IMO 1998

6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)

1. Problem 1

   In the convex quadrilateral \(ABCD\), the diagonals \(AC\) and \(BD\) are perpendicular and the opposite sides \(AB\) and \(DC\) are not parallel. Suppose that the point \(P\), where the perpendicular bisectors of \(AB\) and \(DC\) meet, is inside \(ABCD\). Prove that \(ABCD\) is a cyclic quadrilateral if and only if the triangles \(ABP\) and \(CDP\) have equal areas.

   Solution →

2. Problem 2

   In a competition, there are \(a\) contestants and \(b\) judges, where \(b \geq 3\) is an odd integer. Each judge rates each contestant as either “pass” or “fail”. Suppose \(k\) is a number such that, for any two judges, their ratings coincide for at most \(k\) contestants. Prove that \(k/a \geq (b - 1)/(2b)\).

   Solution →

3. Problem 3

   For any positive integer \(n\), let \(d(n)\) denote the number of positive divisors of \(n\) (including \(1\) and \(n\) itself). Determine all positive integers \(k\) such that \(d(n^2)/d(n) = k\) for some \(n\).

   Solution →

4. Problem 4

   Determine all pairs \((a, b)\) of positive integers such that \(ab^2+b+7\) divides \(a^2b+a+b\).

   Solution →

5. Problem 5

   Let \(I\) be the incenter of triangle \(ABC\). Let the incircle of \(ABC\) touch the sides \(BC\), \(CA\), and \(AB\) at \(K\), \(L\), and \(M\), respectively. The line through \(B\) parallel to \(MK\) meets the lines \(LM\) and \(LK\) at \(R\) and \(S\), respectively. Prove that angle \(RIS\) is acute.

   Solution →

6. Problem 6

   Consider all functions \(f\) from the set \(N\) of all positive integers into itself satisfying \(f(t^2f(s))=s(f(t))^2\) for all \(s\) and \(t\) in \(N\). Determine the least possible value of \(f(1998)\).

   Solution →

All years

IMO 1998

6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)

1. Aufgabe 1

   Im konvexen Viereck \(ABCD\) stehen die Diagonalen \(AC\) und \(BD\) senkrecht aufeinander, und die gegenüberliegenden Seiten \(AB\) und \(DC\) sind nicht parallel. Der Schnittpunkt \(P\) der Mittelsenkrechten von \(AB\) und \(DC\) liege im Inneren von \(ABCD\). Beweise, dass \(ABCD\) genau dann ein Sehnenviereck ist, wenn die Dreiecke \(ABP\) und \(CDP\) denselben Flächeninhalt haben.

   Lösung →

2. Aufgabe 2

   An einem Wettbewerb nehmen \(a\) Teilnehmer und \(b\) Juroren teil, wobei \(b \geq 3\) eine ungerade ganze Zahl ist. Jeder Juror bewertet jeden Teilnehmer entweder mit „bestanden“ oder mit „nicht bestanden“. Sei \(k\) eine Zahl mit der Eigenschaft, dass die Bewertungen je zweier Juroren bei höchstens \(k\) Teilnehmern übereinstimmen. Beweise, dass \(k/a \geq (b - 1)/(2b)\).

   Lösung →

3. Aufgabe 3

   Für jede positive ganze Zahl \(n\) bezeichne \(d(n)\) die Anzahl der positiven Teiler von \(n\) (einschließlich \(1\) und \(n\) selbst). Bestimme alle positiven ganzen Zahlen \(k\), für die \(d(n^2)/d(n) = k\) für mindestens ein \(n\) gilt.

   Lösung →

4. Aufgabe 4

   Bestimme alle Paare \((a, b)\) positiver ganzer Zahlen, für die \(ab^2+b+7\) ein Teiler von \(a^2b+a+b\) ist.

   Lösung →

5. Aufgabe 5

   Sei \(I\) der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(ABC\). Der Inkreis von \(ABC\) berühre die Seiten \(BC\), \(CA\) und \(AB\) in \(K\), \(L\) bzw. \(M\). Die Parallele zu \(MK\) durch \(B\) schneide die Geraden \(LM\) und \(LK\) in \(R\) bzw. \(S\). Beweise, dass der Winkel \(RIS\) spitz ist.

   Lösung →

6. Aufgabe 6

   Betrachte alle Funktionen \(f\) von der Menge \(N\) aller positiven ganzen Zahlen in sich selbst, die \(f(t^2f(s))=s(f(t))^2\) für alle \(s\) und \(t\) aus \(N\) erfüllen. Bestimme den kleinstmöglichen Wert von \(f(1998)\).

   Lösung →

Alle Jahrgänge

IMO 1998

6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)

1. Soru 1

   Dışbükey bir \(ABCD\) dörtgeninde \(AC\) ve \(BD\) köşegenleri birbirine diktir ve karşılıklı \(AB\) ve \(DC\) kenarları paralel değildir. \(AB\) ve \(DC\) kenarlarının orta dikmelerinin kesiştiği \(P\) noktasının \(ABCD\) dörtgeninin içinde olduğunu varsayalım. \(ABCD\) dörtgeninin çembersel olması için gerek ve yeter koşulun \(ABP\) ve \(CDP\) üçgenlerinin alanlarının eşit olması olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

2. Soru 2

   Bir yarışmada \(a\) yarışmacı ve \(b\) jüri üyesi vardır; burada \(b \geq 3\) tek bir tam sayıdır. Her jüri üyesi her yarışmacıyı “başarılı” ya da “başarısız” olarak değerlendirir. Herhangi iki jüri üyesinin değerlendirmelerinin en fazla \(k\) yarışmacı için aynı olduğu bir \(k\) sayısı verilsin. \(k/a \geq (b - 1)/(2b)\) olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

3. Soru 3

   Her pozitif \(n\) tam sayısı için \(d(n)\), \(n\)'nin pozitif bölenlerinin sayısını (\(1\) ve \(n\)'nin kendisi dâhil) göstersin. Bir \(n\) için \(d(n^2)/d(n) = k\) eşitliğini sağlayan tüm pozitif \(k\) tam sayılarını bulunuz.

   Çözüm →

4. Soru 4

   \(ab^2+b+7\) sayısının \(a^2b+a+b\) sayısını böldüğü tüm pozitif tam sayı çiftlerini \((a, b)\) bulunuz.

   Çözüm →

5. Soru 5

   \(I\), \(ABC\) üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olsun. \(ABC\)'nin iç teğet çemberi \(BC\), \(CA\) ve \(AB\) kenarlarına sırasıyla \(K\), \(L\) ve \(M\) noktalarında teğet olsun. \(B\)'den geçen ve \(MK\)'ye paralel olan doğru, \(LM\) ve \(LK\) doğrularını sırasıyla \(R\) ve \(S\) noktalarında kesiyor. \(RIS\) açısının dar açı olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

6. Soru 6

   Tüm pozitif tam sayılar kümesi \(N\)'den kendisine tanımlı, \(N\)'deki tüm \(s\) ve \(t\) için \(f(t^2f(s))=s(f(t))^2\) eşitliğini sağlayan tüm \(f\) fonksiyonlarını ele alalım. \(f(1998)\)'in alabileceği en küçük değeri bulunuz.

   Çözüm →

Tüm yıllar

IMO 1998

6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)

1. Problema 1

   En el cuadrilátero convexo \(ABCD\), las diagonales \(AC\) y \(BD\) son perpendiculares y los lados opuestos \(AB\) y \(DC\) no son paralelos. Supongamos que el punto \(P\), en el que se cortan las mediatrices de \(AB\) y \(DC\), está en el interior de \(ABCD\). Demostrar que \(ABCD\) es un cuadrilátero cíclico si y solo si los triángulos \(ABP\) y \(CDP\) tienen la misma área.

   Solución →

2. Problema 2

   En una competición hay \(a\) concursantes y \(b\) jueces, donde \(b \geq 3\) es un entero impar. Cada juez califica a cada concursante como «aprobado» o «suspenso». Supongamos que \(k\) es un número tal que, para cualesquiera dos jueces, sus calificaciones coinciden para a lo sumo \(k\) concursantes. Demostrar que \(k/a \geq (b - 1)/(2b)\).

   Solución →

3. Problema 3

   Para cada entero positivo \(n\), sea \(d(n)\) el número de divisores positivos de \(n\) (incluidos \(1\) y el propio \(n\)). Determinar todos los enteros positivos \(k\) tales que \(d(n^2)/d(n) = k\) para algún \(n\).

   Solución →

4. Problema 4

   Determinar todos los pares \((a, b)\) de enteros positivos tales que \(ab^2+b+7\) divide a \(a^2b+a+b\).

   Solución →

5. Problema 5

   Sea \(I\) el incentro del triángulo \(ABC\). La circunferencia inscrita de \(ABC\) es tangente a los lados \(BC\), \(CA\) y \(AB\) en \(K\), \(L\) y \(M\), respectivamente. La recta que pasa por \(B\) y es paralela a \(MK\) corta a las rectas \(LM\) y \(LK\) en \(R\) y \(S\), respectivamente. Demostrar que el ángulo \(RIS\) es agudo.

   Solución →

6. Problema 6

   Consideremos todas las funciones \(f\) del conjunto \(N\) de todos los enteros positivos en sí mismo que satisfacen \(f(t^2f(s))=s(f(t))^2\) para todos \(s\) y \(t\) en \(N\). Determinar el menor valor posible de \(f(1998)\).

   Solución →

Todos los años

IMO 1998

6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)

1. 问题 1

   在凸四边形 \(ABCD\) 中，对角线 \(AC\) 与 \(BD\) 垂直，且对边 \(AB\) 与 \(DC\) 不平行。设 \(AB\) 与 \(DC\) 的垂直平分线交于点 \(P\)，且 \(P\) 位于 \(ABCD\) 内部。证明：\(ABCD\) 是圆内接四边形，当且仅当三角形 \(ABP\) 与 \(CDP\) 的面积相等。

   解答 →

2. 问题 2

   一场竞赛有 \(a\) 名参赛者和 \(b\) 名评委，其中 \(b \geq 3\) 是奇整数。每位评委对每名参赛者的评定均为“通过”或“不通过”。设数 \(k\) 满足：对于任意两位评委，他们给出相同评定的参赛者至多有 \(k\) 名。证明：\(k/a \geq (b - 1)/(2b)\)。

   解答 →

3. 问题 3

   对于任意正整数 \(n\)，用 \(d(n)\) 表示 \(n\) 的正因数个数（包括 \(1\) 和 \(n\) 本身）。求所有正整数 \(k\)，使得存在某个 \(n\) 满足 \(d(n^2)/d(n) = k\)。

   解答 →

4. 问题 4

   求所有正整数对 \((a, b)\)，使得 \(ab^2+b+7\) 整除 \(a^2b+a+b\)。

   解答 →

5. 问题 5

   设 \(I\) 为三角形 \(ABC\) 的内心。设 \(ABC\) 的内切圆分别与边 \(BC\)、\(CA\) 和 \(AB\) 相切于 \(K\)、\(L\) 和 \(M\)。过 \(B\) 作平行于 \(MK\) 的直线，分别交直线 \(LM\) 和 \(LK\) 于 \(R\) 和 \(S\)。证明角 \(RIS\) 为锐角。

   解答 →

6. 问题 6

   考虑所有从正整数集 \(N\) 到其自身的函数 \(f\)，满足对 \(N\) 中任意的 \(s\) 和 \(t\)，都有 \(f(t^2f(s))=s(f(t))^2\)。求 \(f(1998)\) 的最小可能值。

   解答 →

所有年份

IMO 1998

6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)

1. Задача 1

   В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны, а противоположные стороны \(AB\) и \(DC\) не параллельны. Пусть точка \(P\) пересечения серединных перпендикуляров к \(AB\) и \(DC\) лежит внутри \(ABCD\). Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) является вписанным тогда и только тогда, когда треугольники \(ABP\) и \(CDP\) имеют равные площади.

   Решение →

2. Задача 2

   В конкурсе участвуют \(a\) конкурсантов и \(b\) судей, где \(b \geq 3\) — нечётное целое число. Каждый судья ставит каждому конкурсанту одну из двух оценок: «зачёт» или «незачёт». Пусть \(k\) — такое число, что оценки любых двух судей совпадают не более чем для \(k\) конкурсантов. Докажите, что \(k/a \geq (b - 1)/(2b)\).

   Решение →

3. Задача 3

   Для каждого положительного целого числа \(n\) обозначим через \(d(n)\) число его положительных делителей (включая \(1\) и само \(n\)). Найдите все положительные целые числа \(k\), для которых \(d(n^2)/d(n) = k\) при некотором \(n\).

   Решение →

4. Задача 4

   Найдите все пары \((a, b)\) положительных целых чисел, для которых \(ab^2+b+7\) делит \(a^2b+a+b\).

   Решение →

5. Задача 5

   Пусть \(I\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). Пусть вписанная окружность треугольника \(ABC\) касается сторон \(BC\), \(CA\) и \(AB\) в точках \(K\), \(L\) и \(M\) соответственно. Прямая, проходящая через \(B\) параллельно \(MK\), пересекает прямые \(LM\) и \(LK\) в точках \(R\) и \(S\) соответственно. Докажите, что угол \(RIS\) острый.

   Решение →

6. Задача 6

   Рассмотрим все функции \(f\) из множества \(N\) всех положительных целых чисел в себя, удовлетворяющие равенству \(f(t^2f(s))=s(f(t))^2\) для всех \(s\) и \(t\) из \(N\). Найдите наименьшее возможное значение \(f(1998)\).

   Решение →

Все годы

IMO 1998

6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)

1. المسألة 1

   في الرباعي المحدب \(ABCD\)، القطران \(AC\) و\(BD\) متعامدان، والضلعان المتقابلان \(AB\) و\(DC\) غير متوازيين. افترض أن نقطة تقاطع العمودين المنصفين للقطعتين \(AB\) و\(DC\)، وهي النقطة \(P\)، تقع داخل \(ABCD\). أثبت أن \(ABCD\) رباعي دائري إذا وفقط إذا كانت مساحتا المثلثين \(ABP\) و\(CDP\) متساويتين.

   ← الحل

2. المسألة 2

   في مسابقة، يوجد \(a\) متسابقًا و\(b\) حكمًا، حيث \(b \geq 3\) عدد صحيح فردي. يقيّم كل حكم كل متسابق إما بـ«ناجح» أو بـ«راسب». افترض أن \(k\) عدد بحيث تتطابق تقييمات أي حكمين لعدد لا يتجاوز \(k\) من المتسابقين. أثبت أن \(k/a \geq (b - 1)/(2b)\).

   ← الحل

3. المسألة 3

   لكل عدد صحيح موجب \(n\)، ليكن \(d(n)\) عدد القواسم الموجبة للعدد \(n\) (بما فيها \(1\) والعدد \(n\) نفسه). أوجد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \(k\) التي تحقق \(d(n^2)/d(n) = k\) لبعض \(n\).

   ← الحل

4. المسألة 4

   أوجد جميع أزواج الأعداد الصحيحة الموجبة \((a, b)\) بحيث يقسم \(ab^2+b+7\) العدد \(a^2b+a+b\).

   ← الحل

5. المسألة 5

   ليكن \(I\) مركز الدائرة الداخلية للمثلث \(ABC\). ولتكن الدائرة الداخلية للمثلث \(ABC\) مماسة للأضلاع \(BC\) و\(CA\) و\(AB\) عند \(K\) و\(L\) و\(M\)، على الترتيب. يقطع المستقيم المار بـ\(B\) والموازي لـ\(MK\) المستقيمين \(LM\) و\(LK\) عند \(R\) و\(S\)، على الترتيب. أثبت أن الزاوية \(RIS\) حادة.

   ← الحل

6. المسألة 6

   اعتبر جميع الدوال \(f\) من مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة \(N\) إلى نفسها التي تحقق \(f(t^2f(s))=s(f(t))^2\) لكل \(s\) و\(t\) في \(N\). أوجد أصغر قيمة ممكنة لـ\(f(1998)\).

   ← الحل

جميع السنوات