IMO 2023 · Problem 4
Let \(x_1,x_2,\ldots,x_{2023}\) be pairwise different positive real numbers such that \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)} \] is an integer for every \(n=1,2,\ldots,2023\). Prove that \(a_{2023}\ge3034\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
For any positive real numbers \(A,B,C,D\), we have \[ \sqrt{(A+C)(B+D)}\ge \sqrt{AB}+\sqrt{CD}. \] Indeed, both sides are positive, and the difference of their squares is \[ AD+BC-2\sqrt{ABCD}=(\sqrt{AD}-\sqrt{BC})^2\ge0. \]
Write \[ S_n=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad T_n=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}, \] so that \(a_n=\sqrt{S_nT_n}\). For \(1\le n\le2021\), set \(u=x_{n+1}\) and \(v=x_{n+2}\). The inequality above gives \[ \begin{aligned} a_{n+2} &=\sqrt{(S_n+u+v)\left(T_n+\frac1u+\frac1v\right)}\\ &\ge a_n+\sqrt{(u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right)}. \end{aligned} \] Since \(u\ne v\) and \(u,v>0\), \[ (u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right) =4+\frac{(u-v)^2}{uv}>4. \] Consequently, \[ a_{n+2}>a_n+2. \] Both \(a_{n+2}\) and \(a_n\) are integers, so \[ a_{n+2}\ge a_n+3. \]
Applying this successively for \(n=1,3,\ldots,2021\), and using \(a_1=1\), yields \[ \boxed{a_{2023}\ge a_1+1011\cdot3=3034}. \]
The solution was checked against the official IMO shortlist solutions.
IMO 2023 · Aufgabe 4
Es seien \(x_1,x_2,\ldots,x_{2023}\) paarweise verschiedene positive reelle Zahlen, sodass \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)} \] für alle \(n=1,2,\ldots,2023\) ganzzahlig ist. Man beweise, dass \(a_{2023}\geq 3034\) gilt.
Offizieller deutscher Aufgabentext. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Für beliebige positive reelle Zahlen \(A,B,C,D\) gilt \[ \sqrt{(A+C)(B+D)}\ge \sqrt{AB}+\sqrt{CD}. \] Beide Seiten sind nämlich positiv, und die Differenz ihrer Quadrate ist \[ AD+BC-2\sqrt{ABCD}=(\sqrt{AD}-\sqrt{BC})^2\ge0. \]
Wir schreiben \[ S_n=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad T_n=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}, \] sodass \(a_n=\sqrt{S_nT_n}\). Für \(1\le n\le2021\) setzen wir \(u=x_{n+1}\) und \(v=x_{n+2}\). Die obige Ungleichung ergibt \[ \begin{aligned} a_{n+2} &=\sqrt{(S_n+u+v)\left(T_n+\frac1u+\frac1v\right)}\\ &\ge a_n+\sqrt{(u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right)}. \end{aligned} \] Wegen \(u\ne v\) und \(u,v>0\) gilt \[ (u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right) =4+\frac{(u-v)^2}{uv}>4. \] Folglich gilt \[ a_{n+2}>a_n+2. \] Sowohl \(a_{n+2}\) als auch \(a_n\) sind ganze Zahlen, also \[ a_{n+2}\ge a_n+3. \]
Wenden wir dies nacheinander für \(n=1,3,\ldots,2021\) an und verwenden \(a_1=1\), so erhalten wir \[ \boxed{a_{2023}\ge a_1+1011\cdot3=3034}. \]
Die Lösung wurde mit den offiziellen Lösungen der IMO-Shortlist abgeglichen.
IMO 2023 · Soru 4
Herhangi ikisi birbirinden farklı olan \(x_1,x_2,\ldots,x_{2023}\) pozitif gerçel sayıları için, \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)} \] sayısı her \(n=1,2,\ldots,2023\) için bir tam sayıdır. Buna göre, \(a_{2023}\geq3034\) olduğunu gösteriniz.
Sorunun resmi Türkçe metni. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
Herhangi \(A,B,C,D\) pozitif gerçek sayıları için \[ \sqrt{(A+C)(B+D)}\ge \sqrt{AB}+\sqrt{CD} \] eşitsizliği geçerlidir. Gerçekten, her iki taraf da pozitiftir ve karelerinin farkı \[ AD+BC-2\sqrt{ABCD}=(\sqrt{AD}-\sqrt{BC})^2\ge0 \] olur.
\[ S_n=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad T_n=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i} \] olarak yazalım; böylece \(a_n=\sqrt{S_nT_n}\) olur. \(1\le n\le2021\) için \(u=x_{n+1}\) ve \(v=x_{n+2}\) olsun. Yukarıdaki eşitsizlik \[ \begin{aligned} a_{n+2} &=\sqrt{(S_n+u+v)\left(T_n+\frac1u+\frac1v\right)}\\ &\ge a_n+\sqrt{(u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right)} \end{aligned} \] sonucunu verir. \(u\ne v\) ve \(u,v>0\) olduğundan, \[ (u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right) =4+\frac{(u-v)^2}{uv}>4. \] Dolayısıyla, \[ a_{n+2}>a_n+2. \] Hem \(a_{n+2}\) hem de \(a_n\) tam sayı olduğundan, \[ a_{n+2}\ge a_n+3. \]
Bunu sırasıyla \(n=1,3,\ldots,2021\) için uygulayıp \(a_1=1\) eşitliğini kullanarak \[ \boxed{a_{2023}\ge a_1+1011\cdot3=3034} \] elde ederiz.
Çözüm, resmi IMO shortlist çözümleriyle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 2023 · Problema 4
Sean \(x_1,x_2,\ldots,x_{2023}\) números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)} \] es entero para todo \(n=1,2,\ldots,2023\). Demuestra que \(a_{2023}\geq3034\).
Texto oficial en español del problema. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Para cualesquiera números reales positivos \(A,B,C,D\), tenemos \[ \sqrt{(A+C)(B+D)}\ge \sqrt{AB}+\sqrt{CD}. \] En efecto, ambos miembros son positivos, y la diferencia de sus cuadrados es \[ AD+BC-2\sqrt{ABCD}=(\sqrt{AD}-\sqrt{BC})^2\ge0. \]
Escribamos \[ S_n=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad T_n=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}, \] de modo que \(a_n=\sqrt{S_nT_n}\). Para \(1\le n\le2021\), sean \(u=x_{n+1}\) y \(v=x_{n+2}\). La desigualdad anterior da \[ \begin{aligned} a_{n+2} &=\sqrt{(S_n+u+v)\left(T_n+\frac1u+\frac1v\right)}\\ &\ge a_n+\sqrt{(u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right)}. \end{aligned} \] Como \(u\ne v\) y \(u,v>0\), \[ (u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right) =4+\frac{(u-v)^2}{uv}>4. \] Por consiguiente, \[ a_{n+2}>a_n+2. \] Tanto \(a_{n+2}\) como \(a_n\) son enteros, por lo que \[ a_{n+2}\ge a_n+3. \]
Aplicando esto sucesivamente para \(n=1,3,\ldots,2021\), y usando \(a_1=1\), obtenemos \[ \boxed{a_{2023}\ge a_1+1011\cdot3=3034}. \]
La solución se comprobó con las soluciones oficiales de la shortlist de la IMO.
IMO 2023 · 问题 4
设 \(x_1,x_2,\ldots,x_{2023}\) 为两两不等的正实数，使得对每个 \(n=1,2,\ldots,2023\)， \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)} \] 都是一个整数。证明：\(a_{2023}\geq3034\)。
题目为官方中文译本。 官方试卷 (PDF)
解答
对任意正实数 \(A,B,C,D\)，有 \[ \sqrt{(A+C)(B+D)}\ge \sqrt{AB}+\sqrt{CD}. \] 事实上，两端均为正数，且它们的平方之差为 \[ AD+BC-2\sqrt{ABCD}=(\sqrt{AD}-\sqrt{BC})^2\ge0. \]
记 \[ S_n=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad T_n=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}, \] 则 \(a_n=\sqrt{S_nT_n}\)。对 \(1\le n\le2021\)，令 \(u=x_{n+1}\)，\(v=x_{n+2}\)。由上述不等式得 \[ \begin{aligned} a_{n+2} &=\sqrt{(S_n+u+v)\left(T_n+\frac1u+\frac1v\right)}\\ &\ge a_n+\sqrt{(u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right)}. \end{aligned} \] 由于 \(u\ne v\) 且 \(u,v>0\)， \[ (u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right) =4+\frac{(u-v)^2}{uv}>4. \] 因此， \[ a_{n+2}>a_n+2. \] 由于 \(a_{n+2}\) 和 \(a_n\) 均为整数，所以 \[ a_{n+2}\ge a_n+3. \]
对 \(n=1,3,\ldots,2021\) 依次应用此式，并利用 \(a_1=1\)，得到 \[ \boxed{a_{2023}\ge a_1+1011\cdot3=3034}. \]
解答已与 IMO 官方预选题（shortlist）解答核对。
IMO 2023 · Задача 4
Даны попарно различные положительные действительные числа \(x_1,x_2,\ldots,x_{2023}\) такие, что число \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)} \] является целым для всех \(n=1,2,\ldots,2023\). Докажите, что \(a_{2023}\geqslant3034\).
Официальный русский текст задачи. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Для любых положительных действительных чисел \(A,B,C,D\) имеем \[ \sqrt{(A+C)(B+D)}\ge \sqrt{AB}+\sqrt{CD}. \] Действительно, обе части положительны, а разность их квадратов равна \[ AD+BC-2\sqrt{ABCD}=(\sqrt{AD}-\sqrt{BC})^2\ge0. \]
Обозначим \[ S_n=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad T_n=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}, \] так что \(a_n=\sqrt{S_nT_n}\). Для \(1\le n\le2021\) положим \(u=x_{n+1}\) и \(v=x_{n+2}\). Приведенное выше неравенство дает \[ \begin{aligned} a_{n+2} &=\sqrt{(S_n+u+v)\left(T_n+\frac1u+\frac1v\right)}\\ &\ge a_n+\sqrt{(u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right)}. \end{aligned} \] Поскольку \(u\ne v\) и \(u,v>0\), \[ (u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right) =4+\frac{(u-v)^2}{uv}>4. \] Следовательно, \[ a_{n+2}>a_n+2. \] Оба числа \(a_{n+2}\) и \(a_n\) целые, поэтому \[ a_{n+2}\ge a_n+3. \]
Последовательно применяя это неравенство при \(n=1,3,\ldots,2021\) и учитывая \(a_1=1\), получаем \[ \boxed{a_{2023}\ge a_1+1011\cdot3=3034}. \]
Решение проверено по официальным решениям шортлиста IMO.
IMO 2023 · المسألة 4
لتكن \(x_1,x_2,\ldots,x_{2023}\) أعداد حقيقية موجبة مختلفة مثنى مثنى بحيث \[ a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)} \] هو عدد صحيح لكل \(n=1,2,\ldots,2023\). أثبت أن \(a_{2023}\geq3034\).
نص المسألة هو الترجمة العربية الرسمية. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
لأي أعداد حقيقية موجبة \(A,B,C,D\)، لدينا \[ \sqrt{(A+C)(B+D)}\ge \sqrt{AB}+\sqrt{CD}. \] بالفعل، كلا الطرفين موجب، والفرق بين مربعيهما هو \[ AD+BC-2\sqrt{ABCD}=(\sqrt{AD}-\sqrt{BC})^2\ge0. \]
نكتب \[ S_n=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad T_n=\sum_{i=1}^n\frac1{x_i}, \] بحيث \(a_n=\sqrt{S_nT_n}\). لكل \(1\le n\le2021\)، نضع \(u=x_{n+1}\) و\(v=x_{n+2}\). تعطي المتباينة أعلاه \[ \begin{aligned} a_{n+2} &=\sqrt{(S_n+u+v)\left(T_n+\frac1u+\frac1v\right)}\\ &\ge a_n+\sqrt{(u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right)}. \end{aligned} \] بما أن \(u\ne v\) و\(u,v>0\)، \[ (u+v)\left(\frac1u+\frac1v\right) =4+\frac{(u-v)^2}{uv}>4. \] وبالتالي، \[ a_{n+2}>a_n+2. \] كلا العددين \(a_{n+2}\) و\(a_n\) صحيح، ولذلك \[ a_{n+2}\ge a_n+3. \]
بتطبيق ذلك تباعًا من أجل \(n=1,3,\ldots,2021\)، وباستخدام \(a_1=1\)، نحصل على \[ \boxed{a_{2023}\ge a_1+1011\cdot3=3034}. \]
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحلول الرسمية لقائمة IMO المختصرة.