IMO 2001 · Problem 6
Let \(a,b,c,d\) be integers with \(a>b>c>d>0\). Suppose that \[ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Prove that \(ab+cd\) is not prime.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
Expanding the given equation gives \[ a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2. \] Write this common value as \(Q\), and put \(p=ab+cd\).
First, the same equality yields \[ (a-b-d)(a+b+d-c)=(b-c)(c-d)>0. \] Since \(a+b+d-c>0\), we obtain \(a>b+d\). Consequently, \[ 0<Q=b(b+d)+d^2<ab+cd=p, \] where we used \(c>d>0\).
Next, we have the identity \[ \begin{aligned} p(ab-bc-cd) &=(ab+cd)(ab-bc-cd)\\ &=b^2(a^2-ac)-c^2(bd+d^2)\\ &=b^2(Q-c^2)-c^2(Q-b^2)\\ &=(b^2-c^2)Q. \end{aligned} \] Thus \(p\) divides \((b^2-c^2)Q\). But \[ 0<b^2-c^2<b^2<ab<p \qquad\text{and}\qquad 0<Q<p. \] If \(p\) were prime, it would divide one of these two positive factors, both of which are smaller than \(p\). This is impossible. Therefore \(ab+cd\) is not prime. \(\square\)
The solution was checked against Evan Chen's published IMO solution notes.
IMO 2001 · Aufgabe 6
Seien \(a,b,c,d\) ganze Zahlen mit \(a>b>c>d>0\). Es gelte \[ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Man beweise, dass \(ab+cd\) keine Primzahl ist.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Durch Ausmultiplizieren der gegebenen Gleichung ergibt sich \[ a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2. \] Wir bezeichnen diesen gemeinsamen Wert mit \(Q\) und setzen \(p=ab+cd\).
Zunächst liefert dieselbe Gleichung \[ (a-b-d)(a+b+d-c)=(b-c)(c-d)>0. \] Wegen \(a+b+d-c>0\) erhalten wir \(a>b+d\). Folglich gilt \[ 0<Q=b(b+d)+d^2<ab+cd=p, \] wobei wir \(c>d>0\) verwendet haben.
Weiter gilt die Identität \[ \begin{aligned} p(ab-bc-cd) &=(ab+cd)(ab-bc-cd)\\ &=b^2(a^2-ac)-c^2(bd+d^2)\\ &=b^2(Q-c^2)-c^2(Q-b^2)\\ &=(b^2-c^2)Q. \end{aligned} \] Somit teilt \(p\) das Produkt \((b^2-c^2)Q\). Es gilt aber \[ 0<b^2-c^2<b^2<ab<p \qquad\text{und}\qquad 0<Q<p. \] Wäre \(p\) eine Primzahl, so würde sie einen dieser beiden positiven Faktoren teilen, die beide kleiner als \(p\) sind. Das ist unmöglich. Daher ist \(ab+cd\) keine Primzahl. \(\square\)
Die Lösung wurde mit den veröffentlichten IMO-Lösungsnotizen von Evan Chen abgeglichen.
IMO 2001 · Soru 6
\(a,b,c,d\), \(a>b>c>d>0\) koşulunu sağlayan tam sayılar olsun. \[ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c) \] olduğunu varsayalım. \(ab+cd\)'nin asal olmadığını kanıtlayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
Verilen denklemde parantezler açıldığında \[ a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2 \] elde edilir. Bu ortak değeri \(Q\) ile gösterelim ve \(p=ab+cd\) olsun.
İlk olarak, aynı eşitlikten \[ (a-b-d)(a+b+d-c)=(b-c)(c-d)>0 \] elde edilir. \(a+b+d-c>0\) olduğundan \(a>b+d\) sonucuna ulaşırız. Dolayısıyla \[ 0<Q=b(b+d)+d^2<ab+cd=p \] olur; burada \(c>d>0\) koşulunu kullandık.
Şimdi şu özdeşliği elde ederiz: \[ \begin{aligned} p(ab-bc-cd) &=(ab+cd)(ab-bc-cd)\\ &=b^2(a^2-ac)-c^2(bd+d^2)\\ &=b^2(Q-c^2)-c^2(Q-b^2)\\ &=(b^2-c^2)Q. \end{aligned} \] Böylece \(p\), \((b^2-c^2)Q\)'yu böler. Ancak \[ 0<b^2-c^2<b^2<ab<p \qquad\text{ve}\qquad 0<Q<p. \] Eğer \(p\) asal olsaydı, her ikisi de \(p\)'den küçük olan bu iki pozitif çarpandan birini bölerdi. Bu mümkün değildir. Dolayısıyla \(ab+cd\) asal değildir. \(\square\)
Çözüm, Evan Chen'in yayımlanmış IMO çözüm notlarıyla karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 2001 · Problema 6
Sean \(a,b,c,d\) enteros tales que \(a>b>c>d>0\). Supongamos que \[ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Demostrar que \(ab+cd\) no es primo.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Al desarrollar la ecuación dada se obtiene \[ a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2. \] Denotemos este valor común por \(Q\), y sea \(p=ab+cd\).
En primer lugar, la misma igualdad da \[ (a-b-d)(a+b+d-c)=(b-c)(c-d)>0. \] Como \(a+b+d-c>0\), obtenemos \(a>b+d\). En consecuencia, \[ 0<Q=b(b+d)+d^2<ab+cd=p, \] donde hemos utilizado \(c>d>0\).
A continuación, tenemos la identidad \[ \begin{aligned} p(ab-bc-cd) &=(ab+cd)(ab-bc-cd)\\ &=b^2(a^2-ac)-c^2(bd+d^2)\\ &=b^2(Q-c^2)-c^2(Q-b^2)\\ &=(b^2-c^2)Q. \end{aligned} \] Por tanto, \(p\) divide a \((b^2-c^2)Q\). Pero \[ 0<b^2-c^2<b^2<ab<p \qquad\text{y}\qquad 0<Q<p. \] Si \(p\) fuera primo, dividiría a uno de estos dos factores positivos, ambos menores que \(p\). Esto es imposible. Por tanto, \(ab+cd\) no es primo. \(\square\)
La solución se comprobó con las notas de soluciones de la IMO publicadas por Evan Chen.
IMO 2001 · 问题 6
设 \(a,b,c,d\) 为整数，且 \(a>b>c>d>0\)。已知 \[ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). \] 证明：\(ab+cd\) 不是素数。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
展开题设等式，得到 \[ a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2. \] 将这个共同的值记为 \(Q\)，并令 \(p=ab+cd\)。
首先，由同一等式可得 \[ (a-b-d)(a+b+d-c)=(b-c)(c-d)>0. \] 由于 \(a+b+d-c>0\)，可得 \(a>b+d\)。因此， \[ 0<Q=b(b+d)+d^2<ab+cd=p, \] 其中用到了 \(c>d>0\)。
其次，有恒等式 \[ \begin{aligned} p(ab-bc-cd) &=(ab+cd)(ab-bc-cd)\\ &=b^2(a^2-ac)-c^2(bd+d^2)\\ &=b^2(Q-c^2)-c^2(Q-b^2)\\ &=(b^2-c^2)Q. \end{aligned} \] 所以 \(p\) 整除 \((b^2-c^2)Q\)。但是 \[ 0<b^2-c^2<b^2<ab<p \qquad\text{且}\qquad 0<Q<p. \] 如果 \(p\) 是素数，它就必须整除这两个正因子中的一个，而这两个因子都小于 \(p\)。这是不可能的。因此，\(ab+cd\) 不是素数。\(\square\)
解答已与 Evan Chen 发布的 IMO 解答笔记核对。
IMO 2001 · Задача 6
Пусть \(a,b,c,d\) — целые числа, для которых \(a>b>c>d>0\). Предположим, что \[ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Докажите, что \(ab+cd\) не является простым числом.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Раскрывая скобки в данном равенстве, получаем \[ a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2. \] Обозначим это общее значение через \(Q\) и положим \(p=ab+cd\).
Сначала из того же равенства получаем \[ (a-b-d)(a+b+d-c)=(b-c)(c-d)>0. \] Поскольку \(a+b+d-c>0\), имеем \(a>b+d\). Следовательно, \[ 0<Q=b(b+d)+d^2<ab+cd=p, \] где мы воспользовались тем, что \(c>d>0\).
Далее, справедливо тождество \[ \begin{aligned} p(ab-bc-cd) &=(ab+cd)(ab-bc-cd)\\ &=b^2(a^2-ac)-c^2(bd+d^2)\\ &=b^2(Q-c^2)-c^2(Q-b^2)\\ &=(b^2-c^2)Q. \end{aligned} \] Таким образом, \(p\) делит \((b^2-c^2)Q\). Но \[ 0<b^2-c^2<b^2<ab<p \qquad\text{и}\qquad 0<Q<p. \] Если бы \(p\) было простым числом, оно делило бы один из этих двух положительных множителей, каждый из которых меньше \(p\). Это невозможно. Следовательно, \(ab+cd\) не является простым числом. \(\square\)
Решение проверено по опубликованным заметкам Эвана Чена с решениями IMO.
IMO 2001 · المسألة 6
لتكن \(a,b,c,d\) أعدادًا صحيحة تحقق \(a>b>c>d>0\). افترض أن \[ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c). \] أثبت أن \(ab+cd\) ليس عددًا أوليًا.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
بنشر المعادلة المعطاة نحصل على \[ a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2. \] لنرمز إلى هذه القيمة المشتركة بـ \(Q\)، ولنضع \(p=ab+cd\).
أولًا، تعطينا المساواة نفسها \[ (a-b-d)(a+b+d-c)=(b-c)(c-d)>0. \] وبما أن \(a+b+d-c>0\)، نحصل على \(a>b+d\). وعليه، \[ 0<Q=b(b+d)+d^2<ab+cd=p, \] حيث استخدمنا \(c>d>0\).
بعد ذلك، لدينا المتطابقة \[ \begin{aligned} p(ab-bc-cd) &=(ab+cd)(ab-bc-cd)\\ &=b^2(a^2-ac)-c^2(bd+d^2)\\ &=b^2(Q-c^2)-c^2(Q-b^2)\\ &=(b^2-c^2)Q. \end{aligned} \] إذن \(p\) يقسم \((b^2-c^2)Q\). لكن \[ 0<b^2-c^2<b^2<ab<p \qquad\text{و}\qquad 0<Q<p. \] لو كان \(p\) أوليًا، لقسم أحد هذين العاملين الموجبين، وكلاهما أصغر من \(p\). وهذا مستحيل. إذن \(ab+cd\) ليس عددًا أوليًا. \(\square\)
تمت مراجعة الحل بمقارنته بملاحظات حلول IMO المنشورة لإيفان تشين.