)
  tau=(3, 1, 1, 1, 1) r=7 : x=(1 2 3) c=(1 3 2 4 5) y=xc=(2 4 5)
  tau=(2, 2, 2, 1)   r=7 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 2 3 7 4) y=xc=(2 4)(3 7)(5 6)
  tau=(2, 2, 1, 1, 1) r=7 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 3 5 4) y=xc=(2 4)(3 5)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1, 1) r=7 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=7 : no gadget
  tau=(8,)           r=8 : x=(1 2 3 4 5 6 7 8) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4 6 7 8)
  tau=(7, 1)         r=8 : x=(1 2 3 4 5 6 7) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4 6 7)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3 5 6) y=(1 3 6 2 4 5 7)
  tau=(6, 2)         r=8 : x=(1 2 3 4 5 6)(7 8) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4 6)(7 8)
  tau=(6, 1, 1)      r=8 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4 6)
  tau=(5, 3)         r=8 : x=(1 2 3 4 5)(6 7 8) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4)(6 7 8)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3 4 6) y=(1 3 5)(2 4 7 8 6)
  tau=(5, 2, 1)      r=8 : x=(1 2 3 4 5)(6 7) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4)(6 7)
  tau=(5, 1, 1, 1)   r=8 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3 5 2 4)
  tau=(4, 4)         r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6 7 8) c=(1 2 5 3 8) y=xc=(1 3 5 4)(2 6 7 8)
  tau=(4, 3, 1)      r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6 7) c=(1 2 4 3 8) y=xc=(1 3 8 2)(5 6 7)
  tau=(4, 2, 2)      r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6)(7 8) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3)(2 4 6 5)(7 8)
  tau=(4, 2, 1, 1)   r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 3 4 5) y=xc=(1 3)(2 4 6 5)
  tau=(4, 1, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2 3 4) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 5 2)
  tau=(3, 3, 2)      r=8 : x=(1 2 3)(4 5 6)(7 8) c=(1 2 4 3 6) y=xc=(1 3 4)(2 5 6)(7 8)
  tau=(3, 3, 1, 1)   r=8 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 4 3 6) y=xc=(1 3 4)(2 5 6)
  tau=(3, 2, 2, 1)   r=8 : x=(1 2 3)(4 5)(6 7) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 4)(2 5)(6 7)
  tau=(3, 2, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 4 3 5) y=xc=(1 3 4)(2 5)
  tau=(3, 1, 1, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2 3) c=(1 3 2 4 5) y=xc=(2 4 5)
  tau=(2, 2, 2, 2)   r=8 : no gadget
  tau=(2, 2, 2, 1, 1) r=8 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 2 3 7 4) y=xc=(2 4)(3 7)(5 6)
  tau=(2, 2, 1, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 3 5 4) y=xc=(2 4)(3 5)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=8 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=8 : no gadget
=== mu = (3, 3)
  tau=(6,)           r=6 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5)
  tau=(5, 1)         r=6 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3)(4 6 5) y=xc=(1 3 2 4 6)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3)(4 6 5) y=(1 3 2 4 6)
  tau=(4, 2)         r=6 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 5)(3 4 6) y=xc=(1 3)(2 6 4 5)
  tau=(4, 1, 1)      r=6 : x=(1 2 3 4) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(1 4 5 6)
  tau=(3, 3)         r=6 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(4 6 5)
  tau=(3, 2, 1)      r=6 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(5 6)
  tau=(3, 1, 1, 1)   r=6 : x=(1 2 3) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(4 5 6)
  tau=(2, 2, 2)      r=6 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 3 5)(2 6 4) y=xc=(1 4)(2 5)(3 6)
  tau=(2, 2, 1, 1)   r=6 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 5)(3 4 6) y=xc=(2 5)(4 6)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1) r=6 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1) r=6 : no gadget
  tau=(7,)           r=7 : x=(1 2 3 4 5 6 7) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5 7)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3)(4 5 6) y=(1 3 2 4 6 5 7)
  tau=(6, 1)         r=7 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5)
  tau=(5, 2)         r=7 : x=(1 2 3 4 5)(6 7) c=(1 2 4)(3 5 6) y=xc=(1 3)(2 5 7 6 4)
  tau=(5, 1, 1)      r=7 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3)(4 6 5) y=xc=(1 3 2 4 6)
  tau=(4, 3)         r=7 : x=(1 2 3 4)(5 6 7) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(5 7 6)
  tau=(4, 2, 1)      r=7 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(6 7)
  tau=(4, 1, 1, 1)   r=7 : x=(1 2 3 4) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(1 4 5 6)
  tau=(3, 3, 1)      r=7 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(4 6 5)
  tau=(3, 2, 2)      r=7 : x=(1 2 3)(4 5)(6 7) c=(1 4 6)(2 7 5) y=xc=(1 5 3)(2 6)(4 7)
  tau=(3, 2, 1, 1)   r=7 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(5 6)
  tau=(3, 1, 1, 1, 1) r=7 : x=(1 2 3) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(4 5 6)
  tau=(2, 2, 2, 1)   r=7 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 3 5)(2 6 4) y=xc=(1 4)(2 5)(3 6)
  tau=(2, 2, 1, 1, 1) r=7 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 5)(3 4 6) y=xc=(2 5)(4 6)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1, 1) r=7 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=7 : no gadget
  tau=(8,)           r=8 : x=(1 2 3 4 5 6 7 8) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5 7 8)
  tau=(7, 1)         r=8 : x=(1 2 3 4 5 6 7) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5 7)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3)(4 5 6) y=(1 3 2 4 6 5 7)
  tau=(6, 2)         r=8 : x=(1 2 3 4 5 6)(7 8) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5)(7 8)
  tau=(6, 1, 1)      r=8 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5)
  tau=(5, 3)         r=8 : x=(1 2 3 4 5)(6 7 8) c=(1 2 3)(6 7 8) y=xc=(1 3 2 4 5)(6 8 7)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3)(6 7 8) y=(1 3 2 4 5)(6 8 7)
  tau=(5, 2, 1)      r=8 : x=(1 2 3 4 5)(6 7) c=(1 2 3)(4 8 5) y=xc=(1 3 2 4 8)(6 7)
  tau=(5, 1, 1, 1)   r=8 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3)(4 6 5) y=xc=(1 3 2 4 6)
  tau=(4, 4)         r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6 7 8) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(5 7 6 8)
  tau=(4, 3, 1)      r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6 7) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(5 7 6)
  tau=(4, 2, 2)      r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6)(7 8) c=(1 2 5)(3 4 6) y=xc=(1 3)(2 6 4 5)(7 8)
  tau=(4, 2, 1, 1)   r=8 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(6 7)
  tau=(4, 1, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2 3 4) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(1 4 5 6)
  tau=(3, 3, 2)      r=8 : x=(1 2 3)(4 5 6)(7 8) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(4 6 5)(7 8)
  tau=(3, 3, 1, 1)   r=8 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(4 6 5)
  tau=(3, 2, 2, 1)   r=8 : x=(1 2 3)(4 5)(6 7) c=(1 2 3)(4 5 8) y=xc=(1 3 2)(5 8)(6 7)
  tau=(3, 2, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(5 6)
  tau=(3, 1, 1, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2 3) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(4 5 6)
  tau=(2, 2, 2, 2)   r=8 : x=(1 2)(3 4)(5 6)(7 8) c=(1 3 5)(2 6 4) y=xc=(1 4)(2 5)(3 6)(7 8)
  tau=(2, 2, 2, 1, 1) r=8 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 2 7)(3 4 8) y=xc=(2 7)(4 8)(5 6)
  tau=(2, 2, 1, 1, 1, 1) r=8 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 5)(3 4 6) y=xc=(2 5)(4 6)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=8 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=8 : no gadget
  tau=(9,)           r=9 : x=(1 2 3 4 5 6 7 8 9) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5 7 8 9)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3)(4 5 6) y=(1 3 2 4 6 5 7 8 9)
  tau=(8, 1)         r=9 : x=(1 2 3 4 5 6 7 8) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5 7 8)
  tau=(7, 2)         r=9 : x=(1 2 3 4 5 6 7)(8 9) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5 7)(8 9)
  tau=(7, 1, 1)      r=9 : x=(1 2 3 4 5 6 7) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5 7)
  tau=(6, 3)         r=9 : x=(1 2 3 4 5 6)(7 8 9) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5)(7 8 9)
  tau=(6, 2, 1)      r=9 : x=(1 2 3 4 5 6)(7 8) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5)(7 8)
  tau=(6, 1, 1, 1)   r=9 : x=(1 2 3 4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4 6 5)
  tau=(5, 4)         r=9 : x=(1 2 3 4 5)(6 7 8 9) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2 4)(5 7 8 9 6)
  tau=(5, 3, 1)      r=9 : x=(1 2 3 4 5)(6 7 8) c=(1 2 3)(4 9 5) y=xc=(1 3 2 4 9)(6 7 8)  | even-conjugator gadget: c=(1 2 3)(4 9 5) y=(1 3 2 4 9)(6 7 8)
  tau=(5, 2, 2)      r=9 : x=(1 2 3 4 5)(6 7)(8 9) c=(1 2 4)(3 5 6) y=xc=(1 3)(2 5 7 6 4)(8 9)
  tau=(5, 2, 1, 1)   r=9 : x=(1 2 3 4 5)(6 7) c=(1 2 3)(4 8 5) y=xc=(1 3 2 4 8)(6 7)
  tau=(5, 1, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2 3 4 5) c=(1 2 3)(4 6 5) y=xc=(1 3 2 4 6)
  tau=(4, 4, 1)      r=9 : x=(1 2 3 4)(5 6 7 8) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(5 7 6 8)
  tau=(4, 3, 2)      r=9 : x=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(5 7 6)(8 9)
  tau=(4, 3, 1, 1)   r=9 : x=(1 2 3 4)(5 6 7) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(5 7 6)
  tau=(4, 2, 2, 1)   r=9 : x=(1 2 3 4)(5 6)(7 8) c=(1 2 3)(5 6 9) y=xc=(1 3 2 4)(6 9)(7 8)
  tau=(4, 2, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2 3 4)(5 6) c=(1 2 3)(5 6 7) y=xc=(1 3 2 4)(6 7)
  tau=(4, 1, 1, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2 3 4) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(1 4 5 6)
  tau=(3, 3, 3)      r=9 : x=(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)
  tau=(3, 3, 2, 1)   r=9 : x=(1 2 3)(4 5 6)(7 8) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(4 6 5)(7 8)
  tau=(3, 3, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2 3)(4 5 6) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(4 6 5)
  tau=(3, 2, 2, 2)   r=9 : x=(1 2 3)(4 5)(6 7)(8 9) c=(1 4 6)(2 7 5) y=xc=(1 5 3)(2 6)(4 7)(8 9)
  tau=(3, 2, 2, 1, 1) r=9 : x=(1 2 3)(4 5)(6 7) c=(1 2 3)(4 5 8) y=xc=(1 3 2)(5 8)(6 7)
  tau=(3, 2, 1, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2 3)(4 5) c=(1 2 3)(4 5 6) y=xc=(1 3 2)(5 6)
  tau=(3, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2 3) c=(1 3 2)(4 5 6) y=xc=(4 5 6)
  tau=(2, 2, 2, 2, 1) r=9 : x=(1 2)(3 4)(5 6)(7 8) c=(1 3 5)(2 6 4) y=xc=(1 4)(2 5)(3 6)(7 8)
  tau=(2, 2, 2, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2)(3 4)(5 6) c=(1 2 7)(3 4 8) y=xc=(2 7)(4 8)(5 6)
  tau=(2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) r=9 : x=(1 2)(3 4) c=(1 2 5)(3 4 6) y=xc=(2 5)(4 6)
  tau=(2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=9 : no gadget
  tau=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r=9 : no gadget
