IMO 1967 · Problem 6
In a sports contest, there were \(m\) medals awarded on \(n\) successive days (\(n > 1\)). On the first day, one medal and \(1/7\) of the remaining \(m - 1\) medals were awarded. On the second day, two medals and \(1/7\) of the now remaining medals were awarded; and so on. On the \(n\)-th and last day, the remaining \(n\) medals were awarded. How many days did the contest last, and how many medals were awarded altogether?
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
The contest lasted \(\boxed{6}\) days, and \(\boxed{36}\) medals were awarded altogether.
Solution
Let \(a_k\) be the number of medals awarded on day \(k\). After the first \(k\) medals are awarded that day, one seventh of those remaining is awarded. This seventh equals \(a_k-k\), so the number left at the end of day \(k\) is \[ 6(a_k-k). \] Consequently, for \(1\le k<n\), \[ a_{k+1} =(k+1)+\frac{6(a_k-k)-(k+1)}7 =\frac{6(a_k+1)}7. \] This also applies when \(k+1=n\), since on the last day the initial \(n\) medals exhaust the supply, leaving a seventh of zero.
Thus \[ 7(a_{k+1}-6)=6(a_k-6). \] Iterating and using \(a_n=n\), we obtain \[ 7^{\,n-1}(n-6)=6^{\,n-1}(a_1-6). \] All medal counts are integers, and \(6^{n-1}\) and \(7^{n-1}\) are coprime. Therefore \[ 6^{\,n-1}\mid n-6. \]
However, for every integer \(n\ge2\), the binomial theorem gives \[ 6^{\,n-1}=(1+5)^{n-1}\ge 1+5(n-1)=5n-4>|n-6|. \] For the last inequality, if \(2\le n\le6\), the difference is \(6n-10>0\); if \(n\ge6\), it is \(4n+2>0\). The only multiple of \(6^{n-1}\) with smaller absolute value is zero. Hence \(n=6\).
The iterated identity now gives \(a_1=6\), so \[ 1+\frac{m-1}{7}=6, \] which yields \(m=36\).
Finally, these values satisfy every requirement. If six medals are awarded each day, then before day \(k\) there are \(36-6(k-1)\) medals. After the first \(k\) are awarded, there remain \[ 36-6(k-1)-k=7(6-k) \] medals, a nonnegative multiple of seven for \(1\le k\le6\). The day's total is therefore \(k+(6-k)=6\). On the sixth day exactly six medals remain, and all are awarded.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1967 · Aufgabe 6
Bei einem Sportwettkampf wurden an \(n\) aufeinanderfolgenden Tagen (\(n > 1\)) insgesamt \(m\) Medaillen vergeben. Am ersten Tag wurden eine Medaille und \(1/7\) der verbleibenden \(m - 1\) Medaillen vergeben. Am zweiten Tag wurden zwei Medaillen und \(1/7\) der nun verbleibenden Medaillen vergeben; und so weiter. Am \(n\)-ten und letzten Tag wurden die verbleibenden \(n\) Medaillen vergeben. Wie viele Tage dauerte der Wettkampf, und wie viele Medaillen wurden insgesamt vergeben?
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Der Wettkampf dauerte \(\boxed{6}\) Tage, und insgesamt wurden \(\boxed{36}\) Medaillen vergeben.
Lösung
Es sei \(a_k\) die Anzahl der am Tag \(k\) vergebenen Medaillen. Nachdem an diesem Tag die ersten \(k\) Medaillen vergeben worden sind, wird ein Siebtel der verbleibenden vergeben. Dieses Siebtel ist gleich \(a_k-k\), also beträgt die Anzahl der am Ende von Tag \(k\) verbleibenden Medaillen \[ 6(a_k-k). \] Folglich gilt für \(1\le k<n\) \[ a_{k+1} =(k+1)+\frac{6(a_k-k)-(k+1)}7 =\frac{6(a_k+1)}7. \] Dies gilt auch für \(k+1=n\), da am letzten Tag die ersten \(n\) Medaillen den Vorrat aufbrauchen und somit ein Siebtel von null übrig bleibt.
Somit gilt \[ 7(a_{k+1}-6)=6(a_k-6). \] Durch wiederholte Anwendung und unter Verwendung von \(a_n=n\) erhalten wir \[ 7^{\,n-1}(n-6)=6^{\,n-1}(a_1-6). \] Alle Medaillenanzahlen sind ganzzahlig, und \(6^{n-1}\) und \(7^{n-1}\) sind teilerfremd. Daher gilt \[ 6^{\,n-1}\mid n-6. \]
Für jede ganze Zahl \(n\ge2\) ergibt der binomische Lehrsatz jedoch \[ 6^{\,n-1}=(1+5)^{n-1}\ge 1+5(n-1)=5n-4>|n-6|. \] Zur letzten Ungleichung: Für \(2\le n\le6\) beträgt die Differenz \(6n-10>0\); für \(n\ge6\) beträgt sie \(4n+2>0\). Das einzige Vielfache von \(6^{n-1}\) mit kleinerem Betrag ist null. Daher ist \(n=6\).
Die durch wiederholte Anwendung erhaltene Identität ergibt nun \(a_1=6\), also gilt \[ 1+\frac{m-1}{7}=6, \] woraus \(m=36\) folgt.
Schließlich erfüllen diese Werte alle Anforderungen. Werden jeden Tag sechs Medaillen vergeben, so sind vor Tag \(k\) noch \(36-6(k-1)\) Medaillen vorhanden. Nach der Vergabe der ersten \(k\) verbleiben \[ 36-6(k-1)-k=7(6-k) \] Medaillen, also für \(1\le k\le6\) ein nichtnegatives Vielfaches von sieben. Die Gesamtzahl der an diesem Tag vergebenen Medaillen beträgt daher \(k+(6-k)=6\). Am sechsten Tag verbleiben genau sechs Medaillen, die alle vergeben werden.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1967 · Soru 6
Bir spor yarışmasında art arda \(n\) gün boyunca \(m\) madalya dağıtılmıştır (\(n > 1\)). İlk gün bir madalya ve kalan \(m - 1\) madalyanın \(1/7\)'si dağıtılmıştır. İkinci gün iki madalya ve bundan sonra kalan madalyaların \(1/7\)'si dağıtılmış; sonraki günlerde de aynı biçimde devam edilmiştir. \(n\). ve son gün, kalan \(n\) madalya dağıtılmıştır. Yarışma kaç gün sürmüş ve toplam kaç madalya dağıtılmıştır?
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
Yarışma \(\boxed{6}\) gün sürmüş ve toplam \(\boxed{36}\) madalya dağıtılmıştır.
Çözüm
\(k\). gün dağıtılan madalya sayısı \(a_k\) olsun. O gün ilk \(k\) madalya dağıtıldıktan sonra kalanların yedide biri dağıtılır. Bu yedide birlik kısım \(a_k-k\)'ye eşit olduğundan, \(k\). günün sonunda kalan madalya sayısı \[ 6(a_k-k) \] olur. Dolayısıyla, \(1\le k<n\) için \[ a_{k+1} =(k+1)+\frac{6(a_k-k)-(k+1)}7 =\frac{6(a_k+1)}7. \] Bu bağıntı \(k+1=n\) olduğunda da geçerlidir; çünkü son gün ilk \(n\) madalya dağıtıldığında tüm madalyalar tükenir ve geriye sıfırın yedide biri kalır.
Böylece \[ 7(a_{k+1}-6)=6(a_k-6). \] Bu bağıntıyı art arda uygulayıp \(a_n=n\) eşitliğini kullanarak \[ 7^{\,n-1}(n-6)=6^{\,n-1}(a_1-6) \] elde ederiz. Tüm madalya sayıları tam sayıdır; ayrıca \(6^{n-1}\) ve \(7^{n-1}\) aralarında asaldır. Bu nedenle \[ 6^{\,n-1}\mid n-6. \]
Ancak her \(n\ge2\) tam sayısı için binom teoreminden \[ 6^{\,n-1}=(1+5)^{n-1}\ge 1+5(n-1)=5n-4>|n-6| \] elde edilir. Son eşitsizlik için, \(2\le n\le6\) ise fark \(6n-10>0\); \(n\ge6\) ise fark \(4n+2>0\) olur. \(6^{n-1}\)'in mutlak değeri kendisinden küçük olan tek tam sayı katı sıfırdır. Dolayısıyla \(n=6\) olur.
Art arda uygulamayla elde edilen özdeşlik şimdi \(a_1=6\) verir; dolayısıyla \[ 1+\frac{m-1}{7}=6, \] buradan da \(m=36\) bulunur.
Son olarak, bu değerler tüm koşulları sağlar. Her gün altı madalya dağıtılırsa, \(k\). günden önce \(36-6(k-1)\) madalya vardır. İlk \(k\) madalya dağıtıldıktan sonra geriye \[ 36-6(k-1)-k=7(6-k) \] madalya kalır; bu sayı \(1\le k\le6\) için yedinin negatif olmayan bir katıdır. Dolayısıyla o gün dağıtılan toplam madalya sayısı \(k+(6-k)=6\) olur. Altıncı gün tam olarak altı madalya kalır ve hepsi dağıtılır.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1967 · Problema 6
En una competición deportiva se entregaron \(m\) medallas a lo largo de \(n\) días consecutivos (\(n > 1\)). El primer día se entregaron una medalla y \(1/7\) de las \(m - 1\) medallas restantes. El segundo día se entregaron dos medallas y \(1/7\) de las medallas que quedaban entonces; y así sucesivamente. El día \(n\)-ésimo y último se entregaron las \(n\) medallas restantes. ¿Cuántos días duró la competición y cuántas medallas se entregaron en total?
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
La competición duró \(\boxed{6}\) días y se entregaron \(\boxed{36}\) medallas en total.
Solución
Sea \(a_k\) el número de medallas entregadas el día \(k\). Después de entregar las primeras \(k\) medallas de ese día, se entrega una séptima parte de las que quedan. Esta séptima parte es igual a \(a_k-k\), por lo que el número de medallas que quedan al final del día \(k\) es \[ 6(a_k-k). \] Por consiguiente, para \(1\le k<n\), \[ a_{k+1} =(k+1)+\frac{6(a_k-k)-(k+1)}7 =\frac{6(a_k+1)}7. \] Esto también se aplica cuando \(k+1=n\), ya que el último día las \(n\) medallas iniciales agotan las existencias y queda una séptima parte de cero.
Así, \[ 7(a_{k+1}-6)=6(a_k-6). \] Iterando y usando \(a_n=n\), obtenemos \[ 7^{\,n-1}(n-6)=6^{\,n-1}(a_1-6). \] Todas las cantidades de medallas son enteras, y \(6^{n-1}\) y \(7^{n-1}\) son primos entre sí. Por tanto, \[ 6^{\,n-1}\mid n-6. \]
Sin embargo, para todo entero \(n\ge2\), el teorema del binomio da \[ 6^{\,n-1}=(1+5)^{n-1}\ge 1+5(n-1)=5n-4>|n-6|. \] Para la última desigualdad, si \(2\le n\le6\), la diferencia es \(6n-10>0\); si \(n\ge6\), es \(4n+2>0\). El único múltiplo de \(6^{n-1}\) con menor valor absoluto es cero. Por ello, \(n=6\).
La identidad iterada da ahora \(a_1=6\), por lo que \[ 1+\frac{m-1}{7}=6, \] de donde se obtiene \(m=36\).
Finalmente, estos valores satisfacen todas las condiciones. Si se entregan seis medallas cada día, antes del día \(k\) hay \(36-6(k-1)\) medallas. Después de entregar las primeras \(k\), quedan \[ 36-6(k-1)-k=7(6-k) \] medallas, una cantidad que es un múltiplo no negativo de siete para \(1\le k\le6\). Por tanto, el total de ese día es \(k+(6-k)=6\). El sexto día quedan exactamente seis medallas y se entregan todas.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1967 · 问题 6
在一次体育比赛中，连续 \(n\) 天共颁发了 \(m\) 枚奖牌（\(n > 1\)）。第一天，先颁发一枚奖牌，再颁发剩余 \(m - 1\) 枚奖牌的 \(1/7\)。第二天，先颁发两枚奖牌，再颁发此时剩余奖牌的 \(1/7\)；以后依此类推。在第 \(n\) 天，即最后一天，颁发了剩余的 \(n\) 枚奖牌。比赛共持续了多少天，总共颁发了多少枚奖牌？
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
比赛共持续了 \(\boxed{6}\) 天，总共颁发了 \(\boxed{36}\) 枚奖牌。
解答
设 \(a_k\) 为第 \(k\) 天颁发的奖牌数。当天先颁发 \(k\) 枚奖牌后，再颁发剩余奖牌的七分之一。这七分之一等于 \(a_k-k\)，所以第 \(k\) 天结束时剩余的奖牌数为 \[ 6(a_k-k). \] 因此，对于 \(1\le k<n\)， \[ a_{k+1} =(k+1)+\frac{6(a_k-k)-(k+1)}7 =\frac{6(a_k+1)}7. \] 当 \(k+1=n\) 时，这也成立，因为最后一天最先颁发的 \(n\) 枚奖牌已将全部奖牌发完，余下需颁发的七分之一为零。
于是 \[ 7(a_{k+1}-6)=6(a_k-6). \] 反复应用此式，并利用 \(a_n=n\)，得 \[ 7^{\,n-1}(n-6)=6^{\,n-1}(a_1-6). \] 所有奖牌数都是整数，且 \(6^{n-1}\) 与 \(7^{n-1}\) 互素。因此 \[ 6^{\,n-1}\mid n-6. \]
然而，对于每个整数 \(n\ge2\)，由二项式定理可得 \[ 6^{\,n-1}=(1+5)^{n-1}\ge 1+5(n-1)=5n-4>|n-6|. \] 对于最后一个不等式，若 \(2\le n\le6\)，则两边之差为 \(6n-10>0\)；若 \(n\ge6\)，则两边之差为 \(4n+2>0\)。绝对值小于 \(6^{n-1}\) 的 \(6^{n-1}\) 的倍数只能是零。因此 \(n=6\)。
此时，由反复应用所得的恒等式可得 \(a_1=6\)，所以 \[ 1+\frac{m-1}{7}=6, \] 解得 \(m=36\)。
最后，这些数值满足所有要求。若每天颁发六枚奖牌，则第 \(k\) 天开始前有 \(36-6(k-1)\) 枚奖牌。先颁发 \(k\) 枚后，还剩 \[ 36-6(k-1)-k=7(6-k) \] 枚奖牌，当 \(1\le k\le6\) 时，这是七的非负整数倍。因此当天颁发的总数为 \(k+(6-k)=6\)。第六天恰好剩余六枚奖牌，并全部颁发。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1967 · Задача 6
На спортивных соревнованиях в течение \(n\) последовательных дней (\(n > 1\)) было вручено \(m\) медалей. В первый день вручили одну медаль и \(1/7\) от оставшихся \(m - 1\) медалей. Во второй день вручили две медали и \(1/7\) от оставшихся после этого медалей; и так далее. В \(n\)-й, последний день вручили оставшиеся \(n\) медалей. Сколько дней длились соревнования и сколько всего медалей было вручено?
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Соревнования длились \(\boxed{6}\) дней, и всего было вручено \(\boxed{36}\) медалей.
Решение
Пусть \(a_k\) — число медалей, вручённых в день \(k\). После вручения первых \(k\) медалей в этот день вручают одну седьмую оставшихся. Эта седьмая часть равна \(a_k-k\), поэтому число медалей, оставшихся к концу дня \(k\), равно \[ 6(a_k-k). \] Следовательно, при \(1\le k<n\) \[ a_{k+1} =(k+1)+\frac{6(a_k-k)-(k+1)}7 =\frac{6(a_k+1)}7. \] Это верно и при \(k+1=n\), поскольку в последний день вручение первых \(n\) медалей исчерпывает весь запас, после чего седьмая часть остатка равна нулю.
Таким образом, \[ 7(a_{k+1}-6)=6(a_k-6). \] Последовательно применяя это равенство и используя \(a_n=n\), получаем \[ 7^{\,n-1}(n-6)=6^{\,n-1}(a_1-6). \] Все количества медалей — целые числа, а \(6^{n-1}\) и \(7^{n-1}\) взаимно просты. Поэтому \[ 6^{\,n-1}\mid n-6. \]
Однако для каждого целого \(n\ge2\) по биному Ньютона \[ 6^{\,n-1}=(1+5)^{n-1}\ge 1+5(n-1)=5n-4>|n-6|. \] В последнем неравенстве при \(2\le n\le6\) разность равна \(6n-10>0\); при \(n\ge6\) она равна \(4n+2>0\). Единственное кратное \(6^{n-1}\), меньшее этого числа по модулю, — нуль. Следовательно, \(n=6\).
Полученное последовательным применением равенства тождество теперь даёт \(a_1=6\), поэтому \[ 1+\frac{m-1}{7}=6, \] откуда \(m=36\).
Наконец, эти значения удовлетворяют всем условиям. Если каждый день вручают шесть медалей, то перед днём \(k\) имеется \(36-6(k-1)\) медалей. После вручения первых \(k\) остаётся \[ 36-6(k-1)-k=7(6-k) \] медалей — неотрицательное число, кратное семи, при \(1\le k\le6\). Поэтому всего за день вручают \(k+(6-k)=6\) медалей. На шестой день остаётся ровно шесть медалей, и все они вручаются.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1967 · المسألة 6
في مسابقة رياضية، وُزِّعت \(m\) ميدالية خلال \(n\) أيام متتالية (\(n > 1\)). في اليوم الأول، وُزِّعت ميدالية واحدة و\(1/7\) الميداليات الـ\(m - 1\) المتبقية. وفي اليوم الثاني، وُزِّعت ميداليتان و\(1/7\) الميداليات المتبقية بعد ذلك؛ وهكذا. وفي اليوم الـ\(n\) والأخير، وُزِّعت الميداليات الـ\(n\) المتبقية. كم يومًا استمرت المسابقة، وكم ميدالية وُزِّعت إجمالًا؟
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
استمرت المسابقة \(\boxed{6}\) أيام، ووُزِّعت \(\boxed{36}\) ميدالية إجمالًا.
الحل
ليكن \(a_k\) عدد الميداليات الموزعة في اليوم \(k\). بعد توزيع أول \(k\) ميداليات في ذلك اليوم، يُوزَّع سُبع الميداليات المتبقية. يساوي هذا السُّبع \(a_k-k\)، لذا فإن عدد الميداليات المتبقية في نهاية اليوم \(k\) هو \[ 6(a_k-k). \] وبالتالي، لكل \(1\le k<n\)، \[ a_{k+1} =(k+1)+\frac{6(a_k-k)-(k+1)}7 =\frac{6(a_k+1)}7. \] وينطبق ذلك أيضًا عندما \(k+1=n\)، لأن توزيع الميداليات الـ\(n\) الأولى في اليوم الأخير يستنفد الميداليات، فلا يبقى إلا سُبع الصفر.
إذن \[ 7(a_{k+1}-6)=6(a_k-6). \] بتكرار هذه العلاقة واستخدام \(a_n=n\)، نحصل على \[ 7^{\,n-1}(n-6)=6^{\,n-1}(a_1-6). \] جميع أعداد الميداليات أعداد صحيحة، و\(6^{n-1}\) و\(7^{n-1}\) أوليان فيما بينهما. لذلك \[ 6^{\,n-1}\mid n-6. \]
لكن، لكل عدد صحيح \(n\ge2\)، تعطي نظرية ذات الحدين \[ 6^{\,n-1}=(1+5)^{n-1}\ge 1+5(n-1)=5n-4>|n-6|. \] بالنسبة إلى المتباينة الأخيرة، إذا كان \(2\le n\le6\)، فإن الفرق هو \(6n-10>0\)؛ وإذا كان \(n\ge6\)، فهو \(4n+2>0\). والمضاعف الوحيد للعدد \(6^{n-1}\) الذي قيمته المطلقة أصغر منه هو الصفر. ومن ثم \(n=6\).
تعطي المتطابقة الناتجة عن التكرار الآن \(a_1=6\)، ولذلك \[ 1+\frac{m-1}{7}=6, \] ومنها \(m=36\).
أخيرًا، تحقق هذه القيم جميع الشروط. إذا وُزِّعت ست ميداليات كل يوم، فإن عدد الميداليات قبل اليوم \(k\) هو \(36-6(k-1)\). وبعد توزيع أول \(k\) ميداليات، يتبقى \[ 36-6(k-1)-k=7(6-k) \] ميدالية، وهو مضاعف غير سالب للعدد سبعة لكل \(1\le k\le6\). ومن ثم يكون مجموع ما وُزِّع في ذلك اليوم \(k+(6-k)=6\). وفي اليوم السادس تتبقى ست ميداليات بالضبط، وتُوزَّع كلها.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).